MathemaTriX ⋅ Theorie. Reifeniveau 1

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AUFGABEN

Niveaus: Grundniveau 1 Grundniveau 2 Grundniveau 3 Mitteniveau 1 Mitteniveau 2 Mitteniveau 3 Reifeniveau 1 Reifeniveau 2 Reifeniveau 3 Reifeniveau 4 Reifeniveau 5 Reifeniveau 6 Reifeniveau 7

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Schluss und Prozentrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Exponential und Logarithmus Funktion

Dieses Kapitel fängt im im mittleren Niveau 1 an und wird erst im Reifeniveau 2 weitergeführt.

Arbeiten mit Termen

Potenzen

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

{|style="background: lightgrey; color: black; padding: 1em; margin: 1em; float:left" border="1"

|style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{0}=1$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|$a^{1 \over m}={\sqrt[{m}]{a}}$ |- |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\sqrt[{m}]{a^{n}}}=({\sqrt[{m}]{a}})^{n}=a^{n \over m}$ | |style="padding: 0.5em; margin: 0.3em"|${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}=a$ |}

In diesem Absatz erklären wir anhand von Beispielen, wie wir die Rechenregeln der Potenzzahlen anwenden können.

• ${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}={\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}=w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}=w^{70 \over 35}=w^{2}$

Wenn wir im Ausdruck eine Wurzel haben, ist es unsere erste Aufgabe, diese Wurzel als Potenzzahl zu schreiben. Die Wurzelpotenz soll als Nenner eines Bruches in der entsprechenden Hochzahl geschrieben werden (oder im Nenner eines Bruches, wenn die entsprechende Hochzahl schon ein Bruch ist):

${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}={\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}\$oder auf einmal: $\left(w^{\frac {-5}{35}}\right)^{-14}\$

In diesem Ausdruck haben wir keinen Bruch oder Produkt von Potenzzahlen. Es geht um die Potenz einer Potenz (einer weiteren Potenz) und daher müssen wir nach der entsprechenden Regel die Hochzahlen einfach multiplizieren:

${\left[{(w^{-5})}^{1 \over 35}\right]}^{-14}=w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}$oder einfacher: $\left(w^{\frac {-5}{35}}\right)^{-14}=w^{{\frac {-5}{35}}\cdot (-14)}\$

Jetzt wenden wir einfach die Multiplikationsregel von Zahlen an (minus mal minus ist plus) und führen diese Multiplikation aus:

$w^{(-5)\cdot {1 \over 35}\cdot {(-14)}}=w^{70 \over 35}=w^{2}\qquad (=w^{{\frac {-5}{35}}\cdot (-14)})$

• ${\left(b^{3 \over 7}\right)}^{28 \over 9}=b^{{\frac {3}{7}}\cdot {\frac {28}{9}}}=b^{\frac {4}{3}}\left(={\sqrt[{3}]{b^{4}}}\right)$

Hier brauchen wir nur den zweiten und dritten Schritt der vorherigen Aufgabe durchführen. Am Ende haben wir allerdings in die Gegenrichtung gearbeitet und den Nenner im Bruch als Wurzelpotenz in einer Wurzel geschrieben.

• $\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {9}{5}}+{\frac {6}{5}}-2}\right)^{29}=\dots$

$\dots =\left(b^{{\cancelto {3}{\ \ {\frac {15}{5}}\ \ }}-2}\right)^{29}=\left(b^{1}\right)^{29}=b^{29}$

Dieses Beispiel sieht kompliziert aus. Das sollte uns nicht aus der Fassung bringen. Die Schritten bleiben doch die gleichen:

Erst schreiben wir die Wurzel als Potenzzahl, also die Wurzelpotenz als Nenner in der entsprechenden Hochzahl:

$\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}$

Hier haben wir allerdings auch die Klammer in der Klammer aufgelöst (der erster Ausdruck links auf der linken Seite), indem wir die Regel der Potenz einer Potenz angewandt haben (Hochzahlen multiplizieren): $\textstyle \ \left(b^{3 \over 5}\right)^{3}=b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}(=b^{\frac {9}{5}})$

Wir haben also ein Produkt aus Potenzen mit der gleichen Basis, wir sollen daher die Regel anwenden und die Hochzahlen addieren:

$\left(b^{{\frac {3}{5}}\cdot 3}\cdot {b^{6 \over 5}}\cdot b^{-2}\right)^{29}=\left(b^{{\frac {9}{5}}+{\frac {6}{5}}-2}\right)^{29}=\left(b^{{\cancelto {3}{\ \ {\frac {15}{5}}\ \ }}-2}\right)^{29}=\left(b^{1}\right)^{29}$

und am Ende die Regel für die Potenz einer Potenz anwenden, also die Hochzahlen multiplizieren:

$\left(b^{1}\right)^{29}=b^{1\cdot 29}=b^{29}$

• ${\dfrac {\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}{b^{3} \over b^{-8}}}={\frac {\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}{b^{3-(-8)}}}={\frac {b^{{\frac {15}{7}}\cdot {\frac {28}{3}}}}{b^{3+8}}}={\frac {b^{20}}{b^{11}}}=b^{9}$

Dieser Ausdruck sieht noch komplizierter aus, das sollte uns aber immer noch nicht aus der Fassung bringen. Wir sollen ganz gemütlich und ruhig die Regeln anwenden. Um die Lösung klarer zu machen, bearbeiten wir im Folgenden erst den Zähler und dann den Nenner.

