Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
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Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Eindeutiges neutrales Element[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element .

Behauptung[Bearbeiten]

Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element von . D.h. ist bereits ein Monoid.

Beweis[Bearbeiten]

Wegen der Linksneutralität von gilt und wegen der Rechtsneutralität von gilt . Daraus folgt .

Für jedes beliebige linksneutrale Element gilt und wegen der Rechtsneutralität von gilt , also . Somit ist das einzige linksneutrale Element von .

Für jedes beliebige rechtsneutrale Element gilt und wegen der Linksneutralität von gilt , also . Somit ist das einzige rechtsneutrale Element von .

Da sowohl links- als auch rechtsneutral ist, ist das eindeutig bestimmte neutrale Element von .

Hinweise[Bearbeiten]

  • Da von dem Assoziativgesetz, das für eine Halbgruppe gilt, beim Beweis kein Gebrauch gemacht wurde, gilt die Behauptung bereits für jedes Magma . Die Behauptung kann demnach auch wie folgt formuliert werden:
    • Ein Magma mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element.
    • Eine Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element ist ein Monoid.
    • Eine Quasigruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element ist eine Loop.
  • Falls das Kommutativgesetz gilt, kann die Voraussetzung für die Behauptung wie folgt abgeschwächt werden:
    • Ein kommutatives Magma mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element.
    • Eine kommutative Halbgruppe mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element ist ein (kommutatives) Monoid.
    • Eine kommutative Quasigruppe mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element ist eine (kommutative) Loop.

Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)[Bearbeiten]

Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:

sei eine beliebige Menge mit . Die Verknüpfung sei definiert durch

Diese Verknüpfung ist assoziativ, denn

Also liegt eine Halbgruppe vor, in der jedes Element linksneutral ist.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]


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