Beweisarchiv: Algebra: Moduln: freie Moduln sind projektiv

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Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv


Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei ein freier -Modul.

Behauptung[Bearbeiten]

ist projektiv.

Beweis[Bearbeiten]

Für beliebige -Moduln seien Homomorphismen und gegeben, wobei f surjektiv sei.

Ziel ist es, ein zu konstruieren, so dass ist.

F ist frei und hat deshalb eine Basis, welche wir als B bezeichnen. (B kann endlich oder unendlich sein.) Für jedes ist die Menge nichtleer, weil f surjektiv ist. Die Familie

ist eine Familie von nichtleeren Mengen, indiziert durch B.

Auf Grund des Auswahlaxioms gibt es also eine Auswahlfunktion k von B zu S, welche für jedes ein „auswählt“ . Weil B eine Basis ist, hat jedes Element eine eindeutige Darstellung als eine endliche Linearkombination von B-Elementen:

,

wobei die Elemente aus R sind und nur endlich viele von null verschieden sind. Man setze jetzt

.

Es verbleibt nur zu zeigen, dass g ein Modulhomomorphismus ist und dass wirklich gilt. Doch ist

für jedes , weil k(b) der Menge angehört. Die Behauptungen folgen nun, entweder mittels direkter Verifikation oder aus den universellen Eigenschaften der Basis eines Moduls.

Literatur[Bearbeiten]

Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra Teil 1 bis 3. Teubner-Verlag.