Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen

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Satz

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt einer frei-abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe. Hierbei ist der Rang der frei-abelschen Gruppe eindeutig und die endliche Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig.

Beweis

Zur Eindeutigkeit

Sei $G$ endlich erzeugte Gruppe und $G\cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus H$, wobei $H$ endlich ist. Dann ist $H$ in der Summe rechts die Torsionsuntergruppe (die Menge der Elemente endlicher Ordnung), folglich isomorph zur Torsionsuntergruppe von $G$. Ferner folgt $G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \mathbb {Q} ^{r}$, so dass auch $r$ als Dimension dieses $\mathbb {Q}$-Vektorraumes eindeutig gegeben ist.

Zur Existenz

Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit additiv geschriebener Verknüpfung. Ist $g=(g_{1},\ldots ,g_{k})$ ein endliches Erzeugendensystem von $G$, d. h. es gilt $G=\langle g_{1},\ldots ,g_{k}\rangle$, so definiert dies einen Gruppenepimorphismus $\phi _{g}\colon \mathbb {Z} ^{k}\to G$ vermöge $\phi (a_{1},\ldots ,a_{k})=a_{1}\cdot g_{1}+\cdots +a_{k}\cdot g_{k}$. Der Beweis erfolgt per Induktion nach der Länge $k$ des Erzeugendensystems. Für den Induktionsanfang $k=0$ folgt sofort, dass $G$ die triviale Gruppe ist, und für diese existiert die gewünschte Zerlegung trivialerweise.

Sei also fortan $k>0$ und die Aussage für von weniger Elementen erzeugte Gruppen bereits gezeigt. Sei $\pi \colon \mathbb {Z} ^{r}\to \mathbb {Z}$ die Projektion auf die erste Komponente und sei $A_{g}:=\pi \ker \phi _{g}$ das Bild des Kerns von $\phi _{g}$ unter dieser Projektion. Dies ist eine Untergruppe der ersten Komponente $\mathbb {Z}$, also von der Form $A_{g}=d\mathbb {Z}$ mit $d\in \mathbb {N} _{0}$. Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit sei $g$ unter allen Erzeugendensystemen der Länge $k$ derart gewählt, dass $d$ minimiert wird.

Falls $d=0$, so gilt $G=\langle g_{1}\rangle \oplus \langle g_{2},\ldots ,g_{k}\rangle$. Hierbei ist $\langle g_{1}\rangle \cong \mathbb {Z}$ und nach Induktionsvoraussetzung $\langle g_{2},\ldots ,g_{k}\rangle \cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus H$ für ein $r\in \mathbb {N} _{0}$ und endliches $H$. Es folgt $G\cong \mathbb {Z} ^{r+1}\oplus H$ wie gewünscht.

Falls dagegen $d>0$, wähle ein Element $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \ker \phi _{g}$ mit $a_{1}=d$. Sei $2\leq i\leq k$. Per Division mit Rest findet man $q,d'\in \mathbb {Z}$ mit $a_{i}=qd+d'$ und $0\leq d'<d$. Definiere $h=(h_{1},\ldots ,h_{k})$ durch $h_{1}:=g_{i}$, $h_{i}:=g_{1}+q\cdot g_{i}$ und ansonsten $h_{j}:=g_{j}$. Dann ist auch $h$ ein Erzeugendensystem der Länge $k$ von $G$. Mit $b_{1}:=d'$, $b_{i}:=d$ und ansonsten $b_{j}:=a_{j}$ ergibt sich wegen $b_{1}\cdot h_{1}+b_{i}\cdot h_{i}=(a_{i}-qd)\cdot g_{i}+d\cdot (g_{1}+q\cdot g_{i})=a_{i}\cdot g_{i}+a_{1}\cdot g_{1}$, dass $(b_{1},\ldots ,b_{k})\in \ker \phi _{h}$. Wegen der Minimalität von $d$ ist $1\leq d'<d$ ausgeschlossen, d. h. $a_{i}$ ist ein Vielfaches von $d$. Setze daher $q_{i}:={\tfrac {a_{i}}{d}}$ für $1\leq i\leq k$ (insb. also $q_{1}=1$) sowie

$y:=\sum _{i=1}^{k}q_{i}\cdot g_{i}$.

Da sich $g_{1}$ wieder aus $y$ und den anderen Erzeugern kombinieren lässt, ergibt sich $G=\langle y,g_{2},\ldots ,g_{k}\rangle$. Dies lässt sich auch schreiben als $G=\langle y\rangle +\langle g_{2},\ldots ,g_{k}\rangle$. Diese Summenzerlegung ist sogar direkt, denn aus $a\cdot y=\sum _{i=2}^{k}a_{i}\cdot g_{i}$ ergibt sich durch Einsetzen, dass $a\in A_{g}$ gilt, also $a$ Vielfaches von $d$ ist. Es ist jedoch bereits $d\cdot y=0$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $\langle g_{2},\ldots ,g_{k}\rangle \cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus H$ für ein endliches $H$. Es folgt $G\cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus {\bigl (}H\oplus \langle y\rangle {\bigr )}$ wie gewünscht.