Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen

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Sind $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a>0$, so existiert eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $na>b$.

Beweis

Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis.
Seien also $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a>0$ und es gäbe keine solche natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $na>b$, so gilt $na\leq b$ für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N}$, also ist $b$ eine obere Schranke der Menge

$M:=\{na|n\in \mathbb {N} \}\subseteq \mathbb {R}$.

Da $M$ nach oben beschränkt und wegen $0\in M$ nicht leer ist, hat $M$ mit dem Vollständigkeitsaxiom ein Supremum $s:=\sup M$ mit $na\leq s$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Nun nehme $s-{\frac {a}{2}}\in \mathbb {R}$, dann gibt es wegen $s-{\frac {a}{2}}<s$ ein $na\in M$ mit $na>s-{\frac {a}{2}}$. Damit gilt aber $na+{\frac {a}{2}}>s\Rightarrow na+2{\frac {a}{2}}=na+a=(n+1)a>s$. Wegen $(n+1)\in \mathbb {N}$ ist aber auch $(n+1)a\in M$ im Widerspruch zu $s=\sup M$.

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Wikipedia-Verweis

Archimedisches Axiom