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Beweisarchiv: Algebra: Körper: Zahlencharakter von e

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Beweisarchiv: Algebra

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Irrationalität

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Behauptung

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Die Eulersche Zahl ist nicht rational.

Beweis

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Annahme: .

Demnach muss es eine Darstellung von mit geben mit und .

Wir verwenden die Reihendarstellung

von und erhalten

Dann gilt:

(*)

Also ergibt die linke Seite des Terms eine ganze Zahl. Folglich muss auch die rechte Seite eine ganze Zahl sein:

Dies ist fast die geometrische Reihe. Weil die obenstehende Reihe aber bei statt bei beginnt, muss der Wert des ersten Reihenelements abgezogen werden und konvergiert damit gegen :

Also gilt

Dies ist nun ein Widerspruch, denn die rechte Seite des Terms (*) kann keine ganze Zahl sein, wenn sie (echt) größer ist und (echt) kleiner als ist.

Also kann nicht rational sein.

Quadratische Irrationalität

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Behauptung

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Die Eulersche Zahl erfüllt keine Gleichung der Form

für mit .

Beweis

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Wir führen einen Widerspruchsbeweis.

Angenommen es gäbe mit , so dass ist.

Für ein beliebiges gilt dann:

Hier wurde von der ersten auf die zweite Zeile die Reihenentwicklung

verwendet.

Also muss eine ganze Zahl sein.

Also ist , wenn hinreichend groß ist.

Damit wäre . (Widerspruch)

Insbesondere kann nicht als Element eines quadratischen Zahlkörpers aufgefasst werden.

Rationale Potenzen von e sind irrational

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Behauptung

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Für jede rationale Zahl ist irrational.

Beweis

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Wir nehmen zunächst an sei eine positive ganze Zahl.

Angenommen sei rational. Dann gibt es mit .

Sei nun das -te Niven-Polynom und

.

Die Ableitung von ist

Demzufolge ist . Es gilt

.


Also muss eine positive ganze Zahl sein. Wegen geht der Linksterm aber gegen null für . (Widerspruch)

Also ist irrational. Insbesondere ist auch irrational.

Wäre für ein rational, so wäre auch rational.

Transzendenz

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Behauptung

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Die Eulersche Zahl ist transzendent über . Das heißt erfüllt keine Gleichung der Form

mit , und .

Beweis

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Unter der Annahme sei algebraisch gibt es eine Gleichung , mit und ,

die als Lösung besitzt. Sei nun und

Für variables sei und für variables sei

und
gilt für und somit auch

Man wähle die Primzahl nun so groß, dass und ist.

Es ist:

Für besitzt den Linearfaktor . Daher ist

Aber . (Widerspruch)

Wikipedia-Verweise

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Irrationale Zahl · Transzendente Zahl · Eulersche Zahl · Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl