Tupel und geordnetes Paar – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Geordnetes Paar

Zweidimensionales Koordinatensystem der reellen Zahlen

Geordnete Paare begegnen uns bereits in der Schule: sie werden benötigt, um Koordinaten anzugeben, zum Beispiel beim "Schiffe versenken". Um ein Feld auf dem 10 mal 10 großen Spielfeld zu bestimmen, werden zwei Angaben benötigt: die Zeile und die Spalte. Zeilen sind hier mit einem großen Buchstaben $A,B,C,\dots$ benannt, Spalten haben Nummern $1,2,3,\dots$. Wird vom Gegner das Feld $(H,10)$ aufgerufen, ist das Dreier-Schiff versenkt:

Spielfeld Schiffe versenken

Ein anderes Beispiel ist das zweidimensionale Koordinatensystem für die reellen Zahlen, in dem die Punkte durch ein Paar reeller Zahlen $(x,y)$ angegeben werden. Dabei ist die Reihenfolge der Koordinaten wichtig! Der Punkt $(-3,1)$ ist ein anderer als der Punkt $(1,-3)$. Es dürfen auch beide Koordinaten gleich sein, das ist beispielsweise beim Ursprung $(0,0)$ des Koordinatensystems der Fall.

Definition (Geordnetes Paar)

$(a,b)$ bezeichnet das geordnete Paar aus den Objekten $a$ und $b$. Dabei ist $a$ die erste oder linke Komponente, $b$ die zweite oder rechte Komponente. Zwei geordnete Paare sind sind nur dann gleich, wenn beide Komponenten gleich sind:

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$

Für geordnete Paare werden oft auch spitze Klammern $\langle a,b\rangle$ oder andere besondere Klammern verwendet.

Warnung

Das geordnete Paar $(a,b)$ darf nicht mit der Zweiermenge $\{a,b\}$ verwechselt werden! Während bei geordneten Paaren die Reihenfolge relevant ist und beispielsweise $(1,2)\neq (2,1)$, spielt die Reihenfolge in der Menge keine Rolle. Hier ist $\{1,2\}=\{2,1\}$.

Verständnisfrage: Welche Bedingungen müssen für $x$ und $y$ gelten, damit folgende Paare gleich sind?

1. $(1,2)$ und $(x,y)$
2. $(x,y)$ und $(y,x)$
3. $(x,x)$ und $(1,2)$

Antwort:

1. Es ist $(1,2)=(x,y)$ genau dann, wenn $x=1$ und $y=2$.
2. Es ist $(x,y)=(y,x)$ genau dann, wenn $x=y$.
3. Es ist$(x,x)\neq (1,2)$, da anderenfalls $x=1$ und $x=2$ gelten müsste.

n-Tupel

Dreidimensionales Koordinatensystem

Der Begriff des geordneten Paares lässt sich verallgemeinern. Werden drei Komponenten betrachtet, erhält man Tripel, mit vier Komponenten Quadrupel, usw. Allgemein kann man zu jeder natürlichen Zahl $n\geq 2$ sogenannte $n$-Tupel betrachten. Sie sollen die folgende Bedingung erfüllen:

Zwei $n$-Tupel sind nur dann gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, formalisiert:

$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\Leftrightarrow \forall k\leq n:x_{k}=y_{k}$

n-Tupel lassen sich mit Hilfe von geordneten Paaren darstellen. Für 3-Tupel setzt man $(x_{1},x_{2},x_{3}):=((x_{1},x_{2}),x_{3})$, für 4-Tupel $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}):=(((x_{1},x_{2}),x_{3}),x_{4})$, usw. So kann man schrittweise für alle natürlichen Zahlen n-Tupel erklären. Sind n-Tupel $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ definiert, erzeugt man (n+1)-Tupel durch: $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1}):=((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),x_{n+1})$. Diese Art der Definition wird rekursiv genannt:

Definition (Rekursive Definition der $n$-Tupel ($n\geq 2$))

Rekursionsanfang: Für $n=2$ sei das 2-Tupel $(x_{1},x_{2})$ das geordnete Paar.

Rekursionsschritt: Seien $n$-Tupel bereits definiert. Dann definieren wir $(n+1)$-Tupel durch:

$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1}):=((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),x_{n+1})$

Wir müssen nun nachweisen, dass diese Definition tatsächlich das leistet, was wir von $n$-Tupeln erwarten. Nämlich das zwei $n$-Tupel nur dann gleich sind, wenn alle Komponenten des Tupels gleich sind.

Satz

Für zwei $n$-Tupel gilt:

$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\Leftrightarrow \forall k\leq n:x_{k}=y_{k}$

Beweis

Induktion über $n$:

Induktionsanfang: Für $n=2$ folgt die Behauptung aus der Definition des geordneten Paares.

Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für $n$. Dann folgt für $n+1$:

${\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1})=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n},y_{n+1})\\[0.3em]&{\color {BurntOrange}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;des\;Tupels}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \;&((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),x_{n+1})=((y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),y_{n+1})\\[0.3em]&{\color {BurntOrange}\left\updownarrow \ {\mathsf {Gleichheit\;des\;geordneten\;Paares}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \;&(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}){\mathsf {\;und\;}}x_{n+1}=y_{n+1}\\[0.3em]&{\color {BurntOrange}\left\updownarrow \ {\mathsf {Induktionsvoraussetzung}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \;&\forall k\leq n:x_{k}=y_{k}{\mathsf {\;und\;}}x_{n+1}=y_{n+1}\\[0.3em]&{\color {BurntOrange}\left\updownarrow \ {\mathsf {logische\;Umformung}}\right.}\\[0.3em]\Leftrightarrow \;&\forall k\leq n+1:x_{k}=y_{k}\end{aligned}}$

Beweisende ✔

Alternative Definition der Tupel

Die Definition der $n$-Tupels mit Hilfe des geordneten Paares hat zur Folge, dass jedes $n$-Tupel ein geordnetes Paar ist. Für die meisten Zwecke ist das nicht störend und die gesamte elementare Theorie der Relationen und Funktionen kann darauf aufgebaut werden. Es gibt aber auch eine schärfere Tupel-Definition, die eine zusätzliche Forderung an die Gleichheit von Tupeln stellt:

Definition (Alternative Definition der Gleichheit von Tupeln)

Zwei Tupel beliebiger Stellenzahl sind dann und nur dann gleich, wenn sie

1. dieselbe Stellenzahl haben und
2. komponentenweise gleich sind.

Formalisiert:

$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(y_{1},y_{2},\dots ,x_{m})\Leftrightarrow n=m\land \forall k\leq n:x_{k}=y_{k}$