Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π

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Transzendenz von $e$ und $\pi$

Der folgende Beweis beruht auf Hilberts Aufsatz "Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$" (siehe unten). Er wird als Widerspruchsbeweis geführt, d. h. es wird angenommen, dass die Zahlen $e$ und $\pi$ algebraisch seien. Von fundamentaler Bedeutung ist der für alle $k\in \mathbb {N}$ geltende Sachverhalt

$\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx=k!\quad$ (1)

Beim Beweis für $e$ geht man folgendermaßen vor: Man nimmt an, dass $e$ algebraisch sei, also einer Gleichung

$a+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\ldots +a_{n}e^{n}=0\quad$ (2)

mit ganzen Koeffizienten genüge. Man betrachtet nun das Integral

$\int _{0}^{\infty }=\int _{0}^{\infty }z^{k}[(z-1)(z-2)\ldots (z-n)]^{k+1}e^{-z}dz$

dessen Integrand das Produkt der Funktionen $[z(z-1)(z-2)\ldots (z-n)]^{k}$ und $(z-1)(z-2)\ldots (z-n)e^{-z}$ ist. Dieses Integral multipliziert man nun mit der linken Seite der Gleichung (2) und bekommt folgenden Ausdruck:

$a\int _{0}^{\infty }+a_{1}e\int _{0}^{\infty }+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }$

Diesen Ausdruck kann man aufspalten in $P_{1}+P_{2}$ mit

$P_{1}=a\int _{0}^{\infty }+a_{1}e\int _{1}^{\infty }+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }$

$P_{2}=a_{1}e\int _{0}^{1}+a_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{0}^{n}$

Ziel ist es nun zu zeigen, dass ${\frac {P_{1}}{k!}}+{\frac {P_{2}}{k!}}$ ungleich Null ist. Dazu weist man nach, dass ${\frac {P_{1}}{k!}}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl und $\left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|$ kleiner als 1 ist.

Um zu zeigen, dass ${\frac {P_{1}}{k!}}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl ist, zeigt man mit (1), dass das Integral $\int _{0}^{\infty }$ eine ganze, durch $k!$ teilbare Zahl ist und die übrigen Integrale $\int _{i}^{\infty }$, $i=1,\ldots ,n$ sogar mindestens durch $(k+1)!$ teilbar sind. Nach wenigen Schritten wählt man schließlich $k$ so, dass $k+1$ eine Primzahl ist, die größer als $n$ und $a$ ist und erhält die gewünschte Forderung für ${\frac {P_{1}}{k!}}$.

Um zu zeigen, dass ${\frac {P_{2}}{k!}}<1$ ist, stellt man fest, dass die Funktionen

$z(z-1)(z-2)\ldots (z-n)$ und $(z-1)(z-2)\ldots (z-n)e^{-z}$

als stetige Funktionen auf dem Intervall $[0,n]$ durch $G$ bzw. $H$ beschränkt sind. Dann lassen sich die einzelnen Integrale in $P_{2}$ sehr gut abschätzen und man kommt zu der Ungleichung:

${\frac {P_{2}}{k!}}\leq {\frac {H\cdot G^{k}}{k!}}.$

Da $\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {G^{k}\cdot H}{k!}}=0,$ existiert ein genügend großes $k$ sowie ein davon abhängiges ${\frac {P_{2}}{k!}}$, für welche gilt:

$\left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|\leq {\frac {G^{k}\cdot H}{k!}}<1$

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, existiert ein $k$, für das sowohl ${\frac {P_{1}}{k!}}\neq 0$ als auch $\left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1$ gilt.

Der Transzendenzbeweis von $\pi$ verläuft ähnlich. Man nimmt ebenfalls an, dass $\pi$ algebraisch ist. Dann ist auch $i\pi$ algebraisch und Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten und es gilt:

$(e^{z_{1}}+1)(e^{z_{2}}+1)\ldots (e^{z_{n}}+1)=0,$

wenn $z_{1}=i\pi$ ist. Es gilt: $z_{2}=-i\pi$ ist als konjungiert komplexe Zahl ebenfalls Wurzel des Polynoms. Ausmultiplizieren liefert:

$e^{y_{1}}+e^{y_{2}}+\ldots +e^{y_{N}}+1=0,$

wobei die $y_{l}$ die Summen der Wurzeln $z_{j}$ sind. Einige (wie z.B. $z_{1}+z_{2})$ haben den Wert 0 und tragen auf der linken Seite der Gleichung den Wert 1 bei (da $e^{0}=1$). Dann ergibt sich:

$e^{y_{1}}+e^{y_{2}}+\ldots +e^{y_{M}}+a=0,$

wobei die $y_{1},\ldots ,y_{M}$ jene Summen der $z_{j}$ sind, die ungleich Null sind und $a=N-M+1$ ist.

Nun geht man ähnlich wie beim Transzendenzbeweis von $e$ vor. Man multipliziert diese Gleichung wieder mit einem Integral und spaltet die sich ergebende Summe wieder in $P_{1}+P_{2}$ auf. Mit Hilfe einiger Fakten aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und einiger geschickter Abschätzungen der Integrale zeigt man, dass eine Gleichung ${\frac {P_{1}}{k!}}+{\frac {P_{2}}{k!}}=0$ nicht bestehen kann.

Genauere Erläuterungen und Zwischenschritte zu den Transzendenzbeweisen von $e$ und $\pi$ kann man den ausführlichen Beweisen von Fritsch entnehmen (siehe Weblinks).

Literatur

• D. Hilbert Über die Transcendenz der Zahlen $e$ und $\pi$. Mathematische Annalen 43, 216-219 (1893).

Weblinks

• Der Beweis (nach Hilbert), dass e und π transzendent sind (als PDF)
• Ein ausführlicher Beweis (nach Hilbert), dass π transzendent ist

Wikipedia-Verweise

Transzendente Zahl · Kreiszahl · Eulersche Zahl