Lipschitz-Stetigkeit – Mathe für Nicht-Freaks

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Die Lipschitz-Stetigkeit ist eine Verschärfung der Stetigkeit. Sie ist noch strenger als die gleichmäßige Stetigkeit und wird in der Theorie der Differentialgleichungen häufig verwendet.

Herleitung[Bearbeiten]

Wir werden mit der Definition der Lipschitz-Stetigkeit noch einen weiteren Stetigkeitsbegriff kennenlernen, der uns Genaueres über das Änderungsverhalten einer Funktion verrät. Bekanntlich führen bei stetigen Funktionen hinreichend kleine Änderungen des Arguments zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswerts. Bei Lipschitz-stetigen Funktionen ist es darüber hinaus möglich, den Betrag der Änderung der Funktion abzuschätzen. Es kann also eine Aussage darüber getroffen werden, wie „schnell“ die Abweichungen der Funktionswerte klein werden. Um das besser zu verstehen, betrachten wir zunächst, was mit der Änderung einer Funktion gemeint ist. Sei hierzu eine beliebige Funktion mit dem Definitionsbereich .

Nehmen wir zwei beliebige Punkte und aus dem Definitionsbereich einer Funktion und legen wir eine Gerade durch die beiden zugehörigen Funktionswerte und . Anschaulich ist klar, dass die Gerade umso steiler verlaufen muss, je größer die Differenz von und ist. Die durchschnittliche Änderung zwischen zwei Funktionswerten entspricht der Steigung der durch die beiden Punkte verlaufenden Sekanten und kann wie gewohnt mit einem Steigungsdreieck berechnet werden:

Steigungsdreieck zum Bestimmen der Sekantensteigung

Nehmen wir nun an, die Änderung einer Funktion ist beschränkt, d. h. die Steigungen der Sekanten werden nicht beliebig groß oder klein. Der Betrag besitzt also eine obere Schranke. Durch die Betragsstriche werden sowohl positive als auch negative Steigungen beschränkt. Es gibt also ein , sodass für alle mit die Ungleichung gilt: . Diese Zahl wird auch Lipschitz-Konstante genannt. Umstellen der Gleichung durch Multiplikation mit liefert:

Diese Ungleichung wird für die Definition der Lipschitz-Stetigkeit herangezogen. Wenn ein diese Ungleichung für alle erfüllt, so ist die Änderung der Funktion betragsmäßig beschränkt. Der Vorteil der Ungleichung ist, dass sie auch für erfüllt ist. So kann in der Definition die Bedingung wegfallen, welche für die Steigung benötigt wird.

Definition[Bearbeiten]

Dialog-information.svg
Definition (Lipschitz-Stetigkeit)

Sei eine Teilmenge von und sei eine Funktion. Dann heißt genau dann Lipschitz-stetig auf , wenn ein existiert, so dass für alle gilt.

Diese Definition kann auch in Quantorenschreibweise ausgedrückt werden:

Die rechte Seite der obigen Äquivalenz kann dabei folgendermaßen übersetzt werden:

Was bringt Lipschitz-Stetigkeit?[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Abschätzung der Änderung
  • f(x) bekannt f(y) gesucht

Visualisierung[Bearbeiten]

Visualisierung über Kegel[Bearbeiten]

Versuchen wir das noch einmal anschaulich darzustellen: Wir zeichnen die Geraden mit dem Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem ein, die durch diesen Punkt verlaufen und die Steigung bzw. haben. Oben haben wir gesehen, dass die Lipschitz-Bedingung bedeutet, dass die Steigung aller beliebigen Sekanten durch einen Punkt beschränkt ist. Das heißt, dass der Graph der Funktion immer zwischen diesen zwei Geraden verlaufen muss!

Visualisierung Lipschitz

Das gilt aber für jedes beliebige ! In unserem Bild können wir diese Geraden also einfach den Graphen entlang "verschieben", und der Graph von kann niemals den Bereich zwischen diesen Geraden verlassen.

Lipschitz Animation

Falls die Funktion differenzierbar ist, so entspricht die Ableitung der Funktion in einem Punkt der Steigung der Tangenten in diesem Punkt. Aus dieser Visualisierung sieht man, dass die Ableitung einer Lipschitz-stetigen Funktion also nicht größer werden kann als , bzw. nicht kleiner als , und somit der Betrag der Ableitung dieser Funktion beschränkt ist.

