Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen

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Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv


Satz[Bearbeiten]

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt einer frei-abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe. Hierbei ist der Rang der frei-abelschen Gruppe eindeutig und die endliche Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig.

Beweis[Bearbeiten]

Zur Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Sei endlich erzeugte Gruppe und , wobei endlich ist. Dann ist in der Summe rechts die Torsionsuntergruppe (die Menge der Elemente endlicher Ordnung), folglich isomorph zur Torsionsuntergruppe von . Ferner folgt , so dass auch als Dimension dieses -Vektorraumes eindeutig gegeben ist.

Zur Existenz[Bearbeiten]

Sei eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit additiv geschriebener Verknüpfung. Ist ein endliches Erzeugendensystem von , d. h. es gilt , so definiert dies einen Gruppenepimorphismus vermöge . Der Beweis erfolgt per Induktion nach der Länge des Erzeugendensystems. Für den Induktionsanfang folgt sofort, dass die triviale Gruppe ist, und für diese existiert die gewünschte Zerlegung trivialerweise.

Sei also fortan und die Aussage für von weniger Elementen erzeugte Gruppen bereits gezeigt. Sei die Projektion auf die erste Komponente und sei das Bild des Kerns von unter dieser Projektion. Dies ist eine Untergruppe der ersten Komponente , also von der Form mit . Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit sei unter allen Erzeugendensystemen der Länge derart gewählt, dass minimiert wird.

Falls , so gilt . Hierbei ist und nach Induktionsvoraussetzung für ein und endliches . Es folgt wie gewünscht.

Falls dagegen , wähle ein Element mit . Sei . Per Division mit Rest findet man mit und . Definiere durch , und ansonsten . Dann ist auch ein Erzeugendensystem der Länge von . Mit , und ansonsten ergibt sich wegen , dass . Wegen der Minimalität von ist ausgeschlossen, d. h. ist ein Vielfaches von . Setze daher für (insb. also ) sowie

.

Da sich wieder aus und den anderen Erzeugern kombinieren lässt, ergibt sich . Dies lässt sich auch schreiben als . Diese Summenzerlegung ist sogar direkt, denn aus ergibt sich durch Einsetzen, dass gilt, also Vielfaches von ist. Es ist jedoch bereits . Nach Induktionsvoraussetzung ist für ein endliches . Es folgt wie gewünscht.