Mengenlehre: Menge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Erklärung und Definition

Erklärung der Mengenvorstellung anhand von Beispielen. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Zur Definition von Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre

Der Begriff der Menge ist eines der wichtigsten und grundlegendsten Konzepte der Mathematik. Das ist auch der Grund, warum er dir schon so früh im Studium begegnet. Doch was ist eine Menge?

Hierzu möchten wir die originale Definition von Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre, aus dem Jahr 1895 verwenden:

Cantors originale Mengendefinition

Definition (Naive Definition einer Menge von Cantor)

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung $M$ von bestimmten wohlunterschiedenen Obje[k]ten $m$ uns[e]rer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von $M$ genannt werden) zu einem Ganzen.“

Eine Menge ist also der Zusammenschluss von verschiedenen Objekten zu einem neuen Objekt, welches all die zusammengeschlossenen Objekte umfasst. Betrachte hierzu folgende Polygone:

Eine Beispielmenge mit Polygonen

Diese Polygone wurden zu einer Menge zusammengeschlossen, was durch die Ellipse angedeutet wird. Hier könnte man sich die Menge als eine Art „Behältnis“ vorstellen, welche alle Polygone als Inhalt enthält. Dieses Bild ist jedoch nicht ganz korrekt. Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt.

Die Vorstellung einer Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ ist hier besser. Wenn du also eine Menge von verschiedenen Objekten hast, so kannst du dir diese Menge als Inhalt eines Behältnisses vorstellen. Dabei ist die Menge ein Objekt, welches den Inhalt des Behältnisses darstellt und nicht das Behältnis selbst:

• 
  Eine Beispielmenge
• 
  Dieselbe Menge als imaginäre Box
• 
  Bessere Vorstellung: Menge als Inhalt einer imaginären Box

Diese Vorstellung entspricht in etwa dem alltäglichen Gebrauch des Begriffs „Menge“. Nimm den alltäglichen Begriff einer „Menschenmenge in einem Stadion“ als anschauliches Beispiel:

• 
  Eine Menschenmenge in einem Stadion

Niemand würde diese Menge mit dem Stadion, was in unserem Beispiel quasi das Behältnis ist, gleichsetzen. Vielmehr entspricht die (Menschen-)Menge im Stadion der Zusammenfassung von allen Personen innerhalb des Stadions zu einem Ganzen. Diese Menge kann man dabei als „Inhalt des Stadions“ auffassen, wobei wir für dieses Beispiel alle anderen Gegenstände innerhalb des Stadions nicht beachten. Wenn neue Personen das Stadion betreten oder verlassen, dann ändert sich auch die Menge der Leute im Stadion. Genauso verändern Mengen in der Mathematik ihre Identität, wenn Elemente entfernt oder hinzugefügt werden.

Beachte, dass wir in diesem Beispiel mit der Menschenmenge im Stadion was anderes als die Anzahl der Leute im Stadion meinen. Unsere Menge ändert sich, wenn beispielsweise eine Person das Stadion verlässt und danach eine andere Person das Stadion betritt. Genauso ist es auch in der Mathematik: Wenn du innerhalb einer Menge ein Objekt mit einem anderen austauscht, dann veränderst du die Identität dieser Menge. Ignoriere bitte auch Unzulänglichkeiten, die in diesem anschaulichen Beispiel aus mathematischer Sicht stecken. Beispielsweise haben wir nicht geklärt, was ein Mensch ist und was seine Identität ausmacht.

Anders als in der realen Welt, wo Behältnisse und damit ihre Inhalte räumlich begrenzt sind, können Mengen beliebig groß sein und unendlich viele Elemente umfassen. Auch müssen ihre Elemente keine gemeinsamen Eigenschaften besitzen. Sie können sehr unterschiedlich sein.

Grundlegende Notationen für Mengen

Die Elementbeziehung bei Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Textstelle mit der ersten Verwendung des Symbols $\in$.

Zur Bezeichnung von Mengen werden in der Regel Großbuchstaben verwendet. Wenn die Elemente einer Menge selbst keine Mengen sind, nutzt man für sie oft Kleinbuchstaben. Man schreibt $x\in M$ – „$x$ ist ein Element von $M$“, wenn $x$ eines der Objekte bezeichnet, das in der Menge $M$ enthalten ist. Ist dies nicht der Fall, schreibt man $x\notin M$ – „$x$ ist kein Element von $M$“.

Das Element-Symbol $\in$ wurde im Übrigen 1889 von Giuseppe Peano in seiner Arbeit Arithmetices principia nova methodo exposita eingeführt. Es ist eine veränderte Darstellung des Anfangsbuchstaben ε (Epsilon) vom griechischen Wort εστί („estí“, was „ist“ bedeutet).

