Beweisarchiv: Algebra
- Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
- Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
- Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
- Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
- Moduln: freie Moduln sind projektiv
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt einer frei-abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe.
Hierbei ist der Rang der frei-abelschen Gruppe eindeutig und die endliche Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig.
Sei
endlich erzeugte Gruppe und
, wobei
endlich ist.
Dann ist
in der Summe rechts die Torsionsuntergruppe (die Menge der Elemente endlicher Ordnung), folglich isomorph zur Torsionsuntergruppe von
. Ferner folgt
, so dass auch
als Dimension dieses
-Vektorraumes eindeutig gegeben ist.
Sei
eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit additiv geschriebener Verknüpfung.
Ist
ein endliches Erzeugendensystem von
, d. h. es gilt
, so definiert dies einen Gruppenepimorphismus
vermöge
.
Der Beweis erfolgt per Induktion nach der Länge
des Erzeugendensystems.
Für den Induktionsanfang
folgt sofort, dass
die triviale Gruppe ist, und für diese existiert die gewünschte Zerlegung trivialerweise.
Sei also fortan
und die Aussage für von weniger Elementen erzeugte Gruppen bereits gezeigt.
Sei
die Projektion auf die erste Komponente und sei
das Bild des Kerns von
unter dieser Projektion.
Dies ist eine Untergruppe der ersten Komponente
, also von der Form
mit
.
Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit sei
unter allen Erzeugendensystemen der Länge
derart gewählt, dass
minimiert wird.
Falls
, so gilt
.
Hierbei ist
und nach Induktionsvoraussetzung
für ein
und endliches
. Es folgt
wie gewünscht.
Falls dagegen
, wähle ein Element
mit
.
Sei
.
Per Division mit Rest findet man
mit
und
.
Definiere
durch
,
und ansonsten
.
Dann ist auch
ein Erzeugendensystem der Länge
von
.
Mit
,
und ansonsten
ergibt sich wegen
, dass
.
Wegen der Minimalität von
ist
ausgeschlossen, d. h.
ist ein Vielfaches von
.
Setze daher
für
(insb. also
) sowie
.
Da sich
wieder aus
und den anderen Erzeugern kombinieren lässt, ergibt sich
.
Dies lässt sich auch schreiben als
.
Diese Summenzerlegung ist sogar direkt, denn aus
ergibt sich durch Einsetzen, dass
gilt, also
Vielfaches von
ist. Es ist jedoch bereits
.
Nach Induktionsvoraussetzung ist
für ein endliches
.
Es folgt
wie gewünscht.