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Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Beweisarchiv: Algebra

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Moduln: freie Moduln sind projektiv


Voraussetzung

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Sei ein kommutativer unitärer Ring sowie beliebig.

Behauptung

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Es gilt .

Beweis

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Durch vollständige Induktion über .

:

Induktionsschritt:

Annahme: gilt für ein

Behauptung:

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

(1. Anwenden des Distributivgesetzes)
(2. Hineinmultiplizieren der Faktoren in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.


Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

(3. Indexverschiebung des linken Summanden)
(4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)
(5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

Wikipedia-Verweise

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Binomischer Lehrsatz - Binomialkoeffizient