Beweisarchiv: Algebra: Körper: Zahlencharakter von e

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Irrationalität[Bearbeiten]

Annahme: .

Demnach muss es eine Darstellung von mit geben mit und .

Dann gilt:

(*)

Also ergibt die linke Seite des Terms eine ganze Zahl. Folglich muss auch die rechte Seite eine ganze Zahl sein:

Dies ist fast die geometrische Reihe! Weil die obenstehende Reihe aber bei statt bei beginnt, muss der Wert des ersten Reihenelements abgezogen werden und konvergiert damit gegen :

Also gilt

Dies ist nun ein Widerspruch, denn die rechte Seite des Terms (*) kann keine ganze Zahl sein, wenn sie (echt) größer ist und (echt) kleiner als ist.

Also kann nicht rational sein.

Quadratische Irrationalität[Bearbeiten]

Gäbe es mit , so dass ist, so wäre

.

Also muss eine ganze Zahl sein.

Also ist , wenn hinreichend groß ist.

Damit wäre . (Widerspruch)

Positive ganzzahlige Potenzen von e sind irrational[Bearbeiten]

Annahme: Für eine positive ganze Zahl sei .

Sei nun das -te Niven-Polynom und .



Demzufolge ist .



Also muss eine positive ganze Zahl sein.

Wegen geht der Linksterm aber gegen null für . (Widerspruch)

Wäre rational, so wäre auch rational.

Transzendenz[Bearbeiten]

Unter der Annahme gibt es eine Gleichung , mit und ,

die als Lösung besitzt. Sei nun und

Für variables sei und für variables sei

und

gilt für und somit auch

Man wähle die Primzahl nun so groß, dass und ist.

Es ist

mod

Für besitzt den Linearfaktor . Daher ist

mod .

mod

Aber . (Widerspruch)


Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Irrationale Zahl · Transzendente Zahl · Eulersche Zahl · Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl


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