Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Boolesche Ringe

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Charakteristik 2 und Kommutativität[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei ein Ring und für jedes Element gelte .

(Hat zusätzlich auch ein Einselement, dann nennt man dies einen booleschen Ring.)

Behauptung[Bearbeiten]

  1. Für alle gilt: .
  2. ist kommutativ.

Beweis[Bearbeiten]

1. Sei beliebig. Wir rechnen:

.

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

.

Durch zweimaliges Subtrahieren von auf beiden Seiten ergibt sich die Behauptung.

2. Seien beliebig. Wir müssen nachweisen, und dazu rechnen wir:

.

(Bei der ersten und dritten Gleichheit wird die Voraussetzung benutzt, bei der zweiten Gleichheit wird distributiv ausmultipliziert.) Zusammengefasst haben wir also die Gleichung

.

Subtrahieren von und auf beiden Seiten ergibt

, also .

Da aber nach Teil 1 jedes Element mit seinem additiven Inversen übereinstimmt, bedeutet dies .

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

boolescher Ring - Charakteristik - Ringtheorie


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