Beweisarchiv: Algebra
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- Moduln: freie Moduln sind projektiv
Die Eulersche Zahl
ist nicht rational.
Annahme:
.
Demnach muss es eine Darstellung von
mit
geben mit
und
.
Wir verwenden die Reihendarstellung
![{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c11995e1ed37f30f7122724b61120b83a7c749)
von
und erhalten
![{\displaystyle e={\frac {p}{q}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\sum _{k=0}^{q}{\frac {1}{k!}}+\sum _{k=q+1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ae73d2f4785485ced71dbecb2a24d34d42ec35)
Dann gilt:
![{\displaystyle e-\sum _{k=0}^{q}{\frac {1}{k!}}=\sum _{k=q+1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175138128625017fec6597d69d140a2b2c014f9b)
(*)
Also ergibt die linke Seite des Terms eine ganze Zahl. Folglich muss auch die rechte Seite eine ganze Zahl sein:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&<\sum _{k=q+1}^{\infty }{\frac {q!}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {q!}{(k+q)!}}\\&={\frac {q!}{(q+1)!}}+{\frac {q!}{(q+2)!}}+{\frac {q!}{(q+3)!}}+\ldots \\&={\frac {1}{q+1}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)}}+{\frac {1}{(q+1)(q+2)(q+3)}}+\ldots \\&<{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\ldots =\left({\frac {1}{2}}\right)^{1}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6eddc158be7bc2bb7f6eaf685aa4c78644577b)
Dies ist fast die geometrische Reihe. Weil die obenstehende Reihe aber bei
statt bei
beginnt, muss der Wert des ersten Reihenelements abgezogen werden und konvergiert damit gegen
:
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7105c5ebdb76992aa1347898ae1e8840bfff53e)
Also gilt
![{\displaystyle 0<\sum _{k=q+1}^{\infty }{\frac {q!}{k!}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44abcf24f4fb0fdd2e59c122109ebd0b2744342b)
Dies ist nun ein Widerspruch, denn die rechte Seite des Terms (*) kann keine ganze Zahl sein, wenn sie (echt) größer
ist und (echt) kleiner als
ist.
Also kann
nicht rational sein.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Die Eulersche Zahl
erfüllt keine Gleichung der Form
![{\displaystyle ae^{2}+be+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2883faec5d076ee160a922968fe3cf6c4ebcc1)
für
mit
.
Wir führen einen Widerspruchsbeweis.
Angenommen es gäbe
mit
, so dass
ist.
Für ein beliebiges
gilt dann:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=n!\,\left(ae+b+{\frac {c}{e}}\right)\\\\&=a\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n!}{k!}}+n!\,b+c\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}\\\\&=\underbrace {n!\,b} _{\in \mathbb {Z} }+\underbrace {\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a+c\,(-1)^{k}{\Big )}{\frac {n!}{k!}}} _{\in \mathbb {Z} }+\underbrace {\sum _{k=n+1}^{\infty }{\Big (}a+c\,(-1)^{k}{\Big )}{\frac {n!}{k!}}} _{=:R_{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be29bf1f4ef4ed20e376e1511949ca83bdb149c)
Hier wurde von der ersten auf die zweite Zeile die Reihenentwicklung
![{\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48344733396cdcd0c6ec5220a2b45bad428bf56)
verwendet.
Also muss
eine ganze Zahl sein.
![{\displaystyle {\begin{aligned}|R_{n}|&=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\Big (}a+c\,(-1)^{n+k}{\Big )}{\frac {n!}{(n+k)!}}\right|\\&\leq (|a|+|c|)\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n!\,n^{k}}{(n+k)!}}\,{\frac {1}{n^{k}}}\\&<(|a|+|c|)\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {|a|+|c|}{n-1}}\\&<1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27f568e9edf69a7a6542a999279ec6aa656915e)
Also ist
, wenn
hinreichend groß ist.
Damit wäre
. (Widerspruch)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Insbesondere kann
nicht als Element eines quadratischen Zahlkörpers aufgefasst werden.
Rationale Potenzen von e sind irrational
[Bearbeiten]
Für jede rationale Zahl
ist
irrational.
Wir nehmen zunächst an
sei eine positive ganze Zahl.