Unterschied zur gleichmäßigen Stetigkeit[Bearbeiten]

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To-Do:

Abschnitt schreiben

Zusammenhang mit gleichmäßiger Stetigkeit[Bearbeiten]

Wie hängt dieser neue Begriff der Lipschitz-Stetigkeit nun mit den vorherigen Begriffen der Stetigkeit und der gleichmäßigen Stetigkeit zusammen? Es stellt sich heraus, dass Lipschitz-Stetigkeit sogar stärker ist als gleichmäßige Stetigkeit: Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig, aber nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist auch Lipschitz-stetig.

Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig[Bearbeiten]

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Satz (Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit)

Sei und eine auf Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist auch gleichmäßig stetig auf ihrem Definitionsbereich.

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Beweis (Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit)

Erinnern wir uns an die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, falls für alle ein existiert, so dass für alle mit gilt, dass ist.

Sei also beliebig vorgegeben. Wir müssen nun ein finden, so dass für alle Werte mit der Abstand der Funktionswerte erfüllt. Nach Voraussetzung ist Lipschitz-stetig, also existiert ein , so dass für alle . Welchen Abstand dürfen die Werte dann haben, damit erfüllt ist? Der Abstand muss kleiner sein als ! Das heißt, wir möchten wählen! Hier ist jedoch etwas Vorsicht angebracht, denn die Lipschitz-Konstante könnte Null sein. Dieser Sonderfall bereitet aber auch keine besonderen Probleme:

Fall 1:

Falls , dann folgt aus der Lipschitz-Bedingung, dass für alle erfüllt ist. Das bedeutet aber, dass sein muss, also folgt für alle . Damit ist die Funktion konstant, und damit auch gleichmäßig stetig (jedes kann gewählt werden).

Fall 2:

Falls , so wähle . Seien nun mit . Dann folgt aus der Lipschitz-Stetigkeit:

In beiden Fällen erhalten wir also die gleichmäßige Stetigkeit und der Satz ist bewiesen.

Nicht alle gleichmäßig stetigen Funktionen sind Lipschitz-stetig[Bearbeiten]

Nun möchten wir uns noch überlegen, dass die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen falsch ist. Dafür genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben, also eine Funktion, die zwar gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig ist. Ein solches Gegenbeispiel liefert beispielsweise die Wurzelfunktion auf . Im vorherigen Kapitel wurde in den Beispielen bereits bewiesen, dass sie gleichmäßig stetig ist. Jetzt zeigen wir noch, dass diese Funktion nicht Lipschitz-stetig ist. Betrachte also:

Angenommen, sie wäre Lipschitz-stetig. Dann würde ein existieren, so dass für alle gilt: . Damit würde dann für alle mit oder folgen:

Wählt man aber zum Beispiel , so gilt aber:

Das liefert eine Widerspruch, somit ist nicht Lipschitz-stetig auf .

Lipschitz-Stetigkeit impliziert Stetigkeit[Bearbeiten]

Lipschitz-Stetigkeit impliziert Stetigkeit, was sich direkt aus dem vorherigen Abschnitt ergibt: Da Lipschitz-stetige Funktionen gleichmäßig stetig sind, sind sie insbesondere stetig. Das ist auch anschaulich klar, wenn wir uns überlegen, warum eine unstetige Funktion nicht Lipschitz-stetig sein kann:

Erinnern wir uns an die erste grobe Intuition zur Stetigkeit. Dort haben wir stetige Funktionen als Funktionen ohne "Sprungstellen" kennengelernt.

Sprungstelle

Die abgebildete Funktion ist offensichtlich unstetig in . Stellen wir uns nun vor, wir legen eine Gerade durch den Punkt beim -Wert der Sprungstelle des Graphen, und durch einen weiteren Punkt des Graphen bei . Diese Gerade ist dann eine Sekante des Graphen.

Sekante an der Sprungstelle

Lässt man nun den Schnittpunkt bei von rechts immer näher an die Sprungstelle bei wandern, dann wird diese Sekante immer steiler und die Steigung geht gegen unendlich. Insbesondere ist es also unmöglich, ein zu finden, das die Steigung der Sekanten beschränkt: Haben wir ein solches gewählt, rücken wir einfach von rechts noch ein Stückchen näher an die Sprungstelle heran und finden so früher oder später ein neues , für welches die Sekantensteigung größer als ist.

Betrachtet man andererseits eine Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall , die in diesem Intervall keine Sprungstelle hat, so kann die Steigung der Sekante nicht beliebig groß werden. Somit lässt sich die Steigung der Sekante in diesem Fall durch eine Lipschitz-Konstante beschränken.

