Beweisarchiv: Algebra: Körper: Die Existenz der reellen Wurzel

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Die Existenz der Wurzel in den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ wird hier unter der Voraussetzung eingesehen, dass $\mathbb {R}$ ein vollständig angeordneter Körper ist.

Satz

Seien $v\in \mathbb {R}$ mit $v\geq 0$ und $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 1$. Dann existiert genau ein $z\in \mathbb {R}$ mit $z\geq 0$ und $z^{n}=v$.

Hilfsaussage 1

Sei $c\in \mathbb {R}$ mit $0<c<1$. Dann ist $c^{n}\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 1$.

Beweis

Seien $x\in \mathbb {R}$ mit $x>0$ und $d\in \mathbb {R}$ mit $d<1$, dann ist $dx<x$. Ist nämlich $dx\geq x$, folgt $dx\cdot x^{-1}=d\geq x\cdot x^{-1}=1$, im Widerspruch zu $d<1$. Gilt nun $c<1$, so ist auch $c\cdot c<c$, was man induktiv bis $c^{n}<c$ fortführen kann.

Hilfsaussage 2

Seien $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 1$ und $a,s\in \mathbb {R}$ mit $a,s>0$ und gelte $s^{n}<a$, so existiert auch ein $t\in \mathbb {R}$ mit $t>s$ und $t^{n}<a$.

Beweis

Setze $b:={\frac {a}{s^{n}}}>1$, dann ist insbesondere $s^{n}b=a$. Setze weiter $t=s(1+\varepsilon )$ mit $0<\varepsilon \leq 1$, dann ist $t^{n}=s^{n}(1+\varepsilon )^{n}$. Für $t^{n}$ soll $t^{n}<a$ gelten. Können wir also ein $\varepsilon \in (0,1]$ mit $(1+\varepsilon )^{n}<b$ finden, so haben wir die Aussage gezeigt. Sei nun $e$ ein beliebiges Element aus $(0,1]$, dann ist $(1+e)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}$ (binomischer Lehrsatz). Wir wollen nun $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}<b$ haben. Es gilt $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}=1+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}<b\Leftrightarrow \sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}<b-1$.
Gilt für unser gewähltes $e$ nun $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}<b$, so ist auch $(1+e)^{n}<b$ und wir haben mit $\varepsilon =e$ auch $t^{n}=s^{n}(1+\varepsilon )^{n}<a$ und sind zufrieden.
Gilt jedoch $\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}\geq b-1$, so setze $c:={\frac {b-1}{\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}}}\leq 1$, aber auch $c>0$. Nun nehme $d:={\frac {c}{2}}$, dann ist $d\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}<b-1$. Nun folgt mit Hilfsaussage 1 auch $b-1>d\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}de^{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}d^{k}e^{k}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(de)^{k}$. Setze nun $\varepsilon :=de>0$, so ist $\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\varepsilon ^{k}<b-1\Leftrightarrow \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\varepsilon ^{k}=(1+\varepsilon )^{n}<b$, also auch $t^{n}=s^{n}(1+\varepsilon )^{n}<s^{n}b=a$.

Hilfsaussage 3

Seien $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 1$ und $a,s\in \mathbb {R}$ mit $a,s>0$ und gelte $s^{n}>a$, so existiert ein $0<t<s$ mit $t^{n}>a$.

Beweis

Analog zum Beweis von Hilfsaussage 2, nur diesmal definieren wir $b:={\frac {s^{n}}{a}}>1$ und nehmen $t={\frac {s}{1+\varepsilon }}<s$. Es gilt nun ${\frac {s^{n}}{b}}=a$, nun finden wir wie oben ein $\varepsilon >0$ mit $1<(1+\varepsilon )^{n}<b$ und haben $t^{n}={\frac {s^{n}}{(1+\varepsilon )^{n}}}>{\frac {s^{n}}{b}}=a$.

Beweis der Eindeutigkeit

Gelte $z,v\geq 0$ und $z^{n}=v$, so ist für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $x<z$ auch $x^{n}<z^{n}=v$ und für alle $y\in \mathbb {R}$ mit $y>z$ ist $y^{n}>z^{n}=v$, in diesem Fall ist $z$ also eindeutig bestimmt.

Beweis der Existenz

Nun beweisen wir die Existenz der Wurzel. Zunächst sei $v=0$, so ist $z^{n}=0=v$ für $z=0$ erfüllt, in diesem Fall existiert $z$ also. Gilt nun $v>0$, so definieren wir die Menge $M:=\{x\in \mathbb {R} |x\geq 0\land x^{n}\leq a\}\subseteq \mathbb {R}$. Diese Menge ist insbesondere nicht leer, denn es ist $0^{n}=0\leq a$, also $0\in M$. Außerdem ist die Menge nach oben beschränkt. Ist $a<1$, so ist $1^{n}>a$, also ist $1$ eine obere Schranke von $M$. Ist $a\geq 1$, so ist $a^{n}\geq a$, also ist in diesem Fall $a$ eine obere Schranke von $M$. Nach dem Vollständigkeitsaxiom können wir $s:=\sup M$ definieren, und es gilt $s^{n}=a$. Ist nämlich $s^{n}>a$, so existiert nach Hilfsaussage 3 ein $t\in \mathbb {R}$ mit $t<s$ und $t^{n}>a$, also ist $t$ eine kleinere obere Schranke von $M$, im Widerspruch zu $s=\sup M$. Ist $s^{n}<a$, so existiert nach Hilfsaussage 2 ein $t>s$ mit $t^{n}<a$, und es ist $t\in M$, ebenfalls ein Widerspruch zu $s=\sup M$.

Damit ist auch die Existenz der Wurzel eingesehen, die Zahl $z$ nennt man dann natürlich die $n$-te Wurzel von $v$, also $z={\sqrt[{n}]{v}}$.

Wikipedia-Verweis

Wurzel (Mathematik)