Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Sylow-Sätze

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv

Satz[Bearbeiten]

Sei eine endliche Gruppe der Ordnung , wobei Primzahl und nicht durch teilbar sei. Sei die Menge der -Sylowuntergruppen von und deren Anzahl. Dann gilt:

  1. .
  2. .
  3. Ist eine Untergruppe eine -Gruppe, d.h. ist die Ordnung eine Potenz von , so gilt für ein .
  4. operiert durch Konjugation transitiv auf

Beweis[Bearbeiten]

Wir zeigen zunächst

Lemma.

Beweis (durch Induktion über ):

Falls , ist .

Sei jetzt und das Lemma gelte für kleinere Werte von . operiert auf sich selbst durch Konjugation und zerfällt dadurch in Bahnen. Die Bahnenlänge eines Elements ist hierbei gleich dem Index des Zentralisators in . Die Bahnenlänge ist also genau dann 1, wenn , d.h. wenn im Zentrum liegt. Ansonsten ist eine echte Untergruppe. Falls dann Teiler von ist, hat nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe der Ordnung , die aber ja auch in Untergruppe von ist, und wir sind fertig.

Wir können also annehmen, dass für die Ordnung von nicht durch teilbar ist; dann muss aber umgekehrt die zugehörige Bahnenlänge Vielfaches von sein. Da die Summe aller Bahnenlängen ist, folgt . Insbesondere enthält eine Untergruppe der Ordnung . Als Untergruppe des Zentrums ist diese normal, wir können also die Gruppe und die kanonische Projektion betrachten. In dieser gibt es nach Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe der Ordnung . Deren Urbild hat dann die Ordnung , liegt also in .

Damit ist das Lemma bewiesen.


Für den Beweis des Satzes sei jetzt eine laut Lemma existierende Sylowgruppe. Da durch Konjugation aus einer -elementigen Untergruppe wieder eine solche wird, operiert auf . Sei die Bahn von . Da zumindest für gilt, ist die Bahnlänge ein Teiler von , also zu teilerfremd.

Sei eine beliebige -Untergruppe von . Auch operiert auf durch Konjugation. Hierbei auftretende Bahnlängen sind entweder 1 oder Vielfache von . Da insgesamt kein Vielfaches von ist, muss mindestens einmal die Bahnlänge 1 auftreten, d.h. normalisiert ein . Dann ist aber Untergruppe von und obendrein -Gruppe mit mindestens (und folglich genau) Elementen, also gilt und folglich . Dies ist bereits Teil 3 der Satzbehauptung.

Im Spezialfall gilt sogar, dass gelten muss, also folgt und damit Teil 2 und 4 des Satzes. Schließlich hat in diesem Fall selbst Bahnlänge 1, während alle anderen Bahnlängen Vielfache von sind. Folglich gilt , d.i. Teil 1 der Satzbehauptung.

Damit ist der Satz bewiesen.