Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Chinesischer Restsatz

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Chinesischer Restsatz

(Für kommutative Ringe mit 1)

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1, $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ Ideale von $R$, für die gilt

$A_{i}+A_{j}=R$ für $i\neq j$,

und $b_{1},b_{2},...,b_{n}\in R$. Dann gibt es ein $b\in R$, für das gilt

$b\equiv b_{i}\mod A_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$.

Dieses $b$ ist eindeutig Modulo $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$.

Beweis:

Behauptung: Ist $n\geq 2$, so gilt mit den Voraussetzungen des Satzes

$A_{1}+A_{2}A_{3}\cdots A_{n}=R.$

Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Induktion nach $n$.

Für $n=2$: $A_{1}+A_{2}=R$ laut Voraussetzungen des Satzes.

Für $n>2$: Nach Induktionsvoraussetzung gilt

$A_{1}+A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}=R.$

Da ferner $A_{1}+A_{n}=R$ gilt, folgt

$R\cdot R=(A_{1}+A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1})\cdot (A_{1}+A_{n})=A_{1}\cdot (\ldots )+A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}\cdot A_{n}\subseteq A_{1}+A_{2}A_{3}\cdots A_{n}\subseteq R$

und wegen $R\cdot R=R$ die Induktionsbehauptung.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Aus Symmetriegründen gilt dann allgemeiner für $1\leq i\leq n$

$A_{i}+A_{1}A_{2}\cdots A_{i-1}\cdot A_{i+1}\cdots A_{n}=R.$

Da für beliebige Ideale I,J von R gilt: $IJ\subseteq I\cap J$, folgt durch Induktion

$A_{i}+\bigcap _{j=1,j\neq i}^{n}A_{j}=R$.

Für $1\leq i\leq n$ gilt $b_{i}\in R=A_{i}+\bigcap _{j=1,j\neq i}^{n}A_{j}$, also gibt es ein $c_{i}\in A_{i}$ und ein $d_{i}\in \bigcap _{j=1,j\neq i}^{n}A_{j}$, für die $b_{i}=c_{i}+d_{i}$, also $b_{i}\equiv d_{i}\mod A_{i}$ ist.

Setze $b:=d_{1}+\cdots +d_{n}$. Dann gilt

$b=d_{1}+\cdots +d_{n}\equiv 0+\cdots +0+d_{i}+0+\cdots +0\equiv d_{i}\equiv b_{i}\mod A_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$.

Also löst $b$ das Kongruenzensystem. Löst ein weiteres $b'$ das Kongruenzensystem löst, so gilt für $1\leq i\leq n$

$b'\equiv b_{i}\equiv b\mod A_{i},$

also liegt $b-b'$ in jedem $A_{i}$ also auch in $\bigcap _{j=1}^{n}A_{j}$, d.h. es ist $b\equiv b'\mod \bigcap _{j=1}^{n}A_{j}$.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.