MathemaTriX ⋅ Theorie. Klasse 11

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AUFGABEN

Klassen Klasse 5 Klasse 6 Klasse 7 Klasse 8 Klasse 9 Klasse 10 Klasse 11 Klasse 12

Vorgabe des Ministeriums

Differentialrechnung

Differenzenquotient

Grenzwerte

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

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Eine lineare Funktion der Form y=s x+A (wo s die Steigung und A der y-Achsenabschnitt ist) wird in einem Koordinatensystem als Gerade dargestellt. Die Steigung zeigt, wie steil nach oben diese Gerade neigt. Ist die Steigung negativ, dann neigt die Gerade nach unten (also von oben links nach unten rechts).

Was ist aber bei der Darstellung von anderen Funktionen? Nehmen wir die Funktion $\textstyle \ f(x)=\left({\frac {x}{2}}-3\right)+2\$ als Beispiel. Wie im Video zu sehen ist, geht diese Funktion links nach oben und rechts nach unten, sie hat also links eine positive und rechts eine negative Steigung. Die Funktion wird von links nach rechst immer weniger steil und nachdem die Steigung negativ wird, immer steiler nach unten. Die Steigung ist daher nicht konstant.

Die Ableitung einer Funktion (also auch einer Kurve in einem Diagramm) an einer Stelle ist die Steigung dieser Funktion an dieser Stelle die Steigung der Tangente der Funktion an dieser Stelle die Tangens des Winkels zwischen Tangente an dieser Stelle und x-Achse.

Was dieser Satz bedeutet, werden wir im Folgenden mit Hilfe des Videos und der entsprechenden Bilder erklären.

Wir wollen die Steigung der Kurve am Punkt A berechnen. Der x-Wert der Funktion ist 2. Der Wert der Funktion an der Stelle 2 ist dann: $\textstyle \ f(2)=\left({\frac {2}{2}}-3\right)+2\$ also f(2)=−2. Der Punkt A(2|−2) befindet sich tatsächlich auf dieser Kurve (also auf dieser Funktion). Um die Steigung an dieser Stelle zu berechnen, nehmen wir einen anderen Punkt B auf der Kurve und bewegen wir ihn immer näher zum Punkt A. Im ersten Bild rechts (oder im Video oben links) ist die Steigung der Gerade, die durch A und B definiert wird, völlig unterschiedlich als die Steigung der Kurve. Je näher der Punkt B zum Punkt A rückt, desto mehr fangen die Steigungen der Kurve und der Gerade zu übereinstimmen an. Das Bild wird immer vergrößert. Am vorletzten Bild (rechts) ist die Kurve von der Gerade kaum zu unterscheiden. Die Punkte sind sehr nah zueinander (ihre Wertepaare sind auch sichtbar) und die gezeichneten Teile der Kurve und der Gerade stimmen fast völlig überein. Am Ende wird das Bild zur Anfangsgröße wieder gebracht. Die Punkte stimmen völlig überein. In diesem Fall wird von der Tangente der Kurve am Punkt A gesprochen. Die Tangente hat also mit der Kurve einen einzigen gemeinsamen Punkt. Da dies bei Tangenten nicht immer der Fall ist, ist eine passendere Definition die folgende: Die Tangente einer Kurve an einem Punkt ist eine Gerade, die die Kurve an diesen Punkt gerade eben berührt und diesen Punkt mit der Kurve teilt.

Wenn das Bild im Video genug vergrößert wird (wie im 7. Bild rechts), sind Gerade und Kurve (optisch) identisch und daher ist die Steigung der Kurve gleich der Steigung der Tangente. Somit haben wir den zweiten Teil der Definition am Anfang gezeigt: Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente der Funktion an dieser Stelle.

Die Tangente einer Funktion an verschiedenen Stellen sehen wir auch in den beiden Animationen links (unter dem Video). Durch die Bewegung der Tangente ist auch sichtbar, wie steil die Funktion selber an diesem Punkt ist und selbstverständlich, ob die Steigung negativ (Tangente nach unten) oder positiv (Tangente nach oben) ist.

In der Erklärung der linearen Funktion erfahren wir, dass die Steigung der linearen Funktion durch die Formel $\textstyle \ f(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$berechnet werden kann. Die Tangente einer Kurve ist eine Gerade. Die Steigung der Tangente wird durch die Formel $\textstyle \ f(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$berechnet. Für die Kurve haben wir gesehen, dass wenn der Punkt B weit vom A ist, dieser Wert () nicht stimmt. Je näher er aber zum Punkt A rückt, desto mehr drückt diese Formel die Steigung der Kurve aus. Für verschwindenden Unterschied zwischen A und B drückt dieser Formel genau diese Steigung aus.

Dieser ist eine Definition der Ableitung. Man schreibt:

$\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$

Dass wir hier eine Ableitung haben, wird mit dem Strich neben f gezeigt. f ′ bedeutet Ableitung von f. x ist die unabhängige Variable. lim (limes) bedeutet Grenze. Gelesen wird „f Strich von x ist gleich Limes Delta y durch Delta x für Delta x gegen 0“. Somit haben wir auch den ersten Teil der Definition am Anfang gezeigt. In einem anderen Kapitel lernen wir, dass mit Hilfe der eben gezeigte Formel die Ableitung (also eine neue Funktion) der unabhängigen Variable berechnet werden kann. Um die neue Funktion zu finden, werden Ableitungsregeln benutzt.

Noch zu zeigen ist der letzte Teil der Definition am Anfang. Dafür brauchen wir im letzten Bild oben noch dazu ein Dreieck zu zeichnen. Die Definition des Tangens in einem rechtwinkeligen Rechteck ist der Quotient der gegenüberliegenden Kathete durch die Ankathete. Im nebenstehenden Bild ist zu sehen, dass der Tangens des Winkels φ tatsächlich $\textstyle \ {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ ist und in diesem Fall (Punkt A) genau 2.

Ableitungsnotationen

Verschiedene berühmte Physiker und Mathematiker haben unterschiedliche Notationen eingeleitet, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

• Die Darstellung $f'(x)$ stammt von Lagrange. Die zweite Ableitung wird durch $f''(x)$ und die n-te durch $f^{(n)}\$dargestellt.
• Eine andere Darstellung, die oft benutzt wird und von Leibniz stammt, ist ${\tfrac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$. Die zweite Ableitung in dieser Notation ist ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}$ und die n-te ${\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}$.
• In Physik, besonders in der Mechanik, wird die Notation von Newton als Ableitung mit Zeit als unabhängige Variable benutzt: ${\dot {x}}$ für die erste und ${\ddot {x}}$ für die zweite Ableitung.
• Noch eine Notation, die eher seltener benutzt wird, ist die von Euler . Die erste Ableitung in dieser Notation ist $\mathrm {D} _{x}f(x)$, die zweite $\mathrm {D} _{x}^{2}f(x)$ und die n-te $\mathrm {D} _{x}^{n}f(x)$.

