Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
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Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv

Sind mit , so existiert eine natürliche Zahl mit .

Beweis[Bearbeiten]

Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis.
Seien also mit und es gäbe keine solche natürliche Zahl mit , so gilt für alle natürlichen Zahlen , also ist eine obere Schranke der Menge

.

Da nach oben beschränkt und wegen nicht leer ist, hat mit dem Vollständigkeitsaxiom ein Supremum mit für alle . Nun nehme , dann gibt es wegen ein mit . Damit gilt aber . Wegen ist aber auch im Widerspruch zu .

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]

Archimedisches Axiom