Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

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Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

$G\$ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement $1\$ . Für jedes Element $x\in G$ gelte $x^{2}=1\$ .

$G\$ ist eine abelsche Gruppe.

Wegen $xx=1\$ hat jedes Element $x\in G$ ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist $G\$ als Gruppe erkannt.
Seien $x,y\in G$ beliebig. Wir müssen $xy=yx\$ nachweisen, und dazu rechnen wir:
$xy=x1y=x(xy)^{2}y=xxyxyy=1yx1=yx\$ .
Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.