Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Elementordnung 2 impliziert Kommutativität[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement . Für jedes Element gelte .

Behauptung[Bearbeiten]

ist eine abelsche Gruppe.

Beweis[Bearbeiten]

  1. Wegen hat jedes Element ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist als Gruppe erkannt.
  2. Seien beliebig. Wir müssen nachweisen, und dazu rechnen wir:
    .
    Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid


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