Angenommen
sei rational. Dann gibt es
mit
.
Sei nun
das
-te Niven-Polynom und
.
Die Ableitung von
ist
![{\displaystyle F'(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a^{2n-k}\,f^{(k+1)}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\,a^{2n+1-k}\,f^{(k)}(x)=a^{2n+1}f(x)-a\,F(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28effc726a2c2aad06a315433e4563e5c4f4c35a)
Demzufolge ist
. Es gilt
![{\displaystyle \int _{0}^{1}F'(x)\,e^{ax}\,dx=\left[F(x)\,e^{ax}\right]_{0}^{1}-a\int _{0}^{1}F(x)\,e^{ax}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d845163ae0aaf3abb18bb34c1316ef47007898a0)
.
Also muss
eine positive ganze Zahl sein.
Wegen
geht der Linksterm aber gegen null für
. (Widerspruch)
Also ist
irrational. Insbesondere ist auch
irrational.
Wäre
für ein
rational, so wäre auch
rational.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Die Eulersche Zahl
ist transzendent über
. Das heißt
erfüllt keine Gleichung der Form
![{\displaystyle \,a_{0}+a_{1}e+...+a_{n}e^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8052bb2f4328ca8519d280a180a3c9c6e1fd066d)
mit
,
und
.
Unter der Annahme
sei algebraisch gibt es eine Gleichung
, mit
und
,
die
als Lösung besitzt.
Sei nun
und
![{\displaystyle Q(x):=\prod _{k=1}^{n}(x-k)=x^{n}\pm ...\pm n!\quad {\Big [}\Longrightarrow Q^{p}(x)=x^{np}\pm ...\pm n!^{p}{\Big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3019f0f0f6b141444dc2fab14d437109eac1b6a)
Für variables
sei
und
für variables
sei
und ![{\displaystyle M_{pq}:=e^{q}\int _{q}^{\infty }F\,dx\;\Longrightarrow \varepsilon _{pk}+M_{pk}=e^{k}\int _{0}^{\infty }F\,dx=e^{k}M_{p0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbb705b85af8680b948012120517e187b5e2347)
gilt
für
und somit auch ![{\displaystyle |\varepsilon _{pq}|\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2308de85620f97f2f00c9b8254c6d1218de19443)
Man wähle die Primzahl
nun so groß, dass
und
ist.
Es ist:
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{p0}&=\int _{0}^{\infty }F\,dx={\frac {1}{(p-1)!}}\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{np}\pm ...\pm n!^{p})e^{-x}dx\\&={\frac {1}{(p-1)!}}{\Big (}(p-1+np)!\pm ...\pm n!^{p}(p-1)!{\Big )}\equiv n!^{p}\equiv n!\not \equiv 0\operatorname {mod} \,p\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9557198b858e5280743589fc8319d61e794634b)
Für
besitzt
den Linearfaktor
. Daher ist
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{pq}&=e^{q}\int _{q}^{\infty }F\,dx=e^{q}\int _{0}^{\infty }F(x+q)\,dx\\&={\frac {1}{(p-1)!}}\int _{0}^{\infty }(x+q)^{p-1}Q^{p}(x+q)e^{-x}\,dx\\&={\frac {1}{(p-1)!}}\int _{0}^{\infty }x^{p}R(x)e^{-x}dx={\frac {1}{(p-1)!}}{\Big (}r_{np-1}(np-1)!\pm ...\pm r_{0}p!{\Big )}\equiv 0\operatorname {mod} \,p\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6a67117fd33a65e590ee0387b7e65553d0476c)
![{\displaystyle 0=M_{p0}\sum _{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\big (}\varepsilon _{pk}+M_{pk}{\big )}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varepsilon _{pk}+a_{0}M_{p0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}M_{pk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3d0d89bf78a8d0bdc9a6ff00039aaf092721fd)
![{\displaystyle \Longrightarrow -\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varepsilon _{pk}\equiv a_{0}M_{p0}\not \equiv 0\operatorname {mod} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38214506c8704136a5864d150d9760572aa1d31c)
Aber
. (Widerspruch)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Irrationale Zahl · Transzendente Zahl · Eulersche Zahl · Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl