Beweisarchiv: Algebra
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Annahme:
.
Demnach muss es eine Darstellung von
mit
geben mit
und
.

Dann gilt:

(*)
Also ergibt die linke Seite des Terms eine ganze Zahl. Folglich muss auch die rechte Seite eine ganze Zahl sein:

Dies ist fast die geometrische Reihe. Weil die obenstehende Reihe aber bei
statt bei
beginnt, muss der Wert des ersten Reihenelements abgezogen werden und konvergiert damit gegen
:

Also gilt

Dies ist nun ein Widerspruch, denn die rechte Seite des Terms (*) kann keine ganze Zahl sein, wenn sie (echt) größer
ist und (echt) kleiner als
ist.
Also kann
nicht rational sein.
Quadratische Irrationalität[Bearbeiten]
Gäbe es
mit
, so dass
ist, so wäre

Also muss
eine ganze Zahl sein.

Also ist
, wenn
hinreichend groß ist.
Damit wäre
. (Widerspruch)
Positive ganzzahlige Potenzen von e sind irrational[Bearbeiten]
Annahme: Für eine positive ganze Zahl
sei
.
Sei nun
das
-te Niven-Polynom und
.

Demzufolge ist
.
.
Also muss
eine positive ganze Zahl sein.
Wegen
geht der Linksterm aber gegen null für
. (Widerspruch)
Wäre
rational, so wäre auch
rational.
Unter der Annahme
gibt es eine Gleichung
, mit
und
,
die
als Lösung besitzt.
Sei nun
und
![{\displaystyle Q(x):=\prod _{k=1}^{n}(x-k)=x^{n}\pm ...\pm n!\quad {\Big [}\Longrightarrow Q^{p}(x)=x^{np}\pm ...\pm n!^{p}{\Big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3019f0f0f6b141444dc2fab14d437109eac1b6a)
Für variables
sei
und
für variables
sei
und 
gilt
für
und somit auch 
Man wähle die Primzahl
nun so groß, dass
und
ist.
Es ist:

Für
besitzt
den Linearfaktor
. Daher ist



Aber
. (Widerspruch)
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