${\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}={\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}$

Wie in den vorherigen Beispielen, haben wir hier erst die Wurzel als Potenz ausgedrückt, indem wir die Wurzelpotenz in den Nenner der Hochzahl geschrieben haben. Wir haben daher die Potenz einer Potenz und wir müssen die Hochzahlen multiplizieren:

${\left(b^{\frac {15}{7}}\right)^{28 \over 3}}=b^{{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}$

In der Hochzahl haben wir eine Multiplikation von Brüchen und diese führen wir aus (indem wir kürzen): $\textstyle {{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}={\frac {15\cdot 28}{7\cdot 3}}=20$. Es gilt daher für den Zähler:

$b^{{\frac {15}{7}}\cdot {28 \over 3}}=b^{20}\$ Zähler

Im Nenner haben wir einen Bruch von Potenzzahlen mit der gleichen Basis, wir müssen daher die Hochzahl oben minus die Hochzahl unten berechnen:

${b^{3} \over b^{-8}}=b^{3-(-8)}=b^{11}\$ Nenner

Wir schreiben also jetzt zusammen den Zähler und den Nenner in einem Bruch, wie es dazu gehört. Wir haben dann einen Bruch von Potenzen mit der gleichen Basis, wir müssen also die Hochzahl oben minus die Hochzahl unten berechnen:

${\frac {b^{20}}{b^{11}}}=b^{20-11}=b^{9}\$

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Dieses Kapitel fängt im imGrundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Einheiten

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Streumaßen

Streuungsmaßen um den Durchschnitt (um das arithmetische Mittel)

Der Durchschnitt (fachgerecht arithmetisches Mittel genannt) einer Anzahl von Werten ist die Summe dieser Werte durch ihre Anzahl. Nehmen wir zwei einfache Beispiele von Daten und denken wir an einem konkreten Beispiel: Das Gewicht der Personen von zwei Kinder-Teams mit jeweils drei Personen wird gemessen.

Datenreihe 1: 46, 51, 47 (in kg)$\textstyle \qquad \qquad D={\frac {46+51+47}{3}}=48$

Datenreihe 2: 64, 33, 47 (in kg)$\textstyle \qquad \qquad D={\frac {64+33+47}{3}}=48$

Der Durchschnitt (das arithmetische Mittel) in beiden Fällen ist 48 kg. Der Median ist ebenfalls in beiden Fällen gleich (47 kg). Wir merken allerdings, dass zwischen den beiden Verteilungen doch einen Unterschied besteht, der auch durch den Vergleich zwischen Median und Durchschnitt nicht sichtbar wird. In der zweite Verteilung ist der kleinste Wert viel kleiner und der größte viel größer als in der ersten. Für den Vergleich der beiden Verteilungen brauchen wir daher noch etwas, das diesen Unterschied sichtbar macht.

Das einfachste Mittel um diesen Unterschied sichtbar zu machen ist die sogenannte Spannweite. Das ist die Differenz zwischen größten und kleinsten Wert der Verteilung. In der ersten Datenreihe ist die Spannweite 51−46=5 kg, in der zweiten 64−33=31 kg. Der Unterschied zwischen der Spannweiten ist in diesem einfachen Fall groß und aussagekräftig. Es geht aber doch um ein einfaches Beispiel. Für komplexere Beispiele braucht man ein anderes Maß. Dieses ist i. d. R. die sogenannte (empirische) Standardabweichung.

Bei der spitzen Kurve weichen die gemessenen Werte weniger vom Durchschnitt (in der Mitte) ab

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark die gemessenen Werte vom Durchschnitt (bzw. Erwartungswert) abweichen. Sie ist die Wurzel der sogenannten (empirischen) Varianz. Diese lässt sich ungefähr als arithmetisches Mittel der Quadrate der Differenzen der jeweiligen Werte und des Durchschnitts der Werte. Dieser Satz ist kompliziert, daher erklären wir Schritt zum Schritt, wie die Varianz berechnet wird.

In der ersten Datenreihe ist der Durchschnitt 48. Berechnen wir die Differenz der jeweiligen Werte und des Durchschnitts. Die Differenz des ersten Wertes und des Durchschnitts ist 46−48=−2, die anderen zwei Differenzen sind 51−48=3 und 47−48=−1.

Berechnen wir jetzt die Quadrate dieser Differenzen: (−2)²=4, 3²=9 und (−1)²=1

Somit haben wir die Quadrate der Differenzen der jeweiligen Werte und des Durchschnitts: 4, 4 und 0. Der Durchschnitt ist dann die Summe durch die Anzahl also$\textstyle \ D_{V}={\frac {4+9+1}{3}}=4,{\dot {6}}$. Allerdings wird oft aus bestimmten Gründen bei der Berechnung der Varianz besonders bei größeren Datenreihen nicht genau dieser Durchschnitt benutzt, sondern die Summe der Quadrate durch die um eins reduzierte Anzahl n−1 berechnet. Die berechnete Summe der Quadrate wird also nicht durch die Anzahl n dividiert, sondern durch die Anzahl um 1 reduziert (n−1). Als Symbol für die Varianz in diesem Fall wird oft $s_{x}^{2}\$benutzt.

