Beweisarchiv: Algebra
- Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
- Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
- Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
- Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
- Moduln: freie Moduln sind projektiv
Die Existenz der Wurzel in den reellen Zahlen
wird hier unter der Voraussetzung eingesehen, dass
ein vollständig angeordneter Körper ist.
Seien
mit
und
mit
. Dann existiert genau ein
mit
und
.
Sei
mit
. Dann ist
für alle
mit
.
Seien
mit
und
mit
, dann ist
. Ist nämlich
, folgt
, im Widerspruch zu
. Gilt nun
, so ist auch
, was man induktiv bis
fortführen kann.
Seien
mit
und
mit
und gelte
, so existiert auch ein
mit
und
.
Setze
, dann ist insbesondere
. Setze weiter
mit
, dann ist
. Für
soll
gelten. Können wir also ein
mit
finden, so haben wir die Aussage gezeigt. Sei nun
ein beliebiges Element aus
, dann ist
(binomischer Lehrsatz). Wir wollen nun
haben. Es gilt
.
Gilt für unser gewähltes
nun
, so ist auch
und wir haben mit
auch
und sind zufrieden.
Gilt jedoch
, so setze
, aber auch
. Nun nehme
, dann ist
. Nun folgt mit Hilfsaussage 1 auch
. Setze nun
, so ist
, also auch
.
Seien
mit
und
mit
und gelte
, so existiert ein
mit
.
Analog zum Beweis von Hilfsaussage 2, nur diesmal definieren wir
und nehmen
. Es gilt nun
, nun finden wir wie oben ein
mit
und haben
.
Gelte
und
, so ist für alle
mit
auch
und für alle
mit
ist
, in diesem Fall ist
also eindeutig bestimmt.
Nun beweisen wir die Existenz der Wurzel. Zunächst sei
, so ist
für
erfüllt, in diesem Fall existiert
also. Gilt nun
, so definieren wir die Menge
. Diese Menge ist insbesondere nicht leer, denn es ist
, also
. Außerdem ist die Menge nach oben beschränkt. Ist
, so ist
, also ist
eine obere Schranke von
. Ist
, so ist
, also ist in diesem Fall
eine obere Schranke von
. Nach dem Vollständigkeitsaxiom können wir
definieren, und es gilt
. Ist nämlich
, so existiert nach Hilfsaussage 3 ein
mit
und
, also ist
eine kleinere obere Schranke von
, im Widerspruch zu
.
Ist
, so existiert nach Hilfsaussage 2 ein
mit
, und es ist
, ebenfalls ein Widerspruch zu
.
Damit ist auch die Existenz der Wurzel eingesehen, die Zahl
nennt man dann natürlich die
-te Wurzel von
, also
.
Wurzel (Mathematik)