Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlicher abelscher Gruppen

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Beweisarchiv: Algebra

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Satz[Bearbeiten]

Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Bis auf Reihenfolge und Isomorphie der Summanden ist diese Zerlegung eindeutig.

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung . Für ist , , d.h. die Multiplikation mit , ein Gruppenendomorphismus.

Die Eindeutigkeitsaussage ergibt sich wie folgt: Falls

betrachte für prim und . Falls , so ist auf dem Summanden ein Isomorphismus. Falls , umfasst der Kern der Einschränkung von auf genau Elemente. Folglich ist

und daher

Also lassen sich die Summanden in der obigen direkten Summe eindeutig zurückgewinnen.


Für die Existenzaussage beweisen wir zunächst zwei Hilfssätze:


Lemma 1. Ist , so ist jeder Primteiler von auch Teiler von .

Beweis (per Induktion nach ): Der Fall ist klar, da dann gar keine Primteiler hat.

Sei daher jetzt und die Behauptung gelte für alle kleineren Gruppenordnungen. Wähle ein . Für die Ordnung von gilt dann nach Wahl von . Dann ist eine abelsche Gruppe der kleineren Ordnung und wird ebenfalls von der Multiplikation mit annulliert. Nach Induktionsvoraussetzung hat nur Primteiler, die teilen. Nach Voraussetzung gilt , so dass auch nur solche Primteiler hat. Damit ist das Lemma bewiesen.


Lemma 2. Ist prim und abelsch von Primzahlpotenzordnung und hat maximale Ordnung, so ist ein direkter Summand von , d.h. es gibt eine Untergruppe mit .

Beweis (per Induktion nach ): Falls zyklisch ist (dies umfasst auch den Fall , ist die Behauptung klar, denn dann gilt .

Ist dagegen nicht zyklisch, so hat jedes Element höchstens Ordnung , d.h. die -malige Hintereinanderausührung von bildet ganz auf 0 ab. Das Bild von enthält mindestens Elemente, so dass sich und folglich ergibt. Deswegen können wir wählen; dann ist zyklisch von der Ordnung und wir können folglich weiter ein finden. Es ist dann auch zyklisch von Ordnung und diese beiden Gruppen haben trivialen Durchschnitt. Die zyklische Gruppe kann nur eine Untergruppe der Ordnung enthalten, also gilt oder . Sei diejenige der Gruppen , mit . Allgemein ist für die Ordnung vno höchstens so groß wie die Ordnung von . Das Element hat wegen dieselbe Ordnung wie , insbesondere ist diese Ordnung maximal für Elemente von . Nach Induktionsvoraussetzung ist für eine Untergruppe . Ist das Urbild von , so folgt . Damit ist das Lemma bewiesen.


Wir beweisen auch die Existenzaussage des eigentlichen Satz durch Induktion nach . Der Fall ist klar, denn die triviale Gruppe ist das leere Produkt.

Sei daher jetzt und die Aussage des Satzes gelte für alle Gruppen kleinerer Ordnung.

Wir betrachten zunächst den Fall, dass gilt mit teilerfremden Zahlen . Dann gibt es ganze Zahlen mit .

Für gilt . Hierbei ist wegen der erste Summand in und ebenso der zweite aus , folglich gilt . Für gilt , folglich . Zusammen mit bedeutet dies .

Nach Lemma 1 und wegen der Teilerfremdheit von und kann weder noch gelten, d.h. beide direkten Summanden sind echte Untergruppen, folglich nach Induktionsvoraussetzung von der behaupteten Form und damit gilt der Satz auch für .

Es bleibt noch der Fall, dass keine Zerlegung wie oben existiert, d.h. is eine Primzahlpotenz, mit prim, . Wähle von maximaler Ordnung und zerlege gemäß Lemma 2. Nach Induktionsvoraussetzung ist direkte Summe von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung, damit gilt dies aber auch für .

Damit ist der Satz bewiesen.