Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π

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Beweisarchiv: Algebra

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Transzendenz von und [Bearbeiten]

Der folgende Beweis beruht auf Hilberts Aufsatz "Über die Transzendenz der Zahlen und " (siehe unten). Er wird als Widerspruchsbeweis geführt, d. h. es wird angenommen, dass die Zahlen und algebraisch seien. Von fundamentaler Bedeutung ist der für alle geltende Sachverhalt

(1)

Beim Beweis für geht man folgendermaßen vor: Man nimmt an, dass algebraisch sei, also einer Gleichung

(2)

mit ganzen Koeffizienten genüge. Man betrachtet nun das Integral

dessen Integrand das Produkt der Funktionen und ist. Dieses Integral multipliziert man nun mit der linken Seite der Gleichung (2) und bekommt folgenden Ausdruck:

Diesen Ausdruck kann man aufspalten in mit

Ziel ist es nun zu zeigen, dass ungleich Null ist. Dazu weist man nach, dass eine ganze von Null verschiedene Zahl und kleiner als 1 ist.

Um zu zeigen, dass eine ganze von Null verschiedene Zahl ist, zeigt man mit (1), dass das Integral eine ganze, durch teilbare Zahl ist und die übrigen Integrale , sogar mindestens durch teilbar sind. Nach wenigen Schritten wählt man schließlich so, dass eine Primzahl ist, die größer als und ist und erhält die gewünschte Forderung für .

Um zu zeigen, dass ist, stellt man fest, dass die Funktionen

und

als stetige Funktionen auf dem Intervall durch bzw. beschränkt sind. Dann lassen sich die einzelnen Integrale in sehr gut abschätzen und man kommt zu der Ungleichung:

Da existiert ein genügend großes sowie ein davon abhängiges , für welche gilt:

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, exisiert ein , für das sowohl als auch gilt.

Der Transzendenzbeweis von verläuft ähnlich. Man nimmt ebenfalls an, dass algebraisch ist. Dann ist auch algebraisch und Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten und es gilt:

wenn ist. Es gilt: ist als konjungiert komplexe Zahl ebenfalls Wurzel des Polynoms. Ausmultiplizieren liefert:

wobei die die Summen der Wurzeln sind. Einige (wie z.B. haben den Wert 0 und tragen auf der linken Seite der Gleichung den Wert 1 bei (da ). Dann ergibt sich:

wobei die jene Summen der sind, die ungleich Null sind und ist.

Nun geht man ähnlich wie beim Transzendenzbeweis von vor. Man multipliziert diese Gleichung wieder mit einem Integral und spaltet die sich ergebende Summe wieder in auf. Mit Hilfe einiger Fakten aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und einiger geschickter Abschätzungen der Integrale zeigt man, dass eine Gleichung nicht bestehen kann.

Genauere Erläuterungen und Zwischenschritte zu den Transzendenzbeweisen von und kann man den ausführlichen Beweisen von Fritsch entnehmen (siehe Weblinks).

Literatur[Bearbeiten]

  • D. Hilbert Über die Transcendenz der Zahlen und . Mathematische Annalen 43, 216-219 (1893).

Weblinks[Bearbeiten]

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Transzendente Zahl · Kreiszahl · Eulersche Zahl


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