$s_{x}^{2}={\frac {4+9+1}{3-1}}=7$

Für die zweite Datenreihe sind die Differenzen: 64−48=16, 33−48=−15 und 47−48=−1. Die Varianz in diesem Fall ist daher:

$s_{x}^{2}={\frac {16^{2}+(-15)^{2}+1}{3-1}}=241$

Für den allgemeinen Fall benutzen wir die Formel:

$s_{x}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$

Erklären wir kurz, was die ganze Symbolik bedeutet: n ist die Anzahl der Werte. Im Nenner steht n−1, es wird also durch die um eins reduzierte Anzahl dividiert. Das Symbol $\textstyle \ \sum \$bedeutet Summe. i ist ein Index für den x-Wert, also für einen Wert der Datenreihe. Diese werden von 1 bis n durchnummeriert. Der Strich über das x bedeutet den Durchschnitt der n-Werte, die mit x₁, x₂, ... , x_n dargestellt werden. Der Ausdruck $\textstyle \ \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\$bedeutet daher: Wir berechnen eine Summe$\textstyle \ \left(\sum \right)\$, die mit den Werten x_i mit i von 1 bis n zu tun hat. Erst durchnummerieren wir diese Werte von 1 bis n (n ist die Anzahl der Werte), also erster Wert $x_{1}$, zweiter $x_{2}\$ usw. Für jeden Wert berechnen wir das Quadrat seiner Differenz zum Durchschnitt ${\overline {x}}$. Für den ersten Wert ist das $\left(x_{1}-{\overline {x}}\right)^{2}$, für den zweiten $\left(x_{2}-{\overline {x}}\right)^{2}\$und allgemein $\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$. Der Ausdruck $\textstyle \ \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\$kann so abgelesen werden: "Wir berechnen die Differenz jedes Wertes $x_{i}$ vom Durchschnitt ${\overline {x}}$, wir quadrieren die Differenz und am Ende berechnen wir die Summe $\textstyle \ \sum \$der Quadrate aller Differenzen, von $\ i=1{\text{:}}\ \left(x_{1}-{\overline {x}}\right)^{2}$ bis $\ i=n{\text{:}}\ \left(x_{n}-{\overline {x}}\right)^{2}$".

Die (empirische) Standardabweichung lässt sich dann als Wurzel der Formel für die empirischen Varianz berechnen:

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\quad }}$

In unserem Beispiel sind die Standardabweichungen ${\sqrt {7}}\approx 2{,}65\$bzw. ${\sqrt {2}}41\approx 15{,}52$. Allein die Tatsache, dass die Standardabweichung die gleichen Einheiten wie die Variable hat (hier kg), im Gegenteil zur Varianz (hier kg²), sollte darauf hinweisen, dass die Standardabweichung ein geeigneteres Instrument als die Varianz für die Beschreibung der Streuung ist.

Streuungsmaßen um den Median (den Zentralwert)

Den Median (auch Zentralwert genannt) mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.

Die Spannweite, also die Differenz zwischen größten und kleinsten Wert ist ein Streuungsmaß auch im Fall des Medians. Ein anderes Maß ist in diesem Fall der Interquartilsabstand (Symbol IQR). Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Werte. Wenn wir den ersten viertel der geordneten Werte nehmen, dann ist der Wert am oberen Rand das untere (erste) Quartil. Am oberen Rand der ersten drei Viertel befindet sich das obere (dritte) Quartil. Die Differenz der Werte des oberen und des unteren Quartils ist der Interquartilsabstand.

All diese Sachen können wir in einem sogenannten Boxplot Diagramm darstellen. Das folgende Beispiel beruht auf einer Messreihe mit den folgenden 20 Datenpunkten:

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$x_{i}$ (unsortiert)	9	6	7	7	3	9	10	1	8	7	9	9	8	10	5	10	10	9	10	8
$x_{(i)}$ (sortiert)	1	3	5	6	7	7	7	8	8	8	9	9	9	9	9	10	10	10	10	10

Beispiel für einen Box-Plot

Ein Box-Plot hilft dabei sehr schnell einen Überblick über diese Daten zu erhalten. So erkennt man direkt, dass der Median (durchgezogene Linie) genau bei 8,5 liegt und dass je 25 % der Daten unter 7 und über 9,5 liegen, denn dies sind genau die Abmessungen der Box (die "Schachtel" in der Mitte), in der 50 % der Messwerte enthalten sind. Folglich ist auch der Interquartilsabstand, der der Länge der Box entspricht, genau 2,5 (also 9,5−7).

Dieser Box-Plot wurde mit Whiskern bis zu einer Länge des 1,5-fachen Interquartilsabstands erstellt. Diese sind also maximal 3,75 Maßeinheiten lang. Allerdings reichen Whisker stets nur bis zu einem Wert aus den Daten, der sich noch innerhalb dieser 3,75 Einheiten befindet. Der obere Whisker verläuft also nur bis zu 10, da es keinen größeren Wert in den Daten gibt, und der untere Whisker nur bis 5, da der nächstkleinere Wert weiter als 3,75 vom Anfang der Box entfernt ist.

Die Werte von 1 und 3 werden im Box-Plot als Ausreißer markiert, da sie sich nicht innerhalb der Box oder der Whisker befinden. Bei diesen Werten sollte untersucht werden, ob es sich tatsächlich um Ausreißer oder um Tippfehler oder anderweitig auffällige Werte handelt.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine von mehreren sogenannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie dient dazu, die Wahrscheinlichkeit eines gewissen Ereignisses bei bestimmten Zufallsexperimenten zu berechnen. Was das bedeutet, werden wir durch ein einfaches Beispiel erklären.

Wenn wir eine Münze werfen, gibt es zwei mögliche Ereignisse: "Kopf" oder "Zahl". Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Kopf ist in der Regel 50%, in diesem Fall genau so viel, wie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses "nicht Kopf", also des Ereignisses "Zahl". 50% ist 0,5. Beide Ereignisse zusammen, also dass "Kopf" oder "Zahl" herauskommt, haben eine gesamte Wahrscheinlichkeit von 100%, also von 1. In den Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden in der Regel reine Zahlen wie 0,5 und 1 statt ihre Prozentdarstellungen (50% bzw. 100%) benutzt.

Der Münzwurf ist ein Zufallsexperiment. Bei einem Wurf wissen wir (normalerweise) nicht, was das Ergebnis sein wird. Wir wissen aber schon, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ergebnissen vorkommt, genau 0,5 ist. Das bedeutet, dass, wenn wir die Münze sehr oft werfen, ungefähr (oder genau) die Hälfte der Ergebnisse wird Kopf sein und die andere Hälfte Zahl. Je öfter wir die Münze werfen, desto näher zu 0,5 wird das Ergebnis Kopf vorkommen.

In diesem Zufallsexperiment gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl. Wenn ein Würfel geworfen wird, gibt es 6 möglichen Ergebnisse. Die Binomialverteilung beschriebt die Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten mit genau zwei möglichen Ergebnissen, wie beim Münzwurf. Mit Hilfe der entsprechenden Formel können wir beispielsweise berechnen, wie viel die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach 5 Würfen Kopf genau 4 mal vorkommt. Die allgemeine Formel für die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist:

$B(k\mid p,n)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

B ist die Wahrscheinlichkeit, die wir berechnen wollen, n ist die Anzahl der Wiederhollungen des Experiments (im Beispiel ist es 5 Würfen), k zeigt uns wie oft das gefragte Ereignis vorkommt (im Beispiel 4 mal Kopf) und p ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bei einer Wiederholung als reine (und nicht Prozent-) Zahl (in unserem Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Wurf Kopf vorkommt, also 0,5). Der Ausdruck $\textstyle \ {\binom {n}{k}}\$ist die sogenannte "Binomialkoeffizient" und lässt sich bei den meisten Taschenrechner mit Hilfe der Taschenrechnerfunktion "nCr" berechnen. Im konkreten Beispiel ist die gefragte Wahrscheinlichkeit:

$B(4\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{4}}\cdot 0{,}5^{4}\cdot (1-0{,}5)^{5-4}=5\cdot 0{,}5^{4}\cdot 0{,}5^{1}=0{,}15625$

Welche Möglichkeiten gibt es bei diesem Zufallsexperiment? Dass Kopf genau 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 mal vorkommt. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss selbstverständlich 1 sein. Probieren wir es aus:

$B(0\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{0}}\cdot 0{,}5^{0}\cdot (1-0{,}5)^{5-0}=1\cdot 0{,}5^{0}\cdot 0{,}5^{5}=0{,}03125$

$B(1\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{1}}\cdot 0{,}5^{1}\cdot (1-0{,}5)^{5-1}=5\cdot 0{,}5^{1}\cdot 0{,}5^{4}=0{,}15625$

$B(2\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{2}}\cdot 0{,}5^{2}\cdot (1-0{,}5)^{5-2}=10\cdot 0{,}5^{2}\cdot 0{,}5^{3}=0{,}3125$

$B(3\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{3}}\cdot 0{,}5^{3}\cdot (1-0{,}5)^{5-3}=10\cdot 0{,}5^{3}\cdot 0{,}5^{2}=0{,}3125$

$B(4\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{4}}\cdot 0{,}5^{4}\cdot (1-0{,}5)^{5-4}=5\cdot 0{,}5^{4}\cdot 0{,}5^{1}=0{,}15625$

$B(5\mid 0{,}5,\ 5)={\binom {5}{5}}\cdot 0{,}5^{5}\cdot (1-0{,}5)^{5-5}=1\cdot 0{,}5^{5}\cdot 0{,}5^{0}=0{,}03125$

Wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten addieren, bekommen wir tatsächlich 1 (was 100% ist, also alle Möglichkeiten):

$0{,}03125+0{,}15625+0{,}3125+0{,}3125+0{,}15625+0{,}03125=1$

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch, eines von beiden Ergebnissen vorkommt, ist selbstverständlich nicht immer 0,5 wie beim Münzwurf. Denken wir an eine Urne mit 8 Kugeln, von denen 3 rot und 5 Schwarz sind. Wenn wir zufällig eine Kugel wählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie rot ist, nicht mehr 0,5 sondern $\textstyle {\frac {3}{8}}=0{,}375$. Mit Hilfe der Formel können wir dann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass nach 9 mal Ziehen (immer mit Zurücklegen der Kugel) 6 mal rot gezogen wird:

$B(6\mid 0{,}375,\ 9)={\binom {9}{6}}\cdot 0{,}375^{6}\cdot (1-0{,}375)^{9-6}=84\cdot 0{,}375^{6}\cdot 0{,}625^{3}\approx 0{,}057$

Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht so groß und das war intuitiv schon zu erwarten, da rot nur 3 in 8 mal vorkommt, also in 9 mal ein bisschen mehr als 3 mal. Wie oft erwarten wir, dass rot nach 9 mal Ziehen vorkommt? Schon ein bisschen mehr als 3 mal aber sicherlich nicht 4 mal. Dieser Wert wird Erwartungswert $\ \mu \$genannt und lässt sich leicht mit der folgenden Formel berechnen:

$\mu =n\cdot p$

In diesem Beispiel ist der Erwartungswert:

$\mu =9\cdot 0{,}375=3{,}375$

Das ist eine Art von Mittelwert. Wenn wir tatsächlich das Experiment durchführen, werden wir allerdings nie diesen Wert bekommen (es ist physikalisch unmöglich, wir können nur ganzen Kugeln ziehen). Die tatsächlichen Ergebnissen werden um diesen Wert sozusagen variieren. Ein Maß für diese Variation ist die sogenannte Standardabweichung:

$\sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)\ }}$

Die Standardabweichung ist ein sogenanntes Streuungsmaß. Sie zeigt uns sozusagen, wie viel die tatsächlichen Ergebnissen um den erwarteten "zerstreut" sind.

Wenn wir jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, dass nach 9 mal Ziehen rot höchsten 7 mal vorkommt, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten bis 7 addieren. In diesem Fall gibt es allerdings einen schnelleren Weg, nämlich mit Hilfe des Gegenereignisses. Wir können die Wahrscheinlichkeit für 8 und für 9 mal berechnen und die Ergebnisse aus 1 subtrahieren:

$P(x\leq 7)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)+P(x=7)=\dots$

$\dots =1-P(x\geq 8)=1-P(x=9)-P(x=8)=1-{\binom {9}{9}}\cdot 0{,}375^{9}\cdot (1-0{,}375)^{9-9}-{\binom {9}{8}}\cdot 0{,}375^{8}\cdot (1-0{,}375)^{9-8}\approx 0{,}9977$

also ca. 99,77%!

Geometrische Konstruktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Geometrie der Ebene

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel ist nur im mittleren Niveau 3 behandelt.

Diagramme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Funktionen

Umkehrfunktionen mit Umformen finden

Eine Funktion ist eine Verbindung zwischen zwei (oder mehreren) Sachen. Ein einfaches Beispiel ist die Angabe der Temperatur T in Abhängigkeit von der Zeit t. Es kann sein, dass diese Abhängigkeit in einem gewissen Experiment durch die folgende Formel ausgedrückt wird:

$T(t)=35-2t\$(t in Minuten, T in °C)

Das bedeutet in diesem Fall, dass die Temperatur am Anfang 35°C ist und jede Minute um 2°C fällt. In diesem Fall ist die Zeit die sogenannte unabhängige Variable, die Temperatur die abhängige. Die Frage in diesem Fall ist: "Wie viel ist die Temperatur nach so und so viele Minuten?" Wenn wir die Temperatur nach 195 s messen wollen, müssen wir erst die s in min umrechnen: $195\ s=195:60\ min=3{,}25\ min$. Diese Zahl setzen wir dann in die Formel ein, um die entsprechende Temperatur zu finden:

$T(3{,}25)=35-2\cdot 3{,}25=28{,}5\$

Die Temperatur wird daher 28,5°C sein.

Was ist aber, wenn wir die Frage umkehren? "Wann ist die Temperatur 10°C?"

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Funktion auf die Variable t (Zeit) umformen. Wir vergessen kurz die Funktionsdarstellung T(t), wir schreiben für die Temperatur einfach T und formen auf diese Variable um:

$\textstyle T=35-2t\ \Rightarrow \ 2t=35-T\ \Rightarrow \ t={\frac {35-T}{2}}$

Jetzt können wir wieder die Funktionsdarstellung benutzen:

$t(T)={\frac {35-T}{2}}\$(t in Minuten, T in °C)

Hier ist die Temperatur die unabhängige Variable und die Zeit die abhängige. Wir wollen wissen, "wie viel" die Zeit, "bei" einer gewissen Temperatur ist. Diese Funktion ist die sogenannte Umkehrfunktion der Funktion am Anfang.

Die Angabe der Einheiten ist immer notwendig, wenn die Variablen Einheiten aufweisen, um Fehler bei den Berechnungen zu vermeiden. In diesem Beispiel hätten wir ein anderes Ergebnis, wenn wir 195 statt 3,25 benutzt hätten. Wenn allerdings die Variablen reine Zahlen sind, dann brauchen wir auch keine Einheiten angeben (es gibt ja dann keine). Hier sind einige Gegenrechnungen, die beim Umformen notwendig sein können. Manche davon haben wir gelernt, manche vielleicht auch noch nicht. Letztere werden wir erst später erklären.

$+\leftrightarrow -\qquad \cdot \leftrightarrow :\qquad {\sqrt[{n}]{\ a\ }}\leftrightarrow a^{n}\qquad \sin \leftrightarrow \arcsin \qquad$

$\cos \leftrightarrow \arccos \qquad \tan \leftrightarrow \arctan \qquad e^{x}\leftrightarrow \ln x$

Lineare Gleichungssysteme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 3 an und wurde im Reifeniveau 4 weitergeführt.

Trigonometrische Funktionen

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Definitionen	Trigon. Umkehrf.
Pythagoras abstrakt	Pythagoras konkret

An jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt eine gewisse Regel, die schon seit zumindest 4000 Jahren bekannt ist. Diese Regel wurde nach einem griechischen Philosophen genannt: der Pythagoräische Lehrsatz.

In einem rechtwinkeligem Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Dieser Satz ist verständlicher, wenn wir das erste Dreieck für einen Entwurf des Satzes mit Symbolen benutzen. Wenn a und b die zwei kleineren Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks (Katheten genannt) und c die größere (Hypotenuse genannt) sind, ist der entsprechende mathematische Ausdruck:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Genauso seit tausenden Jahren bekannt ist eine andere Eigenschaft der geometrischen Figuren und in diesem Fall der rechtwinkeligen Dreiecke. Bei ähnlichen Dreiecken (wenn alle Winkel gleich sind) ist das Verhältnis (der Bruch der Längen) der entsprechenden Seiten konstant. $\textstyle {\frac {b}{c}}\$im ersten Dreieck im Bild ist genauso viel wie $\textstyle {\frac {g}{f}}\$im zweiten. Besonders in rechtwinkeligen Dreiecken bedeutet diese Tatsache, dass:

• Das Verhältnis der dem kleinsten Winkel gegenüberliegenden Seite (hier a) zu Hypotenuse (hier c) eine konstante Zahl für alle ähnlichen rechtwinkeligen Dreiecke ist.
• Das Verhältnis der dem kleinsten Winkel anliegenden Kathete (hier b) zu Hypotenuse eine konstante Zahl für alle ähnlichen rechtwinkeligen Dreiecke ist.

Das entsprechende gilt für den anderen nicht rechten Winkel.

Mit Buchstaben ist dieser Satz viel verständlicher. Im ersten Dreieck gilt: $\ \textstyle {\frac {a}{c}}\$und $\textstyle \ {\frac {b}{c}}\$sind konstant, für alle ähnlichen rechtwinkeligen Dreiecke.

Der erste Bruch wurde Sinus genannt, der zweite Kosinus. Für den kleinsten Winkel (nennen wir ihn $\alpha$) des ersten Bildes gilt also:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\$und $\ \cos \alpha ={\frac {b}{c}}\$

Die zwei Dreiecke im Bild sind ähnlich. Die kleinste Kathete a im ersten Dreieck durch seine Hypotenuse, wird so viel sein, wie die kleinste Kathete c im zweiten Dreieck durch seine Hypotenuse:

$\textstyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {c}{f}}=\$und $\textstyle \ \cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {g}{f}}\$

Somit werden Sinus und Kosinus definiert. Sinus und Kosinus sind die zwei wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Formell:

$\sin \theta ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\$und $\ \cos \theta ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\$

wobei $\theta$ irgendein nicht rechter Winkel in einem Rechtwinkeligen Dreieck.

Für den anderen nicht rechten Winkel des ersten Dreiecks (nennen wir ihn $\beta$) gilt dann:

$\textstyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}(=\cos \alpha )\$und $\textstyle \ \cos \beta ={\frac {a}{c}}(=\sin \alpha )$,

da gegenüber von $\beta$ die Seite b ist.

Alle Winkel zusammen in einem Dreieck sind 180°. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist einer Winkel 90°, daher sind die anderen zwei zusammen auch 90°. Daher gilt:

$\textstyle \sin \alpha {\frac {b}{c}}=\cos \beta =\cos(90^{\circ }-\alpha )\$und $\textstyle \ \cos \alpha =\sin \beta =\sin(90^{\circ }-\alpha )$.

Mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes ist auch leicht zu zeigen, dass:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$.

$\sin ^{2}x\$ und $\ \cos ^{2}x\$bedeuten $\ (\sin x)^{2}\$ bzw. $\ (\cos x)^{2}\$.

Beweisen Sie die Gleichung $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ mit Hilfe der entsprechenden Definitionen und des Pythagoras-Satzes! Zeigen Sie dann dazu, dass $\textstyle \ \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\ \$und $\textstyle \ \tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$ In einem rechtwinkeligen Dreieck mit c als Hypotenuse und a und b als Katheten gilt: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ Für den Winkel α (der Seite a gegenüber) gilt laut Definition: $\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\ \rightarrow \ a=c\ \sin \alpha \quad$und $\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}\ \rightarrow \ b=c\ \cos \alpha$ Daher: $a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \$ $c^{2}\ (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )=c^{2}\ \rightarrow \ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ c² ist sicherlich nicht null (sonst hätten wir kein Dreieck), daher können wir es wegfallen lassen. Da der Winkel α irgendeine Zahl sein kann, und wir daher ein anders Symbol dafür benutzen dürfen, können wir stattdessen x schreiben: $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ Laut Definition des Tangens ist er so viel wie das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Daher gilt auch: $\tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {c\ \sin \alpha }{c\ \cos \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$ Die Kombination der beiden Ergebnissen können wir benutzten, um zu zeigen, dass $\textstyle \ \tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$: $\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\Rightarrow \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-{\frac {\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$

Es gibt allerdings noch eine wichtige Trigonometrische Funktion, der Tangens. Er ist das Verhältnis der Gegen- zu Ankathete:

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {c\ \sin \alpha }{c\ \cos \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Die Symbole für manche weiteren trigonometrischen Funktionen sind: $\sec ,\ \csc \$ und $\ \cot$. Es gibt allerdings auch die Umkehrfunktionen. Von $\sin ,\ \cos \$und $\ \tan \$ werden sie mit den Symbolen $\arcsin ,\ \arccos \$bzw. $\ \arctan \$ oder $\sin ^{-1},\ \cos ^{-1}\$bzw. $\ \tan ^{-1}\$ (besonders bei Taschenrechnern) dargestellt.