Einheiten der Ableitung

Steigung einer Gerade: $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung in einem s-t Diagramm

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem s-t Diagramm auf der y-Achse die Strecke dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: $\qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Der letzte Quotient ist nichts anders als die mittlere Geschwindigkeit:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem s-t Diagramm zeigt uns die Geschwindigkeit

Im konkreten Beispiel rechts: s₁ ist zwei Einheiten, s₂ 5 Einheiten. Wenn die Einheiten der y-Achse Meter (m) sind, ist Δs=3 m. Entsprechend, wenn die Einheit auf der x-Achse Sekunde (s) ist, dann ist Δt=6 s. Die Steigung und daher auch die Geschwindigkeit ist in diesem Fall

${v}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {3m}{6s}}=0,5{\frac {m}{s}}$

Allgemeiner:

Die Einheit der Steigung einer Funktion ist der Quotient der Einheit der y-Achse (der abhängigen Variable) durch die Einheit der x-Achse (der unabhängigen Variable).

Die (physikalische) Größe der Steigung wird durch den entsprechenden Größenquotient ausgedrückt. Das gilt nicht nur für eine Gerade, sondern für die Steigung, also die Ableitung, aller Funktionen.

Steigung in einem v-t Diagramm

In der gleichen Weise können wir daher die Einheiten und die physikalische Größe in einem v-t Diagramm. Die Geschwindigkeit v wird beispielsweise in m/s gemessen, die Zeit in s. Daher ist die Einheit der Steigung (und ihr entsprechender Wert für das im Bild dargestellten v-t Diagramm):

${a}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3m/s}{6s}}=0,5{\frac {\frac {m}{s}}{s}}=0,5{\frac {m}{s^{2}}}$

m/s² ist eine Einheit für die Beschleunigung: $\textstyle {\bar {a}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Ableitung und Grenzwerten

Eine (allerdings etwas problematische) Definition der Ableitung ist über Grenzwerte:${\displaystyle }$

$\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$

Es ist möglich diese Definition zu benutzen, um die allgemeine Ableitung einer Funktion zu berechnen. Probieren wir es mit der Funktion $p_{3}(x)=a\ x^{3}$. Dafür werden wir die Formel für die 3. Potenz eines Binoms (pascalsches Dreieck), das Herausheben und das Kurzen von Bruchtermen brauchen. Für die 3. Potenz gilt:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3a\ b^{2}+b^{3}$

In unserem Fall werden wir entsprechend Folgendes brauchen:

$(x+\Delta x)^{3}=x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\ \Delta x^{2}+\Delta x^{3}$

Um $\Delta y$ zu berechnen brauchen wir zwei Stellen der Funktion $p_{3}(x)=a\ x^{3}$. Wir nennen die erste Stelle einfach $x_{1}=x$ und die zweite $x_{2}=x+\Delta x$. In diesem Fall sind:

$\Delta x=x_{2}-x_{1}=(x+\Delta x)-x=\Delta x$

$y_{1}=p_{3}(x_{1})=a\ x_{1}^{3}=a\ x^{3}\quad ({\text{da}}\ x_{1}\ {\text{gleich}}\ x\ {\text{ist}})$

$y_{2}=p_{3}(x_{2})=a\ x_{2}^{3}=a\ (x+\Delta x)^{3}=$ $a(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\ \Delta x^{2}+\Delta x^{3})\quad ({\text{da}}\ x_{2}\ {\text{gleich}}\ x+\Delta x\ {\text{ist}})$

$\Delta y=y_{2}-y_{1}=\underbrace {a\,x^{3}+3\,a\,x^{2}\Delta x+3\,a\,x\,\Delta x^{2}+\Delta x^{3}} _{y_{2}}-\underbrace {a\,x^{3}} _{y_{1}}$ $=3\,a\,x^{2}\Delta x+3\,a\,x\,\Delta x^{2}+\Delta x^{3}=\Delta x(3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,\Delta x+\Delta x^{2})$

Wenden wir diese Sachen in der Limes-Formel an:

$p_{3}'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\overbrace {{\cancel {\Delta x}}(3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,\Delta x+\Delta x^{2})} ^{\Delta y}}{\cancel {\Delta x}}}$
$={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,{\cancelto {0}{\Delta x}}+{\cancelto {0}{\Delta x^{2}}}=3\,a\,x^{2}\quad (=a\cdot 3\cdot x^{2})$

Das Ergebnis stimmt (selbstverständlich) mit der allgemeinen Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für n=3 überein:

$p_{n}(x)=a\ x^{n}\qquad p_{n}'(x)=a\,n\,x^{n-1}$

Ableitung von Potenzfunktionen

EINFACH

KOMPLEX

SCHWIERIG

Die Potenzfunktionen bestehen aus einer Potenzzahl, deren Basis die unabhängige Variable ist:

$p(x)=x^{n}$

Die Hochzahl n kann allerdings nicht nur eine natürliche Zahl sein, sonst irgendwelche Zahl, beispielsweise $\textstyle \ p_{1}(x)=x^{3},\ \ p_{2}(x)=x^{-{\frac {5}{3}}},\ \ p_{3}(x)=x^{\sqrt {3}}$.

Um die Ableitung einer Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^{n}\$zu berechnen, gibt es eine einfache Regel:

$f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

In unseren Beispielen:

$\textstyle \ p_{1}'(x)=3\ x^{3-1}=3\ x^{2},\ \ p_{2}'(x)={-{\frac {5}{3}}}\ x^{-{\frac {5}{3}}-1}={-{\frac {5}{3}}}\ x^{-{\frac {8}{3}}}=,\ \ p_{3}'(x)={\sqrt {3}}\ x^{{\sqrt {3}}-1}$

Wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl ist, kann man diese Regel mit Hilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert zeigen. Hier beschränken wir uns auf die einfache Anwendung der Regel. Wie in den Beispielen zu sehen ist, ist die Ableitung eine neue Funktion. Daher können wir ihren Wert an einer Stelle berechnen. Wenn wir den Wert der Funktion $\ p_{1}(x)=x^{3}\$und ihrer Ableitung $\ p_{1}'(x)=3\ x^{2}\$ im ersten Beispiel berechnen wollen, ersetzen wir einfach die unabhängige Variable durch ihren Wert ("Stelle"):

$\textstyle \ p_{1}(5)=5^{3}=125,\ \ p_{1}'(5)=3\cdot 5^{2}=75$

Der Wert der Funktion $\ p_{1}\$an der Stelle 5 ist 125, der Wert ihre Ableitung ist 75. 75 ist auch die Steigung der Funktion $\ p_{1}\$an der Stelle 5.

Ableitungen von weiteren Funktionen

Die Ableitung einer gewissen Funktion können wir mit Hilfe ihrer "Definition" als Grenzwert $\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$bestimmen. Für Potenzfunktionen $f(x)=a\,x^{n}\ (n\in \mathbb {N} )\$ können wir das mit Hilfe des pascalschen Dreiecks machen. Das Ergebnis ist: $f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$. Da die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist $\ \left[(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\right]$, können wir diese Berechnungen leicht auf jede Polynomfunktion übertragen. Wenn z.B. $f(x)=3x^{4}+x^{3}-5x-7\$ist, dann ist die Ableitung dieser Funktion die Summe der Ableitungen der "Teil"-Funktionen $(3x^{4})'=3\cdot 4\cdot x^{4-1}$, $(x^{3})'=3x^{3-1}$, $(-5x)'=-5\cdot 1\cdot x^{1-1}\$und $(-7)'=0$, also $f'(x)=12x^{3}+3x^{2}-5$.

Mit Hilfe der Definition als Grenzwert können wir weitere Ableitungen berechnen, wir brauchen allerdings dafür komplizierteres Wissen über trigonometrische Funktionen und sogenannte "Folgen". Mit Hilfe dieser Mittel können wir dann folgende Ableitungen bestimmen:

$f(x)=a\,\sin x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,\cos x\qquad \qquad$$f(x)=a\,\cos x\ \rightarrow \ f'(x)=-a\,\sin x\qquad \qquad$
$f(x)=a\,e^{x}\ \rightarrow \ f'(x)=a\,e^{x}\qquad \qquad \qquad$$f(x)=a\,\ln x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,x^{-1}\qquad$
$f(x)=a\,\tan x\ \rightarrow \ f'(x)={\frac {a}{\cos ^{2}x}}=a\left(1+\tan ^{2}x\right)$

Ableitungsregeln

Die Kettenregel

Grob gesagt lautet die Kettenregel: Die Ableitung einer Funktion, die eine andere Funktion "beinhaltet", ist die Ableitung der "äußeren" Funktion mal die Ableitung der "inneren" Funktion. Mit Symbolen schreibt man:

$h(x)=f(g(x))\Rightarrow h'(x)=f'(g)\cdot g'(x)$

Hier ein paar Beispiele:

• $f(x)=\sin \left(x^{3}-{\frac {5}{x^{4}}}\right)$
  In diesem Fall definieren wir die Funktion $\ g(x)=\left(x^{3}-{\frac {5}{x^{4}}}\right)$. Dann gilt, dass $f(g)=\sin g\$(da $g$ gleich, was in Klammer nach dem Sinus in $f(x)$ steht, ist). Wir können somit zwei Ableitungen bilden:
  $f'(g)=\cos g\$und $g'(x)=3\,x^{2}+{\frac {20}{x^{5}}}$
  Es gilt daher:
  $f'(x)=f'(g)\cdot g'(x)=\cos g\cdot \left(3\,x^{2}+{\frac {20}{x^{5}}}\right)$$=\cos \left(x^{3}-{\frac {5}{x^{4}}}\right)\cdot \left(3\,x^{2}+{\frac {20}{x^{5}}}\right)$
• $w(A)={\sqrt {e^{A}-\cos A\ \ }}$
  In diesem Fall definieren wir die Funktion $z(A)=e^{A}-\cos A$. Dann gilt, dass $w(z)={\sqrt {z}}\$(da $z$ gleich, was unterhalb der Wurzel in $w(A)$ steht, ist). Wir können somit zwei Ableitungen bilden:
  $w'(z)={\frac {1}{2\,{\sqrt {z}}}}\$und $z'(A)=e^{A}+\sin A$
  Es gilt daher:
  $w'(A)=w'(z)\cdot z'(A)={\frac {1}{2\,{\sqrt {z}}}}\cdot (e^{A}+\sin A)={\frac {e^{A}+\sin A}{2\,{\sqrt {e^{A}-\cos A)\ }}}}$

Die Produktregel

Die Produktregel besagt: Die Ableitung des Produkts zwei Funktionen ist gleich der Summe der Produkten der ersten Funktion mal die Ableitung der zweiten und der zweiten Funktion mal die Ableitung der ersten.

$f(x)=u(x)\cdot v(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$

oder kurz:

$(uv)'=u'v+uv'$

Beispiele:

• $f(x)=\cos x\cdot \sin x\quad \Rightarrow \quad f'(x)=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$
• $t(h)=e^{h}\cdot h^{3}\quad \Rightarrow \quad t'(h)=e^{h}\cdot h^{3}+3\ e^{h}\cdot h^{2}$

Die Quotientenregel

Die Quotientenregel für Ableitungen mit Wörter zu beschreiben ist etwas umständlich. Wir schreiben daher am besten einfach den mathematischen Ausdruck:

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\quad \Rightarrow \quad f'(x_{a})={\frac {u'(x_{a})\cdot v(x_{a})-u(x_{a})\cdot v'(x_{a})}{(v(x_{a}))^{2}}}$.

In Kurzschreibweise:

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

Beispiele:

• $u(t)={\frac {\sin t}{\cos t}}(=\tan t)\quad \Rightarrow \quad v'(t)={\frac {\cos t\cos t+\sin t\sin t}{\cos ^{2}t}}={\frac {1}{\cos ^{2}t}}$
• $r(z)={\frac {\ln z}{z^{4}}}\quad \Rightarrow \quad r'(z)={\frac {{\frac {1}{z}}z^{4}-4\ \ln z\cdot z^{3}}{z^{8}}}={\frac {1-4\ \ln z}{z^{5}}}$

Kurvendiskussion

Allgemeines zur Kurvendiskussion

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Steigung der Funktion an diesem Punkt und ist gleich sowohl zur Steigung der Tangente an diesem Punkt als auch zum Tangens des Winkels zwischen dieser Tangente und der x-Achse.

Wenn eine Funktion von links unten nach rechts oben verläuft, ist ihre Steigung (also ihre Ableitung) positiv, im Gegenfall negativ. Der Grenzfall zwischen den beiden Situationen ist, wenn eine Funktion weder nach oben noch nach unten verläuft. Die einzige Möglichkeit in diesem Fall ist, dass sie parallel zur x-Achse verläuft. Logischerweise soll in diesem Fall die Steigung (also die Ableitung) weder positiv noch negativ sein. Die einzige Zahl, die diese Eigenschaft hat, ist Null. Wenn die Steigung (also die Ableitung) einer Funktion an einem Punkt null ist, dann läuft die Tangente der Funktion an dieser Stelle parallel zur x-Achse. In diesem Fall spricht man von einem Extrempunkt oder einem Sattelpunkt.

Extrempunkte sind die Punkte einer Funktion, wo diese ein lokales oder globales Maximum oder Minimum innehat. Die entsprechenden y-Werte sind daher die Extremwerte der Funktion und die x-Werte die Extremstellen. Die Ableitung einer Funktion an solchen Stellen ist Null. Die Tangente an einem solchen Punkt läuft daher parallel zur x-Achse.

Wendepunkte sind Punkte, an denen die Funktion ihre "Biegung" ändert. Wir können uns es so darstellen, dass wir uns von links nach rechts auf der in einem Koordinatensystem dargestellten Kurve der Funktion fahren. Um auf der Kurve zu bleiben, müssen wir mit einem imaginären Lenkrad abbiegen (außer wir befinden uns auf einer Gerade). Müssen wir "nach links abbiegen", dann ist die zweite Ableitung der Funktion positiv, nach rechts ist sie negativ. Der Punkt, wo wir die Richtung von links nach rechts oder umgekehrt ändern müssen, ist ein sogenannter Wendepunkt. An einem Wendepunkt ist die zweite Ableitung der Funktion Null. Wenn an diesem Punkt die Ableitung dazu null ist, dann wird der Punkt dazu Sattelpunkt genannt.

Nehmen wir das konkrete Beispiel des folgenden Bildes:

Kurvendiskussion Erste Ableitung

Ganz links und bis zur Stelle ca. −1,4 (x=−1,4) verläuft die Funktion nach unten, die Steigung (also die Ableitung) ist negativ. Dann läuft sie nach oben bis zur Stelle Null. Die Ableitung (also die Steigung) ist in diesem Intervall positiv. Genau an der Stelle Null wird die Ableitung doch Null, die Tangente der Funktion an dieser Stelle läuft parallel zur x-Achse. Dann allerdings läuft die Funktion weiter nach oben, also die Ableitung ist weiter positiv. Ungefähr an der Stelle 1,4 ändert sich die Richtung wieder nach unten und die Steigung wird negativ bis zur Stelle 2,2 usw.

Kurvendiskussion Zweite Ableitung

Am Anfang muss man "links abbiegen". Die zweite Ableitung ist positiv. Die erste Ableitung wird immer größer. Ungefähr an der Stelle −0,9 fängt man an, "rechts abzubiegen". Die zweite Ableitung ist negativ. Die erste Ableitung wird immer kleiner (egal ob sie positiv oder negativ ist). Das passiert bis an der Stelle 0. Danach muss man wieder "gegensteuern" und "nach links abbiegen". Die zweite Ableitung ist wieder positiv. Das passiert bis ungefähr an der Stelle 0,9. Die zweite Ableitung wird danach negativ erst ca. an der Stelle 1,8 und wieder negativ ca. an der Stelle 2,4.

Kurvendiskussion Extrempunkte

An den Stellen der Änderungen des Vorzeichens der ersten Ableitung wird diese Null sein, also ca. an den Stellen −1,4, 1,4, 2,2 und 2,8. An diesen Stellen wird die erste Ableitung von positiv zu negativ oder umkegehrt. Diese Stellen sind Extrempunkte. An den Stellen −1,4, und 2,2 haben wir jeweils ein lokales Minimum, an den Stellen 1,4 und 2,2 ein lokales Maximum. An diesen Stellen ist also die erste Ableitung null.

Kurvendiskussion Wendepunkte

An den Stellen der Änderungen des Vorzeichens der zweiten Ableitung wird diese Null sein, also ca. an den Stellen −0,9, 0, 0,9, 2,2 und 2,8. An diesen Stellen wird die zweite Ableitung von positiv zu negativ oder umkegehrt. Diese Stellen sind Wendepunkte. An diesen Stellen ist also die zweite Ableitung null.

Kurvendiskussion Sattelpunkte

Wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung null sind, dann sprechen wir von einem Sattelpunkt. Das passiert in diesem Diagramm an der Stelle 0 (x=0). Allerdings ist der Wert der Funktion an dieser Stelle doch nicht Null (y=f(0)=1).

Kurvendiskussion Nullstellen

Nullstellen sind die Stellen der Funktion, wo die Funktion die x-Achse abschneidet, also wo ihr Wert null ist. Stelle bedeutet x-Wert, Wert der Funktion bedeutet y-Wert. "Der Wert der Funktion ist null" bedeutet, dass wir die Funktion, z.B. f(x) also y, gleich null setzten sollen und dadurch die x-Werte finden, für denen es gilt, dass y gleich null ist. Die Nullstellen im Diagramm ablesen kann man sehr leicht, indem man die Stellen findet, wo die Funktion die x-Achse abschneidet. In unserem Beispiel sind das ungefähr die Stellen (x-Werte auf der x-Achse) −1,6, −1,1, 1,95 und 2,35.

Kurvendiskussion y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert der Funktion an den Punkt, wo die Funktion die y-Achse abschneidet. Für alle Punkte auf der y-Achse ist der x-Wert null. Um der y-Achsenabschnitt zu finden, reicht daher, den Wert der Funktion (y-Wert) an der Stelle (x-Wert) null zu finden, einfach gesagt, x gleich null in der Funktion setzten. In unserem Beispiel ist der y-Achsenabschnitt gleich 1. Die Funktion schneidet die y-Achse an den Punkt (0|1) ab.

Umkehraufgaben Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Wenn wir eine lineare Funktion ermitteln wollen, brauchen wir genau zwei Punkte. Mit der Hilfe von zwei Punkte können wir dann die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Gerade berechnen. Genauso können wir mit Hilfe von Eigenschaften irgendeiner Funktion die Funktion selber ermitteln. Solche Eigenschaften können Punkte oder der Wert der Ableitung an einer Stelle sein. Für die lineare Funktion (Polynomfunktion 1. Grades) brauchen wir 2 Punkte, für die quadratische drei. Wir erklären dann jetzt anhand eines Beispiels, wie das geht:

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$. Ihre Ableitung an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist:

$Q(x)=a\,x^{2}+b\,x+c$

Die entsprechende Ableitung ist:

$Q'(x)=2\cdot a\,x+b$

An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 5: Q(3)=5, Punkt $(3|5)$

$5=a\,3^{2}+b\,3+c$

An der Stelle 1,5 (x=1,5) hat die Funktion den Wert 4,5: Q(1,5)=4,5, Punkt $(1{,}5|4{,}5)$

$4{,}5=a\,1{,}5^{2}+b\,1{,}5+c$

An der Stelle 2 (x=2) ist die Ableitung null (Q'(x)=0)

$Q'(x)=2\cdot a\,\cdot 2+b$

Wir haben daher ein LGS mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten:

${\begin{matrix}9a+&3b+&c&=5\\2{,}25a+&1{,}5b+&c&=4{,}5\\4a+&2b&&=0\end{matrix}}$

Als Matrize:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]$

Letztere kann mit einem elektronischen Hilfsmittel
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\I-II\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\{4\,II-3\,III}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\15&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\2\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\-0{,}45\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\0&1{,}5&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\-0{,}4\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}-2\,II-9\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {\frac {23}{5}}\\\textstyle {-{\frac {4}{15}}}\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]$

In der ersten Spalte war die Koeffizient a von $x^{2}$. Wir können sie in der dritten Zeile ablesen: $\textstyle a={\frac {2}{15}}$. Entsprechend können wir die Koeffizient von x an der zweiten Zeile und den y-Achsenabschnitt c an der ersten Zeile ablesen. Die gefragte quadratische Funktion lautet daher:

$Q(x)={\frac {2}{15}}x^{2}-{\frac {4}{15}}x+{\frac {23}{5}}$

Theorie zu den Umkehraufgaben der Kurvendiskussion

In den Umkehraufgaben der Kurvendiskussion werden (in der Schulmathematik) die Koeffizienten einer Polynomfunktion gesucht. Das Ziel ist, ein lineares Gleichungssystem zu entwickeln, um diese Koeffizienten zu berechnen. In der (Text-) Aufgabe werden Informationen angegeben, die wir in Gleichungen "übersetzen" müssen. Die Gleichungen müssen um eins mehr als der Grad der Funktion sein, also so viele wie die Koeffizienten. Die Koeffizienten werden dann die gesuchten Variablen des Gleichungssystems darstellen. Zunächst einmal versuchen wir, die Schlüsselwörter zu erörtern, die zur "Übersetzung" der Textaufgabe führen.

Mit den folgenden Ausdrücken ist das gleiche gemeint:

Am Punkt (c|d)$\qquad$Hier ist c der x-Wert der Funktion und d der y-Wert.
Die Funktion hat an der Stelle c den Wert d$\qquad$In diesem Satz ist mit c der x-Wert gemeint und mit d der Wert der Funktion, also der y-Wert.
In beiden Fällen kann der Satz irgendwie indirekter sein, beispielsweise kann "die Funktion die Gerade bla-bla am Punkt bla-bla schneiden". In all diesen Fällen muss die Funktion selber benutzt werden. Wir ersetzten y und x durch ihre Werte und so entsteht eine Gleichung mit den Koeffinzienten als Variablen. Seien a der x-Wert und b der y-Wert, $f(x)=a_{n}\ x^{n}+a_{n-1}\ x^{n-1}+...\ +a_{1}\ x+a_{0}\$ und daher $a_{n},\ a_{n-1},\ ...\ a_{1},\ a_{0}\$die Koeffizienten (wobei n der Grad der Polynomfunktion), dann gilt $f(c)=d\$und daher:

$d=a_{n}\ c^{n}+a_{n-1}\ c^{n-1}+...\ +a_{1}\ c+a_{0}\$

Sonderfälle

x-Achsenabschnitt
Nullstellen
In all diesen Fällen ist gemeint, dass der y-Wert gleich Null ist, also für x=c:

$0=a_{n}\ c^{n}+a_{n-1}\ c^{n-1}+...\ +a_{1}\ c+a_{0}\$
Der einzige Unterschied von der vorherigen Gleichung ist, dass der y-Wert 0 anstatt d ist.

y-Achsenabschnitt
Die Funktion schneidet die y-Achse an ...
(oder Ähnliches)
In all diesen Fällen ist gemeint, dass der x-Wert gleich Null ist. Man kann dann leicht feststellen, dass der y-Wert gleich dem Koeffizienten $a_{0}\$sein wird. f(0)=d und daher:

$d=a_{n}\ 0^{n}+a_{n-1}\ 0^{n-1}+...\ +a_{1}\ 0+a_{0}\ \Rightarrow d=a_{0}$

Mit den folgenden Ausdrücken ist das gleiche gemeint:

(Wert der) Ableitung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle)
Steigung der Tangente der Funktion (an einem Punkt)
Tangens des Winkels zwischen Tangente der Funktion und x-Achse (an einem Punkt oder Stelle).
Wichtiger Hinweis: Wenn die Ableitung an einem Punkt gegeben wird, dann haben wir zwei Informationen gleichzeitig, also eine Gleichung mit Hilfe des Punktes und eine mit Hilfe der Ableitung an dieser Stelle. Das ist allerdings nicht der Fall, wenn nur die Stelle, also der x-Wert, angegeben ist.

In all diesen Fällen muss die Ableitung der Funktion gleich ihren angegebenen Wert und an dieser Stelle gestellt werden. Man muss also erst die allgemeine Ableitung einer Polynomfunktion dieses Grades berechnen:

$f'(x)=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\$
Die Koeffizient $a_{0}\$kommt nicht mehr vor, da die Ableitung einer Konstante null ist ($a_{0}\$ist eine gesuchte Zahl, also eine Konstante).

Dann setzt man den Wert für die Ableitung und den x-Wert ("Stelle") ein. Seien diese q bzw. p, dann gilt $f'(p)=q\$und daher:

$q=a_{n}\ (n)\ p^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ p^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ p+a_{1}$

Sonderfälle

Die Funktion hat einen Extrempunkt (Maximum oder Minimum)
Die Tangente läuft parallel zur x-Achse (oder senkrecht zur y-Achse, oder "steht normal" auf der y-Achse)
Der Tangens ist null
Die Funktion hat einen Sattelpunkt (Sonderfall des Sonderfalls, siehe wieter unten den Text über die zweite Ableitung)

In all diesen Fällen ist gemeint, dass die Ableitung gleich null ist. In der letzten Gleichung schreiben wir daher 0 statt q:

$0=a_{n}\ (n)\ p^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ p^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ p+a_{1}$

Weitere Ableitungen

Der Wert der zweiten Ableitung

In diesem Fall müss man die allgemeine Funktion für die erste Ableitung, die wir vorher berechnet haben, noch mal ableiten. Hier ist noch mal die allgemeine erste Ableitung:

$f'(x)=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\qquad$und hier die Ableitung der Ableitung:

$f''(x)=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ x^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ x^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ x+a_{2}\cdot 2\$

Für Ableitungen höheren Grades muss man einfach weiter so die Ableitung der Ableitung berechnen.

Sonderfälle

Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p (an den Punkt (p|r).

Bei einem Wendepunkt ist die zweite Ableitung gleich null:

Zweite Ableitung: $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$

Ist ein Punkt (und nicht einfach eine Stelle) angegeben, dann gibt es auch eine zweite Information und wir können eine zweite Gleichung stellen:

Funktion: $r=a_{n}\ p^{n}+a_{n-1}\ p^{n-1}+...\ +a_{1}\ p+a_{0}\$

Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p (an den Punkt (p|r).

Bei einem Sattelpunkt ist sowohl die erste als auch die zweite Ableitung gleich null:

Erste Ableitung: $0=a_{n}\ (n)\ p^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ p^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ p+a_{1}$

Zweite Ableitung: $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$

Ist ein Punkt (und nicht einfach eine Stelle) angegeben, dann gibt es auch eine dritte Information und wir können eine dritte Gleichung stellen:

Funktion: $r=a_{n}\ p^{n}+a_{n-1}\ p^{n-1}+...\ +a_{1}\ p+a_{0}\$

Umkehraufgaben der Kurvendiskussion Zusammenfassung

Anwendung der Funktion selbst	$f(x)\$allgemein Am Punkt $(x_{wert}|y_{wert})$ Die Funktion hat an der Stelle c ($x_{wert}$) den Wert d ($y_{wert}$) $y_{wert}\$in Abhängigkeit von $x_{wert}$ $y_{wert}\$in Bezug auf $x_{wert}$ je $x_{wert}\$desto $y_{wert}$ $y=a_{n}\ x^{n}+a_{n-1}\ x^{n-1}+...\ +a_{1}\ x+a_{0}\$ $f(x)=0$ x-Achsenabschnitt Nullstellen $0=a_{n}\ x^{n}+a_{n-1}\ x^{n-1}+...\ +a_{1}\ x+a_{0}\$ $f(0)=A_{y}$ y-Achsenabschnitt Die Funktion schneidet die y-Achse an ... (oder Ähnliches) $A_{y}=a_{n}\ 0^{n}+a_{n-1}\ 0^{n-1}+...\ +a_{1}\ 0+a_{0}\ \Rightarrow A_{y}=a_{0}$
Anwendung der ersten Ableitung	$f'(x)\$allgemein (Wert der) Ableitung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) Steigung der Tangente der Funktion (an einem Punkt oder Stelle) knickfrei (gleiche Steigung) Tangens des Winkels zwischen Tangente der Funktion und x-Achse (an einem Punkt oder Stelle) momentane Änderungsrate $f'(x)=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\$ $f'(x)=0$ Die Funktion hat einen Extrempunkt (Maximum: Hochpunkt oder Minimum: Tiefpunkt) Die Tangente läuft parallel zur x-Achse (oder senkrecht zur y-Achse, oder "steht normal" auf der y-Achse) Der Tangens ist null Die Funktion hat einen Sattelpunkt $0=a_{n}\ (n)\ x^{n-1}+a_{n-1}\ (n-1)\ x^{n-2}+...\ +a_{2}\cdot 2\ x+a_{1}\$
Anwendung der zweiten Ableitung	$f''(x)\$allgemein Der Wert der zweiten Ableitung (an einem Punkt oder Stelle) $f''(x)=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ x^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ x^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ x+a_{2}\cdot 2\$ $r=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$ $f''(x)=0$ Die Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$) Die Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle p (an den Punkt $(p|r)$) $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ x^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ x^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ x+a_{2}\cdot 2\$ $0=a_{n}\ (n)\ (n-1)\ p^{n-2}+a_{n-1}\ (n-1)\ (n-2)\ p^{n-3}+...\ +a_{3}\cdot 6\ p+a_{2}\cdot 2\$

Kurvendiskussion Umkehraufgaben

*Eine Funktion vierten Grades hat den Extrempunkt (2|3) und einen Wendepunkt an der Stelle −4. Die Tangente zur Funktion ist parallel zur x-Achse an der Stelle 1. 20 ist eine Nullstelle. Wie lautet die Funktion?

