Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

$G$ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement $1$ . Für jedes Element $x \in G$ gelte $x^{2} = 1$ .

$G$ ist eine abelsche Gruppe.

Wegen $x x = 1$ hat jedes Element $x \in G$ ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist $G$ als Gruppe erkannt.
Seien $x, y \in G$ beliebig. Wir müssen $x y = y x$ nachweisen, und dazu rechnen wir:
$x y = x 1 y = x (x y)^{2} y = x x y x y y = 1 y x 1 = y x$ .
Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.