Komposition stetiger Funktionen – Mathe für Nicht-Freaks

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Viele Funktionen sind als Verkettungen von anderen Funktionen definiert. Die direkte Überprüfung auf Stetigkeit mit Hilfe des Folgen- oder des Epsilon-Delta-Kriteriums ist bei diesen Funktionen oftmals aufwändig. Jedoch kann man beweisen, dass Verkettungen stetiger Funktionen wieder stetig sind. Diese Verkettungssätze erleichtern den Nachweis der Stetigkeit ungemein.

Die Verkettungssätze[Bearbeiten]

Die Verkettungssätze für stetige Funktionen lauten:

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Satz (Verkettungssätze)

Sei eine Teilmenge der reellen Zahlen und eine beliebige reelle Zahl. Seien reellwertige Funktionen, die in stetig sind. Es gilt also und . Unter diesen Voraussetzungen sind die folgenden Funktionen stetig in :

Sei und seien sowie stetig in . Dann ist die folgende Funktion stetig in :

Sei eine reellwertige Funktion mit . Sei in stetig, dann ist die Verkettung stetig in :

Motivation[Bearbeiten]

Stell dir vor, wir haben die Funktion , gegeben und wollen diese Funktion auf Stetigkeit untersuchen. Sei hierzu ein beliebiges Argument von und sei eine konvergente Folge mit . Nun können wir die Grenzwertsätze für konvergente Folgen anwenden:

Wir durften die Grenzwertsätze anwenden, da alle Subfolgen konvergent waren (dies haben wir am Ende der Umformungen gezeigt). Da beliebig gewählt wurde, haben wir die Stetigkeit der Funktion bewiesen. Dieser Beweis ist im Grunde nur eine Anwendung des Folgenkriteriums zusammen mit den Grenzwertsätzen. Weil wir den Limes dank der Grenzwertsätze in die Funktion ziehen können, können wir damit die Stetigkeit beweisen. Dieses Vorgehen kann mit Hilfe der Verkettungssätze verkürzt werden. Nehme hierzu folgende Funktionen:

Dann können wir als Verkettung der obigen Funktionen darstellen:

Da jede der Funktionen , und stetig ist, ist nach den obigen Verkettungssätze auch stetig. Diese Begründung ist kürzer als der Beweis mit dem Folgenkriterium. Wir können also argumentieren: ist als Verkettung stetiger Funktion stetig.

Beispielaufgabe[Bearbeiten]

Die folgende Aufgabe zeigt, wie einfach mit Hilfe der Verkettungssätze die Stetigkeit einer Funktion bewiesen werden kann:

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Aufgabe (Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Zeige, dass folgende Funktion stetig ist:

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Wie kommt man auf den Beweis? (Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Die gegebene Funktion ist eine Verkettung verschiedener Funktionen. Zunächst müssen wir die Grundfunktionen dieser Verkettung finden. Diese sind:

Die Funktion kann dargestellt als:

Damit ist eine Verkettung stetiger Funktionen und somit wieder stetig.

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Beweis (Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion)

Seien folgende Funktionen gegeben:

Diese Funktionen sind stetig. Es ist außerdem . Damit ist eine Verkettung stetiger Funktionen und nach den Verkettungssätzen selbst wieder stetig.

Allgemeine Beweisskizze[Bearbeiten]

Nach den Verkettungssätzen ist jede Komposition von stetigen Funktion wiederum eine stetige Funktion. Wenn also eine Funktion als Verkettung stetiger Funktionen dargestellt werden kann, dann ist damit die Stetigkeit von bewiesen. Ein Beweis dazu könnte folgende Form aufweisen:

Sei mit . Die Funktion ist eine Verkettung der folgenden Funktionen:

...Aufzählung der stetigen Funktionen, aus denen zusammengesetzt ist...

Wegen (Ausdruck mit den aufgezählten Funktionen) ist eine Verkettung stetiger Funktionen und damit selbst wieder eine stetige Funktion.

Ein solcher Beweis sollte aber nur dann geführt werden, wenn die Verkettungssätze in der Vorlesung bereits bewiesen wurden.

Folgerung: Polynomfunktionen sind stetig[Bearbeiten]

Jede Polynomfunktion ist eine Verkettung der beiden Funktionen:

ist die Identitätsfunktion und ist die konstante Funktion mit dem Wert . Diese Funktionen sind stetig und damit ist auch jede Polynomfunktion stetig. Beispielsweise kann die Funktion folgendermaßen dargestellt werden:

Es ist nämlich

Vertiefung[Bearbeiten]

Wie bei den Grenzwertsätzen, wo die Subfolgen konvergent sein müssen, benötigen wir bei den Verkettungssätzen die Stetigkeit der einzelnen Teilfunktionen. Bei Verkettung beliebiger Funktionen wissen wir nicht, ob die verkettete Funktion stetig ist, oder nicht. Sei beispielsweise

Die Funktion ist stetig an der Stelle , während dort nicht stetig ist. Das Produkt der beiden Funktionen ist , denn . Demnach ist es unstetig an der Stelle . Umgekehrt kann es vorkommen, dass die Verkettung von unstetigen Funktionen stetig ist. Betrachten wir die Funktion

Diese Funktion ist an den rationalen und an den irrationalen Stellen. Für die Verknüpfung ergibt sich:

ist eine konstante Funktion und damit stetig, obwohl selbst unstetig ist. Die Verkettung unstetiger Funktionen kann also selbst eine stetige Funktion ergeben.

Beweise der Verkettungssätze[Bearbeiten]

Stetigkeit bei Addition[Bearbeiten]

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Satz (Verkettungssatz für Summen)

Sei und seien reellwertige Funktionen, die in stetig sind. Dann ist stetig in .

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Beweis (Verkettungssatz für Summen)

Wir beweisen die Additionsregel der Stetigkeit über das Folgenkriterium. Sei hierzu eine Folge von Argumenten aus mit Grenzwert . Es ist:

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Alternativer Beweis (Verkettungssatz für Summen)

Wir wollen die Stetigkeit von in mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums beweisen. Sei also ein gegeben. Da stetig bei ist, gibt es ein , sodass für alle mit die Ungleichung erfüllt ist. Ebenso gibt es ein , sodass für alle mit die Ungleichung gilt.

Setzen wir nun . Damit erfüllen alle mit beide Bedingungen und . Damit gilt für alle mit :

Stetigkeit bei skalarer Multiplikation[Bearbeiten]

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Satz (Verkettungssatz für skalare Multiplikationen)

Sei und . Sei außerdem eine reellwertige Funktion, die in stetig ist. Dann ist stetig in .

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Beweis (Verkettungssatz für skalare Multiplikationen)

Wir wollen die Stetigkeit von in mit Hilfe des Folgenkriteriums beweisen. Sei dazu eine beliebige Folge mit für alle und . Da stetig in ist, existiert damit der Grenzwert . Es ist:

Stetigkeit bei Multiplikation[Bearbeiten]

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Satz (Verkettungssatz für Multiplikationen)

Sei und seien reellwertige Funktionen, die in stetig sind. Dann ist stetig in .

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Beweis (Verkettungssatz für Multiplikationen)

Wir beweisen die Stetigkeit von mit Hilfe des Folgenkriteriums. Sei dazu eine beliebige Folge mit für alle und . Da sowohl als auch stetig in sind, existieren damit die Grenzwerte und . Es ist:

Stetigkeit bei Division[Bearbeiten]

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Satz (Verkettungssatz für Divisionen)

Sei und seien und zwei reellwertige Funktionen. Sei und seien sowie stetig in . Dann ist auch stetig in .

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Beweis (Verkettungssatz für Divisionen)

Den Beweis werden wir mit Hilfe des Folgenkriteriums und dem Quotientenregel für Grenzwerte führen. Sei also eine beliebige Folge mit für alle und . Da sowohl die Funktion als auch die Funktion stetig an der Stelle sind, folgt und . Außerdem gilt , sodass für alle wohldefiniert ist. Nun gilt:

Stetigkeit bei Komposition[Bearbeiten]

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Satz (Verkettungssatz für Kompositionen)

Sei und eine Funktionen, die in stetig ist. Sei zusätzlich mit , die in stetig ist. Dann ist auch stetig in .

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Beweis (Verkettungssatz für Kompositionen)

Wir wollen die Stetigkeit von in mit Hilfe des Folgenkriteriums beweisen. Sei dazu eine beliebige Folge mit für alle und . Dann ist eine Folge mit für alle (da ) und (da stetig). Somit gilt:

Vergleich zum Epsilon-Delta-Kriterium[Bearbeiten]

Zu Beginn dieses Artikels haben wir mit Hilfe der Verkettungssätze gezeigt, dass die Funkionstetig ist. Zum Vergleich wollen wir versuchen dies mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums „von Hand“ zu zeigen. Der sich so ergebende Satz ist umfangreicher als der über die Verkettungssätze.

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Aufgabe (Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Beweise mit der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit, dass folgende Funktion stetig ist:

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Wie kommt man auf den Beweis? (Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Wir müssen zeigen, dass für jedes ein existiert, so dass alle mit die Ungleichung erfüllen. Hierzu betrachten wir zunächst die Zielungleichung und schätzen den Betrag geschickt nach oben ab. Da wir den Term kontrollieren können, schätzen wir so nach oben ab, dass wir den Betrag erhalten. Wir suchen also eine Ungleichung der Form

Dabei ist irgendein von und abhängiger Term. Der zweite Faktor ist kleiner als und kann damit durch eine geschickte Wahl von beliebig klein gemacht werden. Eine solche Abschätzung ist folgende:

Wegen ist:

Wenn wir so klein wählen, dass ist, folgt die Zielungleichung . Jedoch hängt von ab und diese Abhängigkeit würde sich auf vererben und wir dürfen nicht in Abhängigkeit von wählen. Deswegen müssen wir die Abhängigkeit des ersten Faktors von eliminieren. Dies erreichen wir, indem wir den ersten Faktor nach oben so abschätzen, dass wir eine Ungleichung der Form erreichen. Eine solche Umformung ist:

Wir haben sogar unabhängig von gemacht, was nicht nötig gewesen wäre. Somit haben wir die Ungleichung

Wir brauchen nun die Abschätzung , damit die Zielungleichung erfüllt ist. Die Wahl von ist hierfür ausreichend.

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Beweis (Epsilon-Delta-Beweis für Stetigkeit einer Wurzelfunktion)

Sei mit . Sei und beliebig. Wir wählen . Für alle mit gilt:

Damit ist eine stetige Funktion.