Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

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Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

Voraussetzung

$G$ sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe $H$ .

Behauptung

Die Ordnung der Untergruppe $| H |$ (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung $| G |$ .

Beweis

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung $f : G ∋ a \mapsto {a \circ u ∣ u \in H}$ stellt eine Äquivalenzrelation auf $G$ dar ( $u \sim v ⟺ f (u) = f (v)$ ), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit $| H |$ hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz $G$ ergibt und die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind, ist $| H |$ ein Teiler von $| G |$ .

Wikipedia-Verweise

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid