Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Chinesischer Restsatz

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Beweisarchiv: Algebra

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Chinesischer Restsatz[Bearbeiten]

(Für kommutative Ringe mit 1)

Sei ein kommutativer Ring mit 1, Ideale von , für die gilt

für ,

und . Dann gibt es ein , für das gilt

für .

Dieses ist eindeutig Modulo .

Beweis:[Bearbeiten]

Behauptung: Ist , so gilt mit den Voraussetzungen des Satzes

Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Induktion nach .

Für : laut Voraussetzungen des Satzes.

Für : Nach Induktionsvoraussetzung gilt

Da ferner gilt, folgt

und wegen die Induktionsbehauptung.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Aus Symmetriegründen gilt dann allgemeiner für

Da für beliebige Ideale I,J von R gilt: , folgt durch Induktion

.

Für gilt , also gibt es ein und ein , für die , also ist.

Setze . Dann gilt

für .

Also löst das Kongruenzensystem. Löst ein weiteres das Kongruenzensystem löst, so gilt für

also liegt in jedem also auch in , d.h. es ist .

Damit ist der Beweis abgeschlossen.