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Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen

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Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Sind mit , so existiert eine natürliche Zahl mit .

Beweis

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Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis.
Seien also mit und es gäbe keine solche natürliche Zahl mit , so gilt für alle natürlichen Zahlen , also ist eine obere Schranke der Menge

.

Da nach oben beschränkt und wegen nicht leer ist, hat mit dem Vollständigkeitsaxiom ein Supremum mit für alle . Nun nehme , dann gibt es wegen ein mit . Damit gilt aber . Wegen ist aber auch im Widerspruch zu .

Wikipedia-Verweis

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Archimedisches Axiom