Lipschitz-Stetigkeit – Mathe für Nicht-Freaks

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Die Lipschitz-Stetigkeit ist eine Verschärfung der Stetigkeit. Sie ist noch strenger als die gleichmäßige Stetigkeit und wird in der Theorie der Differentialgleichungen häufig verwendet.

Herleitung[Bearbeiten]

In diesem Kapitel werden wir noch eine andere Charakterisierung von Funktionen finden, um zu verhindern, dass diese Funktion "Sprungstellen" in ihrem Definitionsbereich haben kann. Wir suchen also noch einmal nach einer anderen Form der Stetigkeit.

Sprungstelle

Wie könnten wir eine solche Sprungstelle auf eine andere Art und Weise charakterisieren?

Stellen wir uns vor, wir legen eine Gerade durch den Punkt beim -Wert der Sprungstelle des Graphen, und durch einen weiteren Punkt des Graphen auf der anderen Seite der Sprungstelle. Diese Gerade ist dann eine Sekante des Graphen. Lässt man den zweiten Schnittpunkt aber immer näher an die Sprungstelle wandern, dann wird diese Sekante immer steiler, die Steigung der Sekante geht gegen unendlich.

Sekante an der Sprungstelle

Betrachtet man andererseits eine Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall , die in diesem Intervall keine Sprungstelle hat, so kann die Steigung der Sekante nicht beliebig groß werden. Das heißt, die Steigung der Sekante lässt sich in diesem Fall durch eine Konstante beschränken. Diese Zahl wird auch Lipschitz-Konstante genannt.

Sekante einer Funktion ohne Sprungstelle

Um nun aus dieser Anschauung eine Definition dieser Form der Stetigkeit zu gewinnen, können wir mit einem Steigungsdreieck die Sekantensteigung bestimmen:

Steigungsdreieck zum Bestimmen der Sekantensteigung

Die Schnittpunkte der Sekante seien bei und ). Dann bekommen wir die Steigung der Sekante durch . Wir bezeichnen nun unsere Funktion genau dann als Lipschitz-stetig, wenn eine Zahl existiert, so dass die Steigungen aller beliebiger solcher Sekanten durch dieses beschränkt sind. Mit anderen Worten: Wenn ein existiert, so dass für alle Werte mit gilt, dass . Den Betrag benötigt man, da bei einer anderen Funktion mit Sprungstelle auch sehr stark fallende Sekanten auftreten könnten. Stellt man die Gleichung noch um, erhält man: und damit bereits die übliche Definition der Lipschitz-Stetigkeit.

Definition[Bearbeiten]

Dialog-information.svg
Definition (Lipschitz-Stetigkeit)

Sei eine Teilmenge von und sei eine Funktion. Dann heißt genau dann Lipschitz-stetig auf , wenn ein existiert, so dass für alle gilt.

Diese Definition kann auch in Quantorenschreibweise ausgedrückt werden:

Die rechte Seite der obigen Äquivalenz kann dabei folgendermaßen übersetzt werden:

Visualisierung[Bearbeiten]

Versuchen wir das noch einmal anschaulich darzustellen: Wir zeichnen die Geraden mit dem Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem ein, die durch diesen Punkt verlaufen und die Steigung bzw. haben. Oben haben wir gesehen, dass die Lipschitz-Bedingung bedeutet, dass die Steigung aller beliebigen Sekanten durch einen Punkt beschränkt ist. Das heißt, dass der Graph der Funktion immer zwischen diesen zwei Geraden verlaufen muss!

Visualisierung Lipschitz

Das gilt aber für jedes beliebige ! In unserem Bild können wir diese Geraden also einfach den Graphen entlang "verschieben", und der Graph von kann niemals den Bereich zwischen diesen Geraden verlassen.

Lipschitz Animation

Falls die Funktion differenzierbar ist, so entspricht die Ableitung der Funktion in einem Punkt der Steigung der Tangenten in diesem Punkt. Aus dieser Visualisierung sieht man, dass die Ableitung einer Lipschitz-stetigen Funktion also nicht größer werden kann als , bzw. nicht kleiner als , und somit der Betrag der Ableitung dieser Funktion beschränkt ist.

Zusammenhang mit gleichmäßiger Stetigkeit[Bearbeiten]

Wie hängt dieser neue Begriff der Lipschitz-Stetigkeit nun mit den vorherigen Begriffen der Stetigkeit und der gleichmäßigen Stetigkeit zusammen? Es stellt sich heraus, dass Lipschitz-Stetigkeit sogar stärker ist als gleichmäßige Stetigkeit: Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig, aber nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist auch Lipschitz-stetig.

Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig[Bearbeiten]

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Satz (Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit)

Sei und eine auf Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist auch gleichmäßig stetig auf ihrem Definitionsbereich.

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Beweis (Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit)

Erinnern wir uns an die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, falls für alle ein existiert, so dass für alle mit gilt, dass ist.

Sei also beliebig vorgegeben. Wir müssen nun ein finden, so dass für alle Werte mit der Abstand der Funktionswerte erfüllt. Nach Voraussetzung ist Lipschitz-stetig, also existiert ein , so dass für alle . Welchen Abstand dürfen die Werte dann haben, damit erfüllt ist? Der Abstand muss kleiner sein als ! Das heißt, wir möchten wählen! Hier ist jedoch etwas Vorsicht angebracht, denn die Lipschitz-Konstante könnte Null sein. Dieser Sonderfall bereitet aber auch keine besonderen Probleme:

Fall 1:

Falls , dann folgt aus der Lipschitz-Bedingung, dass für alle erfüllt ist. Das bedeutet aber, dass sein muss, also folgt für alle . Damit ist die Funktion konstant, und damit auch gleichmäßig stetig (jedes kann gewählt werden).

