Beweisarchiv: Algebra: Körper: Approximationssatz von Liouville

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Beweisarchiv: Algebra

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Satz[Bearbeiten]

Ist eine algebraische Zahl vom Grad , so gibt es eine reelle Zahl , so dass für alle von verschiedenen (im Falle also für alle) rationalen Zahlen gilt:

Beweis[Bearbeiten]

Sei algebraisch vom Grad und entsprechend Nullstelle des Polynoms vom Grad , d.h.

mit und .

Da Nullstelle ist, lässt sich durch Polynomdivision im Ring der Linearfaktor abspalten:

Hierbei liegt das Polynom allerdings allgemein nicht in , sondern hat lediglich algebraische Koeffizienten. Aber zumindest ist die Funktion , stetig, so dass es reelle Zahlen , gibt mit

, falls .

Da das Polynom nur endlich viele Nullstellen hat, können wir oBdA. zusätzlich voraussetzen, dass keine weitere Nullstelle in der besagten Umgebung von liegt, d.h.

, falls und .


Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man

wählt.

Zum Beweis sei also , und es gelte

Es ist zu zeigen, dass hieraus folgt.

Zunächst ergibt sich aus (4) sofort

wegen (2) also . Dann folgt weiter aus (1) und nochmals (4)

also

Nun ist jedoch

und vom Betrag kleiner als 1, muss also 0 sein. Dann gilt auch und wegen (3) und (5) schließlich , was zu zeigen war.

Alternativer Beweis[Bearbeiten]

Seien und wie oben. Falls nicht reell ist, gilt die Aussage des Satzes mit . Es sei daher im Weiteren .

Sei beliebig und

Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man

wählt.

Zum Beweis sei wiederum mit . Falls ist, sind wir fertig. Ist dagegen , so folgt nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

für eine Stelle zwischen und , also insb. . Somit ist . Außerdem ist ebenso wie im ersten Beweis . Da das Polynom von minimal möglichem Grad ist, ist es über irreduzibel, nach dem Lemma von Gauß auch über . Dann ist insb. (außer im trivialen Fall ) die rationale Zahl keine Nullstelle, es folgt und somit

bzw.

Korollar[Bearbeiten]

Ist und gibt es zu jedem eine rationale Zahl mit und , so ist transzendent.

Insbesondere ist die Liouville-Zahl

transzendent.

Beweis[Bearbeiten]

Ist nicht transzendent, so ist es algebraisch von einem Grad . Ist dann wie im obigen Satz gewählt, so kann nur gelten, wenn ist. Wenn hierbei hinreichend groß ist, kann diese Ungleichung jedoch nicht erfüllt sein, denn wenn ist, ist die rechte Seite .

Im Fall ist die -te Teilsumme eine rationale Zahl mit Nenner und natürlich von verschieden. Es gilt

so dass mit dem ersten Teil des Korollars die Transzendenz von folgt.