Aufgaben zur Stetigkeit – Mathe für Nicht-Freaks

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Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig[Bearbeiten]

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Aufgabe

Sei Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante . Es gilt also

für alle . Beweise, dass gleichmäßig stetig ist.

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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir müssen zeigen, dass es für alle ein gibt, so dass für alle mit gilt . Nach Annahme gilt

Damit gilt, reicht es also, dass . Folglich setzen wir .

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Beweis

Sei beliebig. Wähle . Dann gilt für alle mit :

Stetigkeit im Ursprung[Bearbeiten]

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Aufgabe

Zeige, dass die folgende Funktion im Ursprung stetig ist:

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Wie kommt man auf den Beweis?

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To-Do:

Lösungsweg schreiben. Insbesondere erklären, warum man wählt.

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Beweis

Um die Stetigkeit im Übergang an zu zeigen, verwenden wir die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit. Dazu zeigen wir, dass für alle ein existiert, sodass für alle mit die Ungleichung gilt.

Sei . Wähle . Sei eine reelle Zahl mit . So gilt:

Womit wir nun gezeigt haben, dass an stetig ist.

Satz von Maximum und Minimum[Bearbeiten]

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Aufgabe (Maximum und Minimum einer Funktion)

Zeige, dass die Funktion auf ein Maximum, aber kein Minimum besitzt.

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Lösung (Maximum und Minimum einer Funktion)

Beweisschritt: besitzt Maximum

Zunächst ist stetig auf als rationale Funktion mit positivem Nenner. Weiter gilt für , , sowie

Daher gibt es ein mit für alle . Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt auf ein Maximum an. Dieses ist mit dem Gezeigten sogar global.

Beweisschritt: besitzt kein Minimum

Es gilt auf . Die Null wird als Funktionswert nicht angenommen. Wegen und der Stetigkeit besitzt die Funktion kein Minimum.

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Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 1)

  1. Zeige, dass es keine stetige Funktion gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt.
  2. Gibt es eine stetige Funktion die jeden ihrer Funktionswerte genau dreimal annimmt?
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Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 2)

Sei mit . Zeige: Es keine stetige Funktion gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau Mal annimmt.

Zwischenwertsatz und Nullstellensatz[Bearbeiten]

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Aufgabe (Nullstelle einer Funktion)

Zeige, dass die Funktion

im Intervall genau eine Nullstelle hat.

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Lösung (Nullstelle einer Funktion)

Beweisschritt: hat mindestens eine Nullstelle

ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen und . Außerdem ist

und

Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein mit .

Beweisschritt: hat genau eine Nullstelle

ist auf streng monoton steigend. Ebenso ist auf streng monoton steigend. Damit ist aber auch auf diesem Intervall streng monoton steigend. Damit kann es nur ein mit geben.

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Aufgabe (Lösung einer Gleichung)

Seien mit . Zeige, dass die Gleichung

mindestens drei Lösungen hat.

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Lösung (Lösung einer Gleichung)

Wir betrachten die stetige Hilfsfunktion

Für diese gilt

und

Daher gibt es mit und . Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein mit . Dieses ist somit eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Ebenso folgt aus und und dem Nullstellensatz, dass es ein mit gibt. Dieses ist eine zweite Lösung der Gleichung.

Schließlich folgt aus und und dem Nullstellensatz, dass es ein mit gibt. Dieses ist damit unsere dritte Lösung der Gleichung.

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Aufgabe (Lösung einer Gleichung)

Sei stetig mit . Zeige, dass es ein mit gibt.

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Lösung (Lösung einer Gleichung)

Betrachte die Hilfsfunktion

Da stetig ist, ist auch stetig. Weiter gilt

und

Fall 1:

Dies ist äquivalent zu , was wiederum gleichwertig zu

ist. Also ist die Aussage erfüllt mit .

Fall 2:

Wir behandeln nur den Fall . Der Fall geht ganz analog. Aus folgt . Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein mit

Dies ist aber äquivalent zu . Also gilt die Behauptung.

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Aufgabe (Nachweis einer Nullstelle)

Sei eine natürliche Zahl. Definiere die Funktion . Zeige, dass die Funktion genau eine positive Nullstelle hat.

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Lösung (Nachweis einer Nullstelle)

Zeigen müssen wir hier zwei Dinge: Zuerst müssen wir beweisen, dass überhaupt eine positive Nullstelle existiert, also eine Nullstelle im Intervall . Als zweites ist zu zeigen, dass es nur eine solche Nullstelle gibt.

Die Funktion ist eine Polynomfunktion und damit stetig. Es gilt , bei liegt der Funktionswert also unterhalb der -Achse. Außerdem hat man , also verläuft der Graph für "große" Werte für auf jeden Fall oberhalb der -Achse. Da stetig ist, lässt sich nun der Zwischenwertsatz anwenden, dieser liefert die Existenz zumindest einer solchen Nullstelle .

Nun müssen wir noch zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt. Vermuten könnte man, dass die Funktion für positive -Werte streng monoton steigend ist. Dafür betrachtet man am besten die Ableitung:

Für positive Werte für gilt: .

Also ist die Funktion tatsächlich streng monoton. Um nun zu beweisen, dass die einzige Nullstelle ist, führt man einen Widerspruchsbeweis:

Angenommen es gibt noch eine weitere Nullstelle . Ohne Einschränkung sei Da die Funktion als Polynomfunktion differenzierbar ist und , liefert der Satz von Rolle (bzw. der Mittelwertsatz), dass ein existiert mit . Dies steht aber im Widerspruch dazu, dass die Ableitung der Funktion für positive Zahlen immer positiv ist.

Damit haben wir bewiesen, dass auch wirklich nur eine einzige positive Nullstelle existiert.

Stetigkeit der Umkehrfunktion[Bearbeiten]

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Aufgabe (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1)

Sei definiert durch

  1. Zeige, dass auf stetig, streng monoton wachsend und injektiv ist.
  2. Zeige: ist surjektiv.
  3. Begründe, warum die Umkehrfunktion stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist. Bestimme explizit.
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Lösung (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1)

Teilaufgabe 1: ist stetig auf als Quotient der stetigen Funktionen und . Dabei ist ist für alle .

Seien mit . Dann gilt

Also ist streng monoton steigend auf und damit auch injektiv.

Teilaufgabe 2: Es gilt

und

Da stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz zu jedem ein mit . Also ist , d.h. ist surjektiv.

Teilaufgabe 3: Da bijektiv ist existiert

und ist ebenfalls bijektiv. Nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrabbildung ist stetig und streng monoton steigend. Zur Berechnung von : Zunächst gilt

Fall 1:

Fall 2:

Mit der quadratischen Lösungsformel erhalten wir

Da ist für , kommt nur in Frage. Wir erhalten somit insgesamt

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Hinweis

Ergänzen wir im Fall Zähler und Nenner von mit dem Faktor , so erhalten wir

In dieser Form ist auch , also benötigen wir die Fallunterscheidung nicht mehr.

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Aufgabe (Stetigkeit der Umkehrfunktion 2)

Sei

  1. Zeige, dass injektiv ist.
  2. Bestimme den Wertebereich .
  3. Begründe, warum die Umkehrfunktion stetig ist.
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Lösung (Stetigkeit der Umkehrfunktion 2)

Teilaufgabe 1:

ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen , , und auf .

Weiter gilt für mit :

Nun ist für . Da außerdem streng monoton fallend ist auf , folgt

Mit der strengen Monotonie von folgt

Also ist streng monoton steigend und damit auch injektiv.

Teilaufgabe 2:

Zunächst ist

Weiter gilt

und daraus folgt

Da stetig und ein Intervall ist, folgt aus der Folgerung zum Zwischenwertsatz, dass ebenfalls ein Intervall ist. Da streng monoton steigend ist, und ist, folgt

Teilaufgabe 3:

Da ein Intervall und bijektiv ist, gilt mit dem Satz von der Stetigkeit der Unkehrfunktion, dass

stetig ist.