Vektoren

Dieses Kapitel fängt erst im Reifeniveau 5 an.

Differentialrechnung

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

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Eine lineare Funktion der Form y=s x+A (wo s die Steigung und A der y-Achsenabschnitt ist) wird in einem Koordinatensystem als Gerade dargestellt. Die Steigung zeigt, wie steil nach oben diese Gerade neigt. Ist die Steigung negativ, dann neigt die Gerade nach unten (also von oben links nach unten rechts).

Was ist aber bei der Darstellung von anderen Funktionen? Nehmen wir die Funktion $\textstyle \ f(x)=\left({\frac {x}{2}}-3\right)+2\$ als Beispiel. Wie im Video zu sehen ist, geht diese Funktion links nach oben und rechts nach unten, sie hat also links eine positive und rechts eine negative Steigung. Die Funktion wird von links nach rechst immer weniger steil und nachdem die Steigung negativ wird, immer steiler nach unten. Die Steigung ist daher nicht konstant.

Die Ableitung einer Funktion (also auch einer Kurve in einem Diagramm) an einer Stelle ist die Steigung dieser Funktion an dieser Stelle die Steigung der Tangente der Funktion an dieser Stelle die Tangens des Winkels zwischen Tangente an dieser Stelle und x-Achse.

Was dieser Satz bedeutet, werden wir im Folgenden mit Hilfe des Videos und der entsprechenden Bilder erklären.

Wir wollen die Steigung der Kurve am Punkt A berechnen. Der x-Wert der Funktion ist 2. Der Wert der Funktion an der Stelle 2 ist dann: $\textstyle \ f(2)=\left({\frac {2}{2}}-3\right)+2\$ also f(2)=−2. Der Punkt A(2|−2) befindet sich tatsächlich auf dieser Kurve (also auf dieser Funktion). Um die Steigung an dieser Stelle zu berechnen, nehmen wir einen anderen Punkt B auf der Kurve und bewegen wir ihn immer näher zum Punkt A. Im ersten Bild rechts (oder im Video oben links) ist die Steigung der Gerade, die durch A und B definiert wird, völlig unterschiedlich als die Steigung der Kurve. Je näher der Punkt B zum Punkt A rückt, desto mehr fangen die Steigungen der Kurve und der Gerade zu übereinstimmen an. Das Bild wird immer vergrößert. Am vorletzten Bild (rechts) ist die Kurve von der Gerade kaum zu unterscheiden. Die Punkte sind sehr nah zueinander (ihre Wertepaare sind auch sichtbar) und die gezeichneten Teile der Kurve und der Gerade stimmen fast völlig überein. Am Ende wird das Bild zur Anfangsgröße wieder gebracht. Die Punkte stimmen völlig überein. In diesem Fall wird von der Tangente der Kurve am Punkt A gesprochen. Die Tangente hat also mit der Kurve einen einzigen gemeinsamen Punkt. Da dies bei Tangenten nicht immer der Fall ist, ist eine passendere Definition die folgende: Die Tangente einer Kurve an einem Punkt ist eine Gerade, die die Kurve an diesen Punkt gerade eben berührt und diesen Punkt mit der Kurve teilt.

Wenn das Bild im Video genug vergrößert wird (wie im 7. Bild rechts), sind Gerade und Kurve (optisch) identisch und daher ist die Steigung der Kurve gleich der Steigung der Tangente. Somit haben wir den zweiten Teil der Definition am Anfang gezeigt: Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente der Funktion an dieser Stelle.

Die Tangente einer Funktion an verschiedenen Stellen sehen wir auch in den beiden Animationen links (unter dem Video). Durch die Bewegung der Tangente ist auch sichtbar, wie steil die Funktion selber an diesem Punkt ist und selbstverständlich, ob die Steigung negativ (Tangente nach unten) oder positiv (Tangente nach oben) ist.

In der Erklärung der linearen Funktion erfahren wir, dass die Steigung der linearen Funktion durch die Formel $\textstyle \ f(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$berechnet werden kann. Die Tangente einer Kurve ist eine Gerade. Die Steigung der Tangente wird durch die Formel $\textstyle \ f(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$berechnet. Für die Kurve haben wir gesehen, dass wenn der Punkt B weit vom A ist, dieser Wert () nicht stimmt. Je näher er aber zum Punkt A rückt, desto mehr drückt diese Formel die Steigung der Kurve aus. Für verschwindenden Unterschied zwischen A und B drückt dieser Formel genau diese Steigung aus.

Dieser ist eine Definition der Ableitung. Man schreibt:

$\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$

Dass wir hier eine Ableitung haben, wird mit dem Strich neben f gezeigt. f ′ bedeutet Ableitung von f. x ist die unabhängige Variable. lim (limes) bedeutet Grenze. Gelesen wird „f Strich von x ist gleich Limes Delta y durch Delta x für Delta x gegen 0“. Somit haben wir auch den ersten Teil der Definition am Anfang gezeigt. In einem anderen Kapitel lernen wir, dass mit Hilfe der eben gezeigte Formel die Ableitung (also eine neue Funktion) der unabhängigen Variable berechnet werden kann. Um die neue Funktion zu finden, werden Ableitungsregeln benutzt.