Sekante einer Funktion ohne Sprungstelle

Beispiele[Bearbeiten]

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To-Do:

Dieser Abschnitt muss formatiert werden.

  • Die Identität ist Lipschitz-stetig auf ganz :

Denn es gilt für alle :

Als Lipschitz-Konstante kann also einfach gewählt werden.

  • Oben haben wir gesehen, dass die Wurzelfunktion auf dem Definitionsbereich nicht Lipschitz-stetig ist. Schränkt man sie aber auf den kleineren Definitionsbereich für ein beliebiges ein, so wird sie Lipschitz-stetig:

Seien , also gilt . Dann gilt:

Die letzte Ungleichung gilt dabei, da der Wert des Bruches am größten wird, wenn der Nenner am kleinsten wird. Wegen können wir also den Nenner durch abschätzen. Damit können wir als Lipschitz-Konstante wählen.

  • Betrachte die Funktion

mit beliebig. Diese ist ebenfalls Lipschitz-stetig auf diesem abgeschlossenen Intervall, denn:

Also liefert uns eine Lipschitz-Konstante.

Betrachtet man diese Funktion auf ganz , so ist sie nicht mehr Lipschitz-stetig! Angenommen, es gäbe eine Zahl mit für alle . Mit der gleichen Rechnung von oben würde folgen:

Also müsste für beliebige gelten. Das ist aber offensichtlich falsch, zum Beispiel für ist diese Ungleichung nicht erfüllt. So bekommen wir einen Widerspruch, also war die Annahme der Lipschitz-Stetigkeit von auf falsch.

Aufgaben[Bearbeiten]

Lineare Funktionen sind Lipschitz-stetig[Bearbeiten]

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Aufgabe (Lineare Funktionen sind Lipschitz-stetig)

Zeige, dass jede lineare Funktion mit Lipschitz-stetig ist.

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Lösung (Lineare Funktionen sind Lipschitz-stetig)

Seien beliebig. Dann gilt:

ist also Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten .

Quadratische Funktionen und Lipschitz-Stetigkeit[Bearbeiten]

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Aufgabe (Quadratische Funktionen und Lipschitz-Stetigkeit)

Zeige, dass jede quadratische Funktion mit für und auf dem abgeschlossenen Intervall Lipschitz-stetig ist und auf ganz nicht Lipschitz-stetig ist.

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Lösung (Quadratische Funktionen und Lipschitz-Stetigkeit)

Mit einer binomischen Formel bekommen wir:

Sei nun zuerst . Dort gilt dann mit der Dreiecksungleichung:

Im letzten Schritt haben wir verwendet, dass also gilt. Eine geeignete Lipschitz-Konstante ist damit in diesem Fall gegeben durch .

Dann sehen wir uns noch den Fall des Definitionsbereichs an. Angenommen, wäre hier Lipschitz-stetig. Dann würde ein existieren mit für alle . Mit der obigen Rechnung folgt dann:

Also müsste für alle gelten. Aber wählt man beispielsweise , dann erhält man:

Das liefert uns einen Widerspruch zu der Aussage oben, also ist auf nicht Lipschitz-stetig.

Lipschitz-Stetigkeit und die Hyperbelfunktion[Bearbeiten]

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Aufgabe

Es sei ,

  1. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist, und bestimme eine Lipschitzkonstante für diese Funktion.
  2. Untersuche, ob auch Lipschitzstetig ist.
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Lösung

Teilaufgabe 1:

Seien , dann gilt:

ist daher auf Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante .

Teilaufgabe 2:

Angenommen ist Lipschitzstetig, dann gibt es ein mit für alle . Für ist dies äquivalent zu .

Nun unterscheiden wir die Fälle und :

Fall 1:

Dann setzen wir und . ↯

Fall 2:

Hier setzen wir , . ↯

Praktisches Kriterium für Lipschitz-Stetigkeit: Der Schrankensatz[Bearbeiten]

Wir werden später mit Hilfe des Mittelwertsatzes ein praktisches Kriterium für die Lipschitz-Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion herleiten, den Schrankensatz. Dieser lautet:

Blue pen icon.svg

Satz (Schrankensatz (Lipschitz-Variante))

Sei stetig und in differenzierbar. Weiter sei die Ableitungsfunktion beschränkt. Dann ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante . Insbesondere ist jedes auf stetig-differenzierbare Lipschitz-stetig.