Zum Inhalt springen

Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz

Aus Wikibooks

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv

Der Bahnensatz beschreibt eine Bijektion zwischen der Bahn eines Mengenelements unter einer Gruppenoperation und der Menge der (Links-)Nebenklassen der zugehörigen Stabilisatoruntergruppe.

Sei

eine Gruppe und

eine Gruppenoperation von auf .

Wir werden folgende Bezeichnungen verwenden:

  • mit sei die Bahn von ,
  • die Stabilisatoruntergruppe von und
  • mit die Menge der (Links-)Nebenklassen von in .

Für jedes

ist die Abbildung

eine wohldefinierte Bijektion.

Beweis

[Bearbeiten]
  1. Wohldefiniertheit: Aus folgt , also .
  2. Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
  3. Injektivität: Es bezeichne das neutrale Element von . Aus folgt , also . Dies impliziert .

Wikipedia-Verweise

[Bearbeiten]

Bahnformel