Wir werden die erste (Extrempunkt) und die zweite (Wendepunkt) Ableitung brauchen. Da der Grad der Funktion 4 ist, also da sie 5 Koeffizienten hat, brauchen wir fünf Gleichungen. Die allgemeine Funktion und ihre ersten zwei Ableitungen sind:

$f(x)=a_{4}\ x^{4}+a_{3}\ x^{3}+a_{2}\ x^{2}\ +a_{1}\ x+a_{0}\$

$f'(x)=4\,a_{4}\ x^{3}+3\,a_{3}\ x^{2}+2\,a_{2}\ x\ +a_{1}\$

$f''(x)=12\,a_{4}\ x^{2}+6\,a_{3}\ x+2\,a_{2}$

Mit dem Extrempunkt (2|3) haben wir gleich zwei Informationen, f(2)=3 und f'(2)=0, und daher zwei Gleichungen:

$3=a_{4}\cdot 2^{4}+a_{3}\cdot 2^{3}+a_{2}\cdot 2^{2}\cdot +a_{1}\cdot 2+a_{0}\qquad$und

$0=4\,a_{4}\cdot 2^{3}+3\,a_{3}\cdot 2^{2}+2\,a_{2}\cdot 2\ +a_{1}\$

Mit dem Wendepunkt an der Stelle −4 haben wir noch eine Information, $f''(-4)=0$, und damit die Gleichung:

$0=12\,a_{4}\cdot (-4)^{2}+6\,a_{3}\cdot (-4)+2\,a_{2}$

Die Tangente der Funktion an der Stelle 1 ist parallel zur x-Achse, also ist die erste Ableitung da gleich null:

$0=4\,a_{4}\cdot 1^{3}+3\,a_{3}\cdot 1^{2}+2\,a_{2}\cdot 1\ +a_{1}\$

Letztens ist 20 eine Nullstelle, f(20)=0:

$0=a_{4}\cdot 20^{4}+a_{3}\cdot 20^{3}+a_{2}\cdot 20^{2}\ +a_{1}\cdot 20+a_{0}\$

Damit haben wir folgendes lineares Gleichungssystem, das wir am liebsten mit einem Hilfsmittel lösen:

$3=a_{4}\cdot 2^{4}+a_{3}\cdot 2^{3}+a_{2}\cdot 2^{2}\cdot +a_{1}\cdot 2+a_{0}\qquad$
$0=4\,a_{4}\cdot 2^{3}+3\,a_{3}\cdot 2^{2}+2\,a_{2}\cdot 2\ +a_{1}\$
$0=12\,a_{4}\cdot (-4)^{2}+6\,a_{3}\cdot (-4)+2\,a_{2}$
$0=4\,a_{4}\cdot 1^{3}+3\,a_{3}\cdot 1^{2}+2\,a_{2}\cdot 1\ +a_{1}\$
$0=a_{4}\cdot 20^{4}+a_{3}\cdot 20^{3}+a_{2}\cdot 20^{2}\ +a_{1}\cdot 20+a_{0}\$

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

$a_{4}={\frac {157}{2736}},\quad a_{3}=-{\frac {2837}{4788}},\quad a_{2}=-{\frac {265}{21}},\quad a_{1}={\frac {36523}{1197}},\quad a_{0}=-{\frac {4460}{1197}}$

Die Funktion lautet daher:

$f(x)={\frac {157}{2736}}x^{4}-{\frac {2837}{4788}}x^{3}-{\frac {265}{21}}x^{2}+{\frac {36523}{1197}}x-{\frac {4460}{1197}}$

• Eine Funktion dritten Grades hat den Sattelpunkt (−2|4) und den y-Achsenabschnitt −3. Wie lautet die Funktion?

Wir brauchen wieder die allgemeine erste und zweite Ableitung, allerdings brauchen wir hier vier Gleichungen:

Die allgemeine Funktion und ihre ersten zwei Ableitungen sind:

$f(x)=a_{3}\ x^{3}+a_{2}\ x^{2}\ +a_{1}\ x+a_{0}\$

$f'(x)=3\,a_{3}\ x^{2}+2\,a_{2}\ x\ +a_{1}\$

$f''(x)=6\,a_{3}\ x+2\,a_{2}$

Mit dem Sattelpunkt (3|4) haben wir gleich drei Gleichungen, $f(-2)=4$, $f'(-2)=0$ und $f''(-2)=0$, mit dem y-Achsenabschnitt noch eine dazu, $f(0)=-3$:

$4=a_{3}\ (-2)^{3}+a_{2}\ (-2)^{2}\ +a_{1}\ (-2)+a_{0}\$
$0=3\,a_{3}\ (-2)^{2}+2\,a_{2}\ (-2)\ +a_{1}\$
$0=6\,a_{3}\ (-2)+2\,a_{2}$
$-3=a_{0}\$

Die Lösung des Gleichungssystems ist:

$a_{3}=-{\frac {7}{8}},a_{2}=-{\frac {21}{4}},a_{1}=-{\frac {21}{2}},a_{0}=-3$

und die Funktion lautet daher:

$g(x)=-{\frac {7}{8}}x^{3}-{\frac {21}{4}}x^{2}-{\frac {21}{2}}x-3$

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Streumaßen

Streuungsmaßen um den Durchschnitt (um das arithmetische Mittel)

Der Durchschnitt (fachgerecht arithmetisches Mittel genannt) einer Anzahl von Werten ist die Summe dieser Werte durch ihre Anzahl. Nehmen wir zwei einfache Beispiele von Daten und denken wir an einem konkreten Beispiel: Das Gewicht der Personen von zwei Kinder-Teams mit jeweils drei Personen wird gemessen.

Datenreihe 1: 46, 51, 47 (in kg)$\textstyle \qquad \qquad D={\frac {46+51+47}{3}}=48$

Datenreihe 2: 64, 33, 47 (in kg)$\textstyle \qquad \qquad D={\frac {64+33+47}{3}}=48$

Der Durchschnitt (das arithmetische Mittel) in beiden Fällen ist 48 kg. Der Median ist ebenfalls in beiden Fällen gleich (47 kg). Wir merken allerdings, dass zwischen den beiden Verteilungen doch einen Unterschied besteht, der auch durch den Vergleich zwischen Median und Durchschnitt nicht sichtbar wird. In der zweite Verteilung ist der kleinste Wert viel kleiner und der größte viel größer als in der ersten. Für den Vergleich der beiden Verteilungen brauchen wir daher noch etwas, das diesen Unterschied sichtbar macht.

Das einfachste Mittel um diesen Unterschied sichtbar zu machen ist die sogenannte Spannweite. Das ist die Differenz zwischen größten und kleinsten Wert der Verteilung. In der ersten Datenreihe ist die Spannweite 51−46=5 kg, in der zweiten 64−33=31 kg. Der Unterschied zwischen der Spannweiten ist in diesem einfachen Fall groß und aussagekräftig. Es geht aber doch um ein einfaches Beispiel. Für komplexere Beispiele braucht man ein anderes Maß. Dieses ist i. d. R. die sogenannte (empirische) Standardabweichung.

Bei der spitzen Kurve weichen die gemessenen Werte weniger vom Durchschnitt (in der Mitte) ab

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark die gemessenen Werte vom Durchschnitt (bzw. Erwartungswert) abweichen. Sie ist die Wurzel der sogenannten (empirischen) Varianz. Diese lässt sich ungefähr als arithmetisches Mittel der Quadrate der Differenzen der jeweiligen Werte und des Durchschnitts der Werte. Dieser Satz ist kompliziert, daher erklären wir Schritt zum Schritt, wie die Varianz berechnet wird.

In der ersten Datenreihe ist der Durchschnitt 48. Berechnen wir die Differenz der jeweiligen Werte und des Durchschnitts. Die Differenz des ersten Wertes und des Durchschnitts ist 46−48=−2, die anderen zwei Differenzen sind 51−48=3 und 47−48=−1.

Berechnen wir jetzt die Quadrate dieser Differenzen: (−2)²=4, 3²=9 und (−1)²=1

Somit haben wir die Quadrate der Differenzen der jeweiligen Werte und des Durchschnitts: 4, 4 und 0. Der Durchschnitt ist dann die Summe durch die Anzahl also$\textstyle \ D_{V}={\frac {4+9+1}{3}}=4,{\dot {6}}$. Allerdings wird oft aus bestimmten Gründen bei der Berechnung der Varianz besonders bei größeren Datenreihen nicht genau dieser Durchschnitt benutzt, sondern die Summe der Quadrate durch die um eins reduzierte Anzahl n−1 berechnet. Die berechnete Summe der Quadrate wird also nicht durch die Anzahl n dividiert, sondern durch die Anzahl um 1 reduziert (n−1). Als Symbol für die Varianz in diesem Fall wird oft $s_{x}^{2}\$benutzt.

$s_{x}^{2}={\frac {4+9+1}{3-1}}=7$

Für die zweite Datenreihe sind die Differenzen: 64−48=16, 33−48=−15 und 47−48=−1. Die Varianz in diesem Fall ist daher:

$s_{x}^{2}={\frac {16^{2}+(-15)^{2}+1}{3-1}}=241$

Für den allgemeinen Fall benutzen wir die Formel:

$s_{x}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$

Erklären wir kurz, was die ganze Symbolik bedeutet: n ist die Anzahl der Werte. Im Nenner steht n−1, es wird also durch die um eins reduzierte Anzahl dividiert. Das Symbol $\textstyle \ \sum \$bedeutet Summe. i ist ein Index für den x-Wert, also für einen Wert der Datenreihe. Diese werden von 1 bis n durchnummeriert. Der Strich über das x bedeutet den Durchschnitt der n-Werte, die mit x₁, x₂, ... , x_n dargestellt werden. Der Ausdruck $\textstyle \ \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\$bedeutet daher: Wir berechnen eine Summe$\textstyle \ \left(\sum \right)\$, die mit den Werten x_i mit i von 1 bis n zu tun hat. Erst durchnummerieren wir diese Werte von 1 bis n (n ist die Anzahl der Werte), also erster Wert $x_{1}$, zweiter $x_{2}\$ usw. Für jeden Wert berechnen wir das Quadrat seiner Differenz zum Durchschnitt ${\overline {x}}$. Für den ersten Wert ist das $\left(x_{1}-{\overline {x}}\right)^{2}$, für den zweiten $\left(x_{2}-{\overline {x}}\right)^{2}\$und allgemein $\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$. Der Ausdruck $\textstyle \ \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\$kann so abgelesen werden: "Wir berechnen die Differenz jedes Wertes $x_{i}$ vom Durchschnitt ${\overline {x}}$, wir quadrieren die Differenz und am Ende berechnen wir die Summe $\textstyle \ \sum \$der Quadrate aller Differenzen, von $\ i=1{\text{:}}\ \left(x_{1}-{\overline {x}}\right)^{2}$ bis $\ i=n{\text{:}}\ \left(x_{n}-{\overline {x}}\right)^{2}$".

Die (empirische) Standardabweichung lässt sich dann als Wurzel der Formel für die empirischen Varianz berechnen:

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\quad }}$

In unserem Beispiel sind die Standardabweichungen ${\sqrt {7}}\approx 2{,}65\$bzw. ${\sqrt {2}}41\approx 15{,}52$. Allein die Tatsache, dass die Standardabweichung die gleichen Einheiten wie die Variable hat (hier kg), im Gegenteil zur Varianz (hier kg²), sollte darauf hinweisen, dass die Standardabweichung ein geeigneteres Instrument als die Varianz für die Beschreibung der Streuung ist.

Streuungsmaßen um den Median (den Zentralwert)

Den Median (auch Zentralwert genannt) mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.

Die Spannweite, also die Differenz zwischen größten und kleinsten Wert ist ein Streuungsmaß auch im Fall des Medians. Ein anderes Maß ist in diesem Fall der Interquartilsabstand (Symbol IQR). Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Werte. Wenn wir den ersten viertel der geordneten Werte nehmen, dann ist der Wert am oberen Rand das untere (erste) Quartil. Am oberen Rand der ersten drei Viertel befindet sich das obere (dritte) Quartil. Die Differenz der Werte des oberen und des unteren Quartils ist der Interquartilsabstand.

All diese Sachen können wir in einem sogenannten Boxplot Diagramm darstellen. Das folgende Beispiel beruht auf einer Messreihe mit den folgenden 20 Datenpunkten:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$x_{i}$ (unsortiert)	9	6	7	7	3	9	10	1	8	7	9	9	8	10	5	10	10	9	10	8
$x_{(i)}$ (sortiert)	1	3	5	6	7	7	7	8	8	8	9	9	9	9	9	10	10	10	10	10

Beispiel für einen Box-Plot

Ein Box-Plot hilft dabei sehr schnell einen Überblick über diese Daten zu erhalten. So erkennt man direkt, dass der Median (durchgezogene Linie) genau bei 8,5 liegt und dass je 25 % der Daten unter 7 und über 9,5 liegen, denn dies sind genau die Abmessungen der Box (die "Schachtel" in der Mitte), in der 50 % der Messwerte enthalten sind. Folglich ist auch der Interquartilsabstand, der der Länge der Box entspricht, genau 2,5 (also 9,5−7).

Dieser Box-Plot wurde mit Whiskern bis zu einer Länge des 1,5-fachen Interquartilsabstands erstellt. Diese sind also maximal 3,75 Maßeinheiten lang. Allerdings reichen Whisker stets nur bis zu einem Wert aus den Daten, der sich noch innerhalb dieser 3,75 Einheiten befindet. Der obere Whisker verläuft also nur bis zu 10, da es keinen größeren Wert in den Daten gibt, und der untere Whisker nur bis 5, da der nächstkleinere Wert weiter als 3,75 vom Anfang der Box entfernt ist.

Die Werte von 1 und 3 werden im Box-Plot als Ausreißer markiert, da sie sich nicht innerhalb der Box oder der Whisker befinden. Bei diesen Werten sollte untersucht werden, ob es sich tatsächlich um Ausreißer oder um Tippfehler oder anderweitig auffällige Werte handelt.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine von mehreren sogenannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie dient dazu, die Wahrscheinlichkeit eines gewissen Ereignisses bei bestimmten Zufallsexperimenten zu berechnen. Was das bedeutet, werden wir durch ein einfaches Beispiel erklären.

Wenn wir eine Münze werfen, gibt es zwei mögliche Ereignisse: "Kopf" oder "Zahl". Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Kopf ist in der Regel 50%, in diesem Fall genau so viel, wie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses "nicht Kopf", also des Ereignisses "Zahl". 50% ist 0,5. Beide Ereignisse zusammen, also dass "Kopf" oder "Zahl" herauskommt, haben eine gesamte Wahrscheinlichkeit von 100%, also von 1. In den Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden in der Regel reine Zahlen wie 0,5 und 1 statt ihre Prozentdarstellungen (50% bzw. 100%) benutzt.

Der Münzwurf ist ein Zufallsexperiment. Bei einem Wurf wissen wir (normalerweise) nicht, was das Ergebnis sein wird. Wir wissen aber schon, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ergebnissen vorkommt, genau 0,5 ist. Das bedeutet, dass, wenn wir die Münze sehr oft werfen, ungefähr (oder genau) die Hälfte der Ergebnisse wird Kopf sein und die andere Hälfte Zahl. Je öfter wir die Münze werfen, desto näher zu 0,5 wird das Ergebnis Kopf vorkommen.

In diesem Zufallsexperiment gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl. Wenn ein Würfel geworfen wird, gibt es 6 möglichen Ergebnisse. Die Binomialverteilung beschriebt die Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten mit genau zwei möglichen Ergebnissen, wie beim Münzwurf. Mit Hilfe der entsprechenden Formel können wir beispielsweise berechnen, wie viel die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach 5 Würfen Kopf genau 4 mal vorkommt. Die allgemeine Formel für die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist:

$B(k\mid p,n)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

B ist die Wahrscheinlichkeit, die wir berechnen wollen, n ist die Anzahl der Wiederhollungen des Experiments (im Beispiel ist es 5 Würfen), k zeigt uns wie oft das gefragte Ereignis vorkommt (im Beispiel 4 mal Kopf) und p ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bei einer Wiederholung als reine (und nicht Prozent-) Zahl (in unserem Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Wurf Kopf vorkommt, also 0,5). Der Ausdruck $\textstyle \ {\binom {n}{k}}\$ist die sogenannte "Binomialkoeffizient" und lässt sich bei den meisten Taschenrechner mit Hilfe der Taschenrechnerfunktion "nCr" berechnen. Im konkreten Beispiel ist die gefragte Wahrscheinlichkeit:

$B(4\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{4}}\cdot 0{,}5^{4}\cdot (1-0{,}5)^{5-4}=5\cdot 0{,}5^{4}\cdot 0{,}5^{1}=0{,}15625$

Welche Möglichkeiten gibt es bei diesem Zufallsexperiment? Dass Kopf genau 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 mal vorkommt. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss selbstverständlich 1 sein. Probieren wir es aus:

$B(0\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{0}}\cdot 0{,}5^{0}\cdot (1-0{,}5)^{5-0}=1\cdot 0{,}5^{0}\cdot 0{,}5^{5}=0{,}03125$

$B(1\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{1}}\cdot 0{,}5^{1}\cdot (1-0{,}5)^{5-1}=5\cdot 0{,}5^{1}\cdot 0{,}5^{4}=0{,}15625$

$B(2\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{2}}\cdot 0{,}5^{2}\cdot (1-0{,}5)^{5-2}=10\cdot 0{,}5^{2}\cdot 0{,}5^{3}=0{,}3125$

$B(3\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{3}}\cdot 0{,}5^{3}\cdot (1-0{,}5)^{5-3}=10\cdot 0{,}5^{3}\cdot 0{,}5^{2}=0{,}3125$

$B(4\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{4}}\cdot 0{,}5^{4}\cdot (1-0{,}5)^{5-4}=5\cdot 0{,}5^{4}\cdot 0{,}5^{1}=0{,}15625$

$B(5\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{5}}\cdot 0{,}5^{5}\cdot (1-0{,}5)^{5-5}=1\cdot 0{,}5^{5}\cdot 0{,}5^{0}=0{,}03125$

Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten addieren, bekommen wir tatsächlich 1 (was 100% ist, also alle Möglichkeiten):

$0{,}03125+0{,}15625+0{,}3125+0{,}3125+0{,}15625+0{,}03125=1$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch, eines von beiden Ergebnissen vorkommt, ist selbstverständlich nicht immer 0,5 wie beim Münzwurf. Denken wir an eine Urne mit 8 Kugeln, von denen 3 rot und 5 Schwarz sind. Wenn wir zufällig eine Kugel wählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie rot ist, nicht mehr 0,5 sondern $\textstyle {\frac {3}{8}}=0{,}375$. Mit Hilfe der Formel können wir dann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass nach 9 mal Ziehen (immer mit Zurücklegen der Kugel) 6 mal rot gezogen wird:

$B(6\mid 0{,}375,\ 9)={\binom {9}{6}}\cdot 0{,}375^{6}\cdot (1-0{,}375)^{9-6}=84\cdot 0{,}375^{6}\cdot 0{,}625^{3}\approx 0{,}057$

Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht so groß und das war intuitiv schon zu erwarten, da rot nur 3 in 8 mal vorkommt, also in 9 mal ein bisschen mehr als 3 mal. Wie oft erwarten wir, dass rot nach 9 mal Ziehen vorkommt? Schon ein bisschen mehr als 3 mal aber sicherlich nicht 4 mal. Dieser Wert wird Erwartungswert $\ \mu \$genannt und lässt sich leicht mit der folgenden Formel berechnen:

$\mu =n\cdot p$

In diesem Beispiel ist der Erwartungswert:

$\mu =9\cdot 0{,}375=3{,}375$

Das ist eine Art von Mittelwert. Wenn wir tatsächlich das Experiment durchführen, werden wir allerdings nie diesen Wert bekommen (es ist physikalisch unmöglich, wir können nur ganzen Kugeln ziehen). Die tatsächlichen Ergebnissen werden um diesen Wert sozusagen variieren. Ein Maß für diese Variation ist die sogenannte Standardabweichung:

$\sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)\ }}$

Die Standardabweichung ist ein sogenanntes Streuungsmaß. Sie zeigt uns sozusagen, wie viel die tatsächlichen Ergebnissen um den erwarteten "zerstreut" sind.

Wenn wir jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, dass nach 9 mal Ziehen rot höchsten 7 mal vorkommt, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten bis 7 addieren. In diesem Fall gibt es allerdings einen schnelleren Weg, nämlich mit Hilfe des Gegenereignisses. Wir können die Wahrscheinlichkeit für 8 und für 9 mal berechnen und die Ergebnisse aus 1 subtrahieren:

$P(x\leq 7)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)=\dots$

$\dots =1-P(x\geq 8)=1-P(x=9)-P(x=8)=1-{\binom {9}{9}}\cdot 0{,}375^{9}\cdot (1-0{,}375)^{9-9}-{\binom {9}{8}}\cdot 0{,}375^{8}\cdot (1-0{,}375)^{9-8}\approx 0{,}9977$

also ca. 99,77%!