Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Voraussetzung

Sei $R$ ein kommutativer unitärer Ring sowie $a,b\in R,n\in \mathbb {N} _{0}$ beliebig.

Es gilt $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$ .

Durch vollständige Induktion über $n$ .

$n=0$ :

(a+b)^{0}=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{k}b^{0-k}

Induktionsschritt: $n\rightarrow n+1$

Annahme: $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$ gilt für ein $n\in \mathbb {N} _{0}$

Behauptung: $(a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}$

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}

=a\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}+b\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}

(1. Anwenden des Distributivgesetzes)

=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}

(2. Hineinmultiplizieren der Faktoren

a,b

in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

{n \choose k-1}+{n \choose k}={n+1 \choose k}

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.

Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}

=\sum _{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}

(3. Indexverschiebung des linken Summanden)

=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}

(4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)

=b^{n+1}+a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\left({n \choose k-1}+{n \choose k}\right)a^{k}b^{n+1-k}}

(5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

={n+1 \choose 0}a^{0}b^{(n+1)-0}+{n+1 \choose n+1}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}+\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}

=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}

\Box