Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

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Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
Moduln: freie Moduln sind projektiv


Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe .

Behauptung[Bearbeiten]

Die Ordnung der Untergruppe (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung .

Beweis[Bearbeiten]

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung stellt eine Äquivalenzrelation auf dar (), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz ergibt und die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind, ist ein Teiler von .

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid


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