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Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Lineare Abbildungen und Matrizen

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Seien mit sowie und linear: Dann existiert eine -Matrix mit für alle .

Beweis

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Sei entsprechend der obigen Definition gegeben und sei die kanonische Basis des . Dann definiere die -te Spalte von durch für . Sei nun . Dann gilt mit den Rechenregeln für Matrizen:

.