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Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
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Moduln: freie Moduln sind projektiv


Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

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Voraussetzung

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sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement . Für jedes Element gelte .

Behauptung

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ist eine abelsche Gruppe.

Beweis

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  1. Wegen hat jedes Element ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist als Gruppe erkannt.
  2. Seien beliebig. Wir müssen nachweisen, und dazu rechnen wir:
    .
    Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-Verweise

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abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid