Beweisarchiv: Algebra: Körper: Endlicher Integritätsbereich

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Der Ring sei endlich und ein Integritätsbereich.

(Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement .)

Behauptung[Bearbeiten]

ist ein Körper.

Beweis 1 (kombinatorisch)[Bearbeiten]

sei ein Element des Ringes mit . Wir müssen zeigen, dass ein multiplikatives Inverses hat, denn alle anderen Körperaxiome sind in einem kommutativen Ring mit schon erfüllt.

Dazu betrachten wir die Abbildung (Linksmultiplikation mit ) und zeigen, dass diese injektiv ist.

Seien daher zwei Elemente mit gegeben. Das heißt , also . Da nullteilerfrei und ist, muss sein, also . Damit ist f als injektiv nachgewiesen.

Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist bijektiv. Die hat also genau ein Urbild unter der Funktion . Für dieses gilt , es ist also das gesuchte inverse Element zu (wobei noch die Kommutativität des Ringes eingeht).

Beweis 2 (mit linearer Algebra)[Bearbeiten]

Es sei das Bild des kanonischen Ringhomomorphismus ; ist ein endlicher Körper, und ist eine -Algebra.

Wie im ersten Beweis betrachten wir die Linksmultiplikation mit einem Element ,

und wie im ersten Beweis folgt die Injektivität dieser Abbildung. Sie ist ein -linearer Endomorphismus des endlichdimensionalen Vektorraumes , nach der Dimensionsformel also auch surjektiv. Das weitere Vorgehen ist wie in Beweis 1.

Beweis 3 (mit Körpertheorie)[Bearbeiten]

sei wie in Beweis 2, und es sei der Quotientenkörper von . ist eine endliche, also algebraische Erweiterung von . Für jedes Element ist eine Körpererweiterung von , insbesondere ist in und damit in invertierbar.

Beweis 4 (mit kommutativer Algebra)[Bearbeiten]

Endliche Ringe sind artinsch, und artinsche Integritätsbereiche sind Körper.

Verschärfung: Einselement muss nicht vorausgesetzt werden[Bearbeiten]

Die Voraussetzung kann dahingehend abgeschwächt werden, dass ein endlicher nullteilerfreier kommutativer Ring mit mindestens zwei Elementen ist: Sei . Die unendlich vielen Elemente können nach dem Schubfachprinzip nicht alle verschieden sein, es gibt also natürliche Zahlen mit und . setze (beachte , die Potenz kann also gebildet werden). Sei beliebig. Dann

Wegen folgt und somit bzw. . Analog folgt . Somit ist Einselement von (und als Potenz von auch von 0 verschieden), d.h. die ursprüngliche Voraussetzung des Satzes ist erfüllt.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Injektivität - Integritätsbereich - Körper - Ringtheorie - Surjektivität


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