Kurvendiskussion direkte Anwendung

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

Textaufgaben 1. Ableitung

Ausdrücke, die für die 1. Ableitung oft vorkommen (besonders bei der direkter Anwendung der Kurvendiskussion), sind diejenigen, die mit einer Änderungsrate zu tun haben, z.B. Geschwindigkeit in einem Weg-Zeit Diagramm. Beispiele:

• Bei welcher (was auf die x-Achse steht) hat die Funktion ihren größten Wert (was auf die y-Achse steht)? → Hier muss man die Stelle (x-Wert) mit Hilfe der 1. Ableitung (f'(x)=0, in CAS mit "löse") berechnen, da wo die Funktion ihren größten Wert (y-Wert) hat (also an einem "Gipfel" im Diagramm). Entsprechend wenn der kleinste Wert gefragt wird.
• Wie viel ist der größte Wert (was auf die y-Achse steht)? → Hier muss man erst die Stelle (x-Wert) mit Hilfe der 1. Ableitung (f'(x)=0, in CAS mit "löse") berechnen. Dann müssen wir diese Stelle (x-Wert) in der eigentlichen Funktion ("Anfangsfunktion") einsetzten und den y-Wert berechnen (in CAS ohne "löse"). Entsprechend wenn der kleinste Wert gefragt wird.
• Wir findet man den größten (bzw. kleinsten) Wert der Funktion? Hier keine GeoGebra! Man braucht "nur" die Beschreibung: " Wir setzen die 1. Ableitung gleich Null und wir berechnen dadurch die Stelle, wo die Funktion ihr Extremwerten hat. Dann setzen wir diese Stelle (x-Wert) an die eigentliche Funktion ein und berechnen wir den entsprechendn Wert der Funktion (y-Wert)."

Textaufgaben 2. Ableitung

Die Ausdrücke für die 2. Ableitung sind etwas schwieriger beim Verständnis, z.B. kann gefragt werden, wo die Änderungsrate der Funktion einen Extremwert (Minimum oder Maximum) hat (an dieser Stelle ist dan die 2.Ableitung gleich NulFoll). In einem s-t (Abstand-Zeit) Diagramm ist die 2. Ableitung die Beschleunigung. Beispiel:

• An welcher Stelle steigt die (was auch immer auf der y-Achse steht) am schnellsten (bzw. langsamsten)? 2. Ableitung gleich Null setzten und entsprechende Stelle berechnen.

Positiv oder Negativ

• Wert der Funktion: positiv, wenn die Kurve oberhalb der x-Achse ist, negativ unterhalb und Null (Nullstelle) wenn sie die x-Achse schneidet oder berührt.
• 1. Ableitung: positiv, wenn die Funktion "nach oben" geht, negativ "nach unten". Null bei einem "Gipfel" oder "Talsohle".
• 2. Ableitung (nur für Nerds): positiv, wenn man auf der Kurve "fährt" und links abbiegen muss, negativ beim Rechstabbiegen (Null: "gerade fahren", in der Regel dazwischen).

Folgende Stichwörter sind in der Regel bei der Textaufgaben der direkten Anwendung der Kurvendiskussion nicht notwendig.

Stichwörter Kurvendiskussion

Anwendung der Funktion selbst
$f(x)\$allgemein Am Punkt $(x_{wert}|y_{wert})$ Die Funktion hat an der Stelle c ($x_{wert}$) den Wert d ($y_{wert}$) $y_{wert}\$in Abhängigkeit von $x_{wert}$ $y_{wert}\$in Bezug auf $x_{wert}$ je $x_{wert}\$desto $y_{wert}$
$f(x)=0$ x-Achsenabschnitt Nullstellen
$f(0)=A_{y}$ y-Achsenabschnitt Die Funktion schneidet die y-Achse an ... (oder Ähnliches)

Anwendung der ersten Ableitung
$f'(x)\$allgemein (Wert der) Ableitung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Tangente der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) knickfrei (gleiche Steigung) Tangens des Winkels zwischen Tangente der Funktion und x-Achse (an einem Punkt oder Stelle) momentane Änderungsrate
$f'(x)=0$ Die Funktion hat einen Extrempunkt (Maximum: Hochpunkt oder Minimum: Tiefpunkt) Die Tangente läuft parallel zur x-Achse (oder senkrecht zur y-Achse, oder "steht normal" auf der y-Achse) Der Tangens ist null Die Funktion hat einen Sattelpunkt

Anwendung der zweiten Ableitung
$f''(x)\$allgemein Der Wert der zweiten Ableitung (an einem Punkt oder Stelle)
$f''(x)=0$ Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$) Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$)

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