MathemaTriX ⋅ Theorie. Reifeniveau 2

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AUFGABEN

Niveaus: Grundniveau 1 Grundniveau 2 Grundniveau 3 Mitteniveau 1 Mitteniveau 2 Mitteniveau 3 Reifeniveau 1 Reifeniveau 2 Reifeniveau 3 Reifeniveau 4 Reifeniveau 5 Reifeniveau 6 Reifeniveau 7

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Schluss und Prozentrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Exponential und Logarithmus Funktion

Exponentialfunktion und Logarithmus

Zusammenhang Exponentialfunktion und Logarithmus

Wenn wir Voraussagen über die Bevölkerung in einem Staat machen wollen, benutzen wir eine sogenannte Exponentialfunktion. Nehmen wir beispielsweise an, dass die Bevölkerung in einem Staat mit 30 Millionen EinwohnerInnen um 2% jedes Jahr wächst. Das bedeutet, dass jedes Jahr die Bevölkerung 102% der Bevölkerung des vorherigen Jahres sein wird, also das 1,02-fache. Um die Bevölkerung $B_{x}$nach $x$ Jahren zu berechnen, müssen wir daher die Bevölkerung am Anfang $B_{0}$ mit 1,02 $x$ mal multiplizieren:

$B_{x}=B_{0}\cdot 1{,}02^{x}$

Im konkreten Beispiel wäre das dann nach 20 Jahren:

$B_{20}=30\cdot 1{,}02^{20}\approx 44{,}6\$(Millionen Menschen)

In dieser Funktion wird die Bevölkerung (in Millionen Personen) in Bezug auf die Zeit (in Jahren) ausgedrückt. Die Zeit (hier mit dem Symbol x dargestellt) ist die unabhängige Variable.

Was ist aber, wenn wir die Frage umkehren wollen? Wie können wir berechnen, nach wie vielen Jahren die Bevölkerung mit diesem Wachstum 100 Millionen sein wird? Wir sollen in diesem Fall eine Gegenrechnung benutzen. Die Gegenrechnung von minus ist plus, von mal durch und von hoch die entsprechende Wurzel. Die zwei ersten Paare können wir als Möglichkeit hier schon ausschließen. Kommt die Wurzel als Möglichkeit vor? Für Wurzel und Potenzzahl gilt:

${\sqrt[{n}]{x}}=a\Rightarrow x=a^{n}$

Probieren wir das in unserem Beispiel. Wir wollen berechnen, nach wie vielen Jahren ($x$) die Bevölkerung ($B_{x}$) 100 Millionen sein wird. Hier ist also nicht die Zeit x angegeben, sondern die Bevölkerung $B_{x}\$(=100 Millionen). Die Bevölkerung am Anfang $B_{0}\$bleibt immer noch 30 Millionen:

$B_{x}=B_{0}\cdot 1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ 100=30\cdot 1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ {\frac {100}{30}}=1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ {\sqrt[{x}]{\frac {100}{30}}}=1{,}02$

Was können wir jetzt tun? Können wir x berechnen? Die Antwort ist nein. x steht als Wurzelpotenz. Wir können es nicht berechnen. Wir brauchen eine neue Gegenrechnung. Was ist hier der Unterschied zu den Potenzfunktion? Die unabhängige Variable ist nicht mehr die Basis, wie bei der Potenzfunktion $f(x)=x^{n}$. Wenn die unabhängige Variable als Hochzahl in der Funktion vorkommt, dann ist die Gegenrechnung der entsprechende sogenannte Logarithmus. In unserem Beispiel:

$1{,}02^{x}={\frac {100}{30}}\ \Rightarrow \ x=\log _{1{,}02}{\frac {100}{30}}\approx 60{,}80\$(Jahren)

Das bedeutet: Mit diesem Wachstum (2%) wird die Bevölkerung nach fast 61 Jahren 100 Millionen sein. Man sagt: „x ist der Logarithmus von $\textstyle \ {\frac {100}{30}}\$ zur Basis 1,02“. Der Logarithmus zu einer Basis b ist daher die Gegenrechnung der Potenzzahl mit gleicher Basis b und Hochzahl die Variable.

$b^{x}=a\Rightarrow x=\log _{b}a$

Für zwei Zahlen als Basis eines Logarithmus gibt es in der mathematischen Gesellschaft entsprechende Schreibweisekonventionen.

• Wenn die Basis 10 ist schreiben wir einfach $\ \lg \$ohne Basis. Also, wenn einfach $\ \lg \$ da steht, dann ist als Basis 10 gemeint.
  $10^{x}=a\Rightarrow x=\lg a\qquad (=\log _{10}a)$
  Dieser wird Zehner- oder Dekadischer Logarithmus genannt. Bei Taschenrechnern wird dafür nicht das Symbol $\lg \$oder $\log _{10}\$sondern einfach $\log \$ohne Basis benutzt. Das Symbol $\log