Beweisarchiv: Algebra: Körper: Die Existenz der reellen Wurzel

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Beweisarchiv: Algebra

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Die Existenz der Wurzel in den rellen Zahlen wird hier unter der Voraussetzung eingesehen, dass ein vollständig angeordneter Körper ist.

Satz[Bearbeiten]

Seien mit und mit . Dann existiert genau ein mit und .

Hilfsaussage 1[Bearbeiten]

Sei mit . Dann ist für alle mit .

Beweis[Bearbeiten]

Seien mit und mit , dann ist . Ist nämlich , folgt , im Widerspruch zu . Gilt nun , so ist auch , was man induktiv bis fortführen kann.

Hilfsaussage 2[Bearbeiten]

Seien mit und mit und gelte , so existiert auch ein mit und .

Beweis[Bearbeiten]

Setze , dann ist insbesondere . Setze weiter mit , dann ist . Für soll gelten. Können wir also ein mit finden, so haben wir die Aussage gezeigt. Sei nun ein beliebiges Element aus , dann ist (binomischer Lehrsatz). Wir wollen nun haben. Es gilt .
Gilt für unser gewähltes nun , so ist auch und wir haben mit auch und sind zufrieden.
Gilt jedoch , so setze , aber auch . Nun nehme , dann ist . Nun folgt mit Hilfsaussage 1 auch . Setze nun , so ist , also auch .

Hilfsaussage 3[Bearbeiten]

Seien mit und mit und gelte , so existiert ein mit .

Beweis[Bearbeiten]

Analog zum Beweis von Hilfsaussage 2, nur diesmal definieren wir und nehmen . Es gilt nun , nun finden wir wie oben ein mit und haben .

Beweis der Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Gelte und , so ist für alle mit auch und für alle mit ist , in diesem Fall ist also eindeutig bestimmt.

Beweis der Existenz[Bearbeiten]

Nun beweisen wir die Existenz der Wurzel. Zunächst sei , so ist für erfüllt, in diesem Fall existiert also. Gilt nun , so definieren wir die Menge . Diese Menge ist insbesondere nicht leer, denn es ist , also . Außerdem ist die Menge nach oben beschränkt. Ist , so ist , also ist eine obere Schranke von . Ist , so ist , also ist in diesem Fall eine obere Schranke von . Nach dem Vollständigkeitsaxiom können wir definieren, und es gilt . Ist nämlich , so existiert nach Hilfsaussage 3 ein mit und , also ist eine kleinere obere Schranke von , im Widerspruch zu . Ist , so existiert nach Hilfsaussage 2 ein mit , und es ist , ebenfalls ein Widerspruch zu .

Damit ist auch die Existenz der Wurzel eingesehen, die Zahl nennt man dann natürlich die -te Wurzel von , also .

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]

Wurzel (Mathematik)