Beispiele für Mengen

Stelle dir folgende Ansammlung von Objekten vor:

Ansammlung der Objekte Gitarre, Spielkarte, Basketball, Buch, Trommel und Digitalkamera

Aus dieser Ansammlung können wir die vier Objekte Trommel, Spielkarte, Digitalkamera und Gitarre zu einer Menge zusammenfassen:

Zusammenfassung der Objekte Trommel, Spielkarte, Digitalkamera und Gitarre zu einer Menge

Wenn wir die gerade von uns gebildete Menge mit $M$ bezeichnen, so können wir aufschreiben:

${\text{Trommel}}\in M$ – „Die Trommel ist ein Element der Menge $M$.“

${\text{Buch}}\notin M$ – „Das Buch ist kein Element der Menge $M$.“

Verständnisfrage: Sei $M$ die im obigen Beispiel gebildete Menge. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. ${\text{Gitarre}}\in M$
2. ${\text{Gitarre}}\notin M$
3. ${\text{Basketball}}\in M$
4. ${\text{Spielkarte}}\notin M$

Antwort:

1. wahr
2. falsch
3. falsch
4. falsch

Zahlenbereiche als Mengen

Auch Zahlenbereiche werden in der Mathematik als Mengen aufgefasst. So ist die Menge der natürlichen Zahlen die Zusammenfassung aller Zahlen $1,2,3,4,\ \ldots$ zu einer Menge. Diese Menge wird mit dem Buchstaben $\mathbb {N}$ mit (meistens links) doppelter Vertikalen notiert. Auch andere Zahlenbereiche werden als Mengen aufgefasst:

Zahlenbereich	Symbol
Natürliche Zahlen	$\mathbb {N}$
Ganze Zahlen	$\mathbb {Z}$
Rationale Zahlen	$\mathbb {Q}$
Reelle Zahlen	$\mathbb {R}$
Komplexe Zahlen	$\mathbb {C}$

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. $1\in \mathbb {N}$
2. ${\tfrac {1}{2}}\in \mathbb {N}$
3. $42\notin \mathbb {N}$
4. $\pi \notin \mathbb {N}$

Antwort:

1. wahr: $1$ ist eine natürliche Zahl.
2. falsch: ${\tfrac {1}{2}}$ ist keine natürliche Zahl.
3. falsch: $42$ ist eine natürliche Zahl. Also ist die Aussage, dass diese nicht in $\mathbb {N}$ sei, falsch.
4. wahr: $\pi$ ist keine natürliche Zahl.

Die Extensionalität von Mengen

Die Extensionalität von Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Die Identität einer Menge manifestiert sich allein dadurch, welche Objekte sie enthält. Zwei Mengen sind nämlich genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen. Diese beiden Mengen sind dann ein- und dasselbe Objekt. So gibt es beispielsweise nur eine Menge, welche genau die Zahlen $1$ und $2$ enthält. Mehrere Mengen mit denselben Elementen kann es nicht geben.

Wenn es auch nur ein Objekt gibt, welches Element der einen Menge, aber nicht der anderen ist, dann sind beide Mengen verschieden. Diese Eigenschaft von Mengen wird Extensionalitätsprinzip oder auch Extensionalitätsaxiom genannt. Sie lässt sich wie folgt formalisieren:

Definition (Extensionalitätsprinzip)

Für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$ gilt:

$A=B:\iff \forall x:(x\in A\iff x\in B)$

Übersetzt bedeutet obige Formel:

${\begin{array}{c}\underbrace {A=B} _{A{\text{ ist identisch zu }}B}\\[2em]\underbrace {:\iff } _{\text{ nach Definition genau dann, wenn }}\\[2em]\underbrace {\forall x:(x\in A\iff x\in B)} _{{\text{für alle }}x{\text{ gilt: }}x{\text{ ist genau dann Element von }}A{\text{, wenn es Element von }}B{\text{ ist und umgekehrt.}}}\end{array}}$

Würden wir Mengen, die über unterschiedliche Eigenschaften definiert sind, als unterschiedlich betrachten (eine solche Mengenlehre wäre intensional), wäre sie für die Mathematik nicht brauchbar. Wie aber aus dem obigen Extensionalitätsprinzip hervorgeht, ist es für die Identität einer Menge egal, wie sie gebildet wurde. Es ist nur wichtig zu wissen, welche Elemente sie umfasst.

Beispiel

In unserer Mengenlehre ist die Menge aller Lösungen der Gleichung $x^{2}=1$ identisch mit der Menge aller Lösungen der Gleichung $|x|=1$. Dies ist die Menge bestehend aus den Zahlen $1$ und $-1$. In einer intensionalen Mengenlehre wäre dies nicht zwangsläufig der Fall, da beide Mengen durch unterschiedliche Eigenschaften definiert sind.

Wozu braucht man Mengen in der Mathematik?

Mengen werden dir in allen Teilgebieten der Mathematik begegnen. Sie sind ein praktisches Hilfsmittel und mit ihnen können komplexe Sachverhalte kurz und prägnant ausgedrückt werden. Auch können mit Mengen neue Objekte konstruiert oder Konzepte modelliert werden. Beispielsweise nutzt die Topologie Mengen, um Nachbarschaftsbeziehungen auszudrücken und auch die in der Algebra studierten Strukturen wie Gruppen oder Körper werden als Mengen definiert.

Daneben ist die Mengenlehre selbst ein etabliertes Teilgebiet der Mathematik. Hier haben Mathematiker gezeigt, dass alle wesentlichen Konzepte der Mathematik allein mit Mengen modelliert werden können. Trotz des simplen Charakters ist der Mengenbegriff also sehr mächtig. So kann beispielsweise jede Zahl als ein komplexes Mengengebilde dargestellt werden. Über die Mengenlehre können so Grundfragen der Mathematik beantwortet werden (eben weil man sich auf den Standpunkt stellen kann, alles in der Mathematik sei Menge). Beispielsweise besitzt die Mengenlehre Mittel, um für eine Aussage zu beweisen, dass sie innerhalb eines gegebenen Axiomensystems weder beweisbar noch widerlegbar ist.

Wenn man sich die Einfachheit und die Bedeutung der Mengenlehre vor Augen hält, dann wundert es schon ein wenig, dass die Mengenlehre eine für die Mathematik recht junge Theorie ist.