Noch zu zeigen ist der letzte Teil der Definition am Anfang. Dafür brauchen wir im letzten Bild oben noch dazu ein Dreieck zu zeichnen. Die Definition des Tangens in einem rechtwinkeligen Rechteck ist der Quotient der gegenüberliegenden Kathete durch die Ankathete. Im nebenstehenden Bild ist zu sehen, dass der Tangens des Winkels φ tatsächlich $\textstyle \ {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ ist und in diesem Fall (Punkt A) genau 2.

Ableitungsnotationen

Verschiedene berühmte Physiker und Mathematiker haben unterschiedliche Notationen eingeleitet, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

• Die Darstellung $f'(x)$ stammt von Lagrange. Die zweite Ableitung wird durch $f''(x)$ und die n-te durch $f^{(n)}\$dargestellt.
• Eine andere Darstellung, die oft benutzt wird und von Leibniz stammt, ist ${\tfrac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$. Die zweite Ableitung in dieser Notation ist ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}$ und die n-te ${\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}$.
• In Physik, besonders in der Mechanik, wird die Notation von Newton als Ableitung mit Zeit als unabhängige Variable benutzt: ${\dot {x}}$ für die erste und ${\ddot {x}}$ für die zweite Ableitung.
• Noch eine Notation, die eher seltener benutzt wird, ist die von Euler . Die erste Ableitung in dieser Notation ist $\mathrm {D} _{x}f(x)$, die zweite $\mathrm {D} _{x}^{2}f(x)$ und die n-te $\mathrm {D} _{x}^{n}f(x)$.

Einheiten der Ableitung

Steigung einer Gerade: $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung in einem s-t Diagramm

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem s-t Diagramm auf der y-Achse die Strecke dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: $\qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Der letzte Quotient ist nichts anders als die mittlere Geschwindigkeit:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem s-t Diagramm zeigt uns die Geschwindigkeit

Im konkreten Beispiel rechts: s₁ ist zwei Einheiten, s₂ 5 Einheiten. Wenn die Einheiten der y-Achse Meter (m) sind, ist Δs=3 m. Entsprechend, wenn die Einheit auf der x-Achse Sekunde (s) ist, dann ist Δt=6 s. Die Steigung und daher auch die Geschwindigkeit ist in diesem Fall

${v}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {3m}{6s}}=0,5{\frac {m}{s}}$

Allgemeiner:

Die Einheit der Steigung einer Funktion ist der Quotient der Einheit der y-Achse (der abhängigen Variable) durch die Einheit der x-Achse (der unabhängigen Variable).

Die (physikalische) Größe der Steigung wird durch den entsprechenden Größenquotient ausgedrückt. Das gilt nicht nur für eine Gerade, sondern für die Steigung, also die Ableitung, aller Funktionen.

Steigung in einem v-t Diagramm

In der gleichen Weise können wir daher die Einheiten und die physikalische Größe in einem v-t Diagramm. Die Geschwindigkeit v wird beispielsweise in m/s gemessen, die Zeit in s. Daher ist die Einheit der Steigung (und ihr entsprechender Wert für das im Bild dargestellten v-t Diagramm):

${a}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3m/s}{6s}}=0,5{\frac {\frac {m}{s}}{s}}=0,5{\frac {m}{s^{2}}}$

m/s² ist eine Einheit für die Beschleunigung: $\textstyle {\bar {a}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Ableitung von Potenzfunktionen

EINFACH

KOMPLEX

SCHWIERIG

Die Potenzfunktionen bestehen aus einer Potenzzahl, deren Basis die unabhängige Variable ist:

$p(x)=x^{n}$

Die Hochzahl n kann allerdings nicht nur eine natürliche Zahl sein, sonst irgendwelche Zahl, beispielsweise $\textstyle \ p_{1}(x)=x^{3},\ \ p_{2}(x)=x^{-{\frac {5}{3}}},\ \ p_{3}(x)=x^{\sqrt {3}}$.

Um die Ableitung einer Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^{n}\$zu berechnen, gibt es eine einfache Regel:

$f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

In unseren Beispielen:

$\textstyle \ p_{1}'(x)=3\ x^{3-1}=3\ x^{2},\ \ p_{2}'(x)={-{\frac {5}{3}}}\ x^{-{\frac {5}{3}}-1}={-{\frac {5}{3}}}\ x^{-{\frac {8}{3}}}=,\ \ p_{3}'(x)={\sqrt {3}}\ x^{{\sqrt {3}}-1}$

Wenn die Hochzahl eine natürliche Zahl ist, kann man diese Regel mit Hilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert zeigen. Hier beschränken wir uns auf die einfache Anwendung der Regel. Wie in den Beispielen zu sehen ist, ist die Ableitung eine neue Funktion. Daher können wir ihren Wert an einer Stelle berechnen. Wenn wir den Wert der Funktion $\ p_{1}(x)=x^{3}\$und ihrer Ableitung $\ p_{1}'(x)=3\ x^{2}\$ im ersten Beispiel berechnen wollen, ersetzen wir einfach die unabhängige Variable durch ihren Wert ("Stelle"):

$\textstyle \ p_{1}(5)=5^{3}=125,\ \ p_{1}'(5)=3\cdot 5^{2}=75$

Der Wert der Funktion $\ p_{1}\$an der Stelle 5 ist 125, der Wert ihre Ableitung ist 75. 75 ist auch die Steigung der Funktion $\ p_{1}\$an der Stelle 5.