Fall 2:

Falls , so wähle . Seien nun mit . Dann folgt aus der Lipschitz-Stetigkeit:

In beiden Fällen erhalten wir also die gleichmäßige Stetigkeit und der Satz ist bewiesen.

Nicht alle gleichmäßig stetigen Funktionen sind Lipschitz-stetig[Bearbeiten]

Nun möchten wir uns noch überlegen, dass die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen falsch ist. Dafür genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben, also eine Funktion, die zwar gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig ist. Ein solches Gegenbeispiel liefert beispielsweise die Wurzelfunktion auf . Im vorherigen Kapitel wurde in den Beispielen bereits bewiesen, dass sie gleichmäßig stetig ist. Jetzt zeigen wir noch, dass diese Funktion nicht Lipschitz-stetig ist. Betrachte also:

Angenommen, sie wäre Lipschitz-stetig. Dann würde ein existieren, so dass für alle gilt: . Damit würde dann für alle mit oder folgen:

Wählt man aber zum Beispiel , so gilt aber:

Das liefert eine Widerspruch, somit ist nicht Lipschitz-stetig auf .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Identität ist Lipschitz-stetig auf ganz :

Denn es gilt für alle :

Als Lipschitz-Konstante kann also einfach gewählt werden.

  • Oben haben wir gesehen, dass die Wurzelfunktion auf dem Definitionsbereich nicht Lipschitz-stetig ist. Schränkt man sie aber auf den kleineren Definitionsbereich für ein beliebiges ein, so wird sie Lipschitz-stetig:

Seien , also gilt . Dann gilt:

Die letzte Ungleichung gilt dabei, da der Wert des Bruches am größten wird, wenn der Nenner am kleinsten wird. Wegen können wir also den Nenner durch abschätzen. Damit können wir als Lipschitz-Konstante wählen.

  • Betrachte die Funktion

mit beliebig. Diese ist ebenfalls Lipschitz-stetig auf diesem abgeschlossenen Intervall, denn:

Also liefert uns eine Lipschitz-Konstante.

Betrachtet man diese Funktion auf ganz , so ist sie nicht mehr Lipschitz-stetig! Angenommen, es gäbe eine Zahl mit für alle . Mit der gleichen Rechnung von oben würde folgen:

Also müsste für beliebige gelten. Das ist aber offensichtlich falsch, zum Beispiel für ist diese Ungleichung nicht erfüllt. So bekommen wir einen Widerspruch, also war die Annahme der Lipschitz-Stetigkeit von auf falsch.

Aufgaben[Bearbeiten]

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Aufgabe

Zeige, dass jede lineare Funktion auf Lipschitz-stetig ist, also jede Funktion der Form

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Lösung

Seien beliebig. Dann gilt:

Eine geeignete Lipschitz-Konstante wäre also .

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Aufgabe

Zeige, dass jede quadratische Funktion, also jede Funktion der Form

auf dem abgeschlossenen Intervall Lipschitz-stetig ist, aber auf ganz nicht Lipschitz-stetig ist.

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Lösung

Mit einer binomischen Formel bekommen wir:

Sei nun zuerst . Dort gilt dann mit der Dreiecksungleichung:

Im letzten Schritt haben wir verwendet, dass gilt. Eine geeignete Lipschitz-Konstante ist damit in diesem Fall gegeben durch .

Dann sehen wir uns noch den Fall des Definitionsbereichs an. Angenommen, wäre hier Lipschitz-stetig. Dann würde ein existieren mit für alle . Mit der obigen Rechnung folgt dann:

Also müsste für alle gelten. Aber wählt man beispielsweise , dann erhält man:

Das liefert uns einen Widerspruch zu der Aussage oben, also ist auf nicht Lipschitz-stetig.

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Aufgabe

Es sei ,

  1. Zeige, dass Lipschitz-stetig ist, und bestimme eine Lipschitzkonstante für diese Funktion.
  2. Untersuche, ob auch Lipschitzstetig ist.
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Lösung

Teilaufgabe 1:

Seien , dann gilt:

ist daher auf Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante .

Teilaufgabe 2:

Angenommen ist Lipschitzstetig, dann gibt es ein mit für alle . Für ist dies äquivalent zu .

Nun unterscheiden wir die Fälle und :

Fall 1:

Dann setzen wir und . ↯

Fall 2:

Hier setzen wir , . ↯

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To-Do:

Weitere Aufgaben einfügen

Praktisches Kriterium für Lipschitz-Stetigkeit: Der Schrankensatz[Bearbeiten]

Wir werden später mit Hilfe des Mittelwertsatzes ein praktisches Kriterium für die Lipschitz-Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion herleiten, den Schrankensatz. Dieser lautet:

Blue pen icon.svg

Satz (Schrankensatz (Lipschitz-Variante))

Sei stetig und in differenzierbar. Weiter sei die Ableitungsfunktion beschränkt. Dann ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante . Insbesondere ist jedes auf stetig-differenzierbare Lipschitz-stetig.

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To-Do:

Erweiterung/Ausblick: Lokale Lipschitz-Stetigkeit/Hölder-Stetigkeit