Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei ein kommutativer unitärer Ring sowie beliebig.

Behauptung[Bearbeiten]

Es gilt .

Beweis[Bearbeiten]

Durch vollständige Induktion über .

:

Induktionsschritt:

Annahme: gilt für ein

Behauptung:

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

(1. Anwenden des Distributivgesetzes)
(2. Hineinmultiplizieren der Faktoren in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.


Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

(3. Indexverschiebung des linken Summanden)
(4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)
(5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Binomischer Lehrsatz - Binomialkoeffizient


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