MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Reifeniveau 1

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Inhalt
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THEORIE

Niveaus:

Grundniveau 1

Grundniveau 2

Grundniveau 3

Mitteniveau 1

Mitteniveau 2

Mitteniveau 3

Reifeniveau 1

Reifeniveau 2

Reifeniveau 3

Reifeniveau 4

Reifeniveau 5

Reifeniveau 6

Reifeniveau 7

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen[Bearbeiten]

Vereinfachen Sie!

${\left(m^{50 \over 3}\right)}^{9 \over 10}$
${\sqrt[{15}]{u^{-6}}}^{\ 5}$
$\left(\left(m^{5 \over 4}\right)^{6}\cdot {\sqrt[{11}]{m^{6}}}\cdot m^{-8}\right)^{33}$
${\dfrac {\sqrt[{4}]{{\Bigl (}k^{7 \over 3}{\Bigr )}^{12}}}{k^{4} \over k^{-3}}}$

Antwort

$m^{15}$
$u^{-2}\left(={\frac {1}{u^{2}}}\right)$
$b^{\frac {3}{2}}\left(={\sqrt {m^{3}}}\right)$
$1$

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Binomialverteilung[Bearbeiten]

Die Ansteckungswahrscheinlichkeit eines grippalen Infekts nach einem Kuss am Backen ist 13,5%.

Eine ansteckende Person hat an einem Tag 14 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 12 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Eine ansteckende Person hat an einem Tag 9 Personen so geküsst. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Personen angesteckt wurden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 13 geküssten Personen höchstens 4 angesteckt wurden?
Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 8 geküssten Personen die Hälfte oder mehr angesteckt wurden?

Antwort

$E(x)=1{,}89\quad \sigma \approx 1{,}28\$
$P(X=12)\approx 0\%,$
2 Personen (ca. 29,1%)
$E(x)=1{,}22\quad \sigma \approx 1{,}03\$
$P(X=5)\approx 0{,}32\%,$
1 Person (ca. 38,1%)
$P(X\leq 4)\approx 97{,}75\%$
$P(X\geq 4)\approx 1{,}48\%$

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Umkehrfunktionen mit Umformen finden[Bearbeiten]

Finden Sie die Umkehrfunktion:

$\ n(y)=\tan({{\sqrt[{5}]{y}}-5\ })\ +\pi$

Antwort

$y(n)=({\arctan(n-\pi )+5})^{5}$

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Definition von Sinus Kosinus und Tangens[Bearbeiten]

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten

Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an!

Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn
e=5 cm und m=1 dm sind?

Antwort

$\sin \varepsilon ={\frac {e}{m}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \varepsilon ={\frac {f}{m}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \varepsilon ={\frac {e}{f}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

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Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt[Bearbeiten]

Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen

Funktionen in einem allgemeinen Dreieck! $\quad {\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}$

Antwort

hier klicken

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Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret[Bearbeiten]

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 119 vm,

die größere 1,2 m. Wie viel genau ist der Tangens, der Sinus und der
Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie
viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie
groß der andere Winkel?

Antwort

$\tan \alpha ={\tfrac {11{,}9}{12}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {119}{169}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {120}{169}}$
$\alpha \approx 44{,}76^{\circ }\quad \beta \approx 45{,}24^{\circ }$

$\$	$\$
	$\$
	$\$

Trigonometrische Umkehrfunktionen[Bearbeiten]

\textstyle {\frac {77}{85}}

Wie viel ist der Kosinus?
Wie groß ist der Winkel?
Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen
Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels
mit Sinus $\textstyle {\frac {77}{85}}\$ 11 cm ist?

Schreiben Sie eine Formel für den Winkel $\phi$ in Bezug auf die Seiten m und e auf! Wie groß ist der Winkel $\phi$ im Bild, wenn m=37 cm und e=300 mm sind?
Die Steigung eines Winkels ist 20%. Wie groß ist der Winkel?

Antwort

$\cos ={\frac {36}{85}}$
$\theta \approx 64{,}94^{\circ }$
${\tfrac {85}{7}}\approx 12{,}14\ cm$
$\phi =\arccos \left({\tfrac {e}{m}}\right)\approx 35{,}82^{\circ }$
$ca.\ 11{,}31^{\circ }$

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Die Ableitung als Steigung einer Funktion[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?

$g(n)={\tfrac {4}{7}}\ n^{7}\quad$
$v(y)=y^{\pi }\quad$
$u(g)=0{,}4\ g^{5}$

$\ b(d)=5\ \sin d-\ln d+{\frac {4}{5\ d^{4}}}+6$
$\ v(y)={\frac {7}{\sqrt[{7}]{y^{3}}}}-\cos y+y-y^{-5}$
$\ t(x)=5\ e^{x}-{\sqrt[{3}]{\frac {0{,}125}{x^{6}}}}+\tan x\quad$

Antwort

$\ 4\,n^{6}$
$\pi \ y^{\pi -1}\quad$
$2g^{4}$
$\ b'(v)=5\cos d-{\frac {1}{d}}-{\frac {16}{5}}\ d^{-5}$ $\qquad b(-2)=\emptyset \qquad b'(-2)\approx 1{,}48$
$\ v'(y)={-{\frac {3}{4}}}\ y^{-{\frac {10}{7}}}+\sin y+1+5\ t^{-6}\$ $\qquad v(-2)\approx -6{,}75\qquad v'(-2)\approx -0{,}946$
$\ t'(x)=5\ e^{x}+{}\ x^{-3}+{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\quad$ $\qquad t(-2)\approx -0{,}621\qquad t'(-2)\approx -0{,}467$

$\$	$\$
	$\ \$
	$\$

Ableitung von Potenzfunktionen[Bearbeiten]

1. $g(n)={\tfrac {4}{7}}\ n^{7}\quad$
2. $v(y)=y^{\pi }\quad$
3. $u(g)=0{,}4\ g^{5}$
1. $a(c)={\sqrt {b}}\left({\frac {1}{c}}\right)^{\sqrt {\frac {1}{b}}}$
2. $v(t)={\sqrt[{k}]{t^{3}}}\quad$
3. $f(x)={\frac {7}{x^{t}}}\quad$
1. $V(h)={\sqrt[{u}]{\frac {1}{h^{6}}}}$
2. $H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {343}{x^{11}}}}$
3. $m(n)={\sqrt[{t}]{\frac {5^{t}}{n^{5}}}}$

Antwort

1. $\ 4\,n^{6}$
2. $\pi \ y^{\pi -1}\quad$
3. $2g^{4}$
1. $c^{-({\sqrt {b^{-1}}}-1)}\left(={\frac {1}{c^{{\sqrt {\frac {1}{b}}}-1}}}\right)\quad$
2. ${\frac {3}{k}}\ t^{\frac {3-k}{k}}\left(={\frac {3}{k\ {\sqrt[{k}]{t^{k-3}\ }}}}\right)\quad$
3. $-7\ t\ x^{t-1}\left(=-{\frac {7\ t}{x^{1-t}}}\right)$
1. $\ -{\frac {6}{u}}h^{\frac {6-u}{u}}\left(={\frac {6}{u\ {\sqrt[{u}]{h^{6-u}}}}}\right)$
2. $\ -{\frac {77}{3}}x^{-{\frac {14}{3}}}\left(=-{\frac {77}{3\ {\sqrt[{3}]{x^{14}}}}}\right)\quad$
3. $-{\frac {5^{2}}{t}}n^{-{\frac {5+t}{t}}}\left(=-{\frac {25}{t\ {\sqrt[{t}]{n^{5+t}}}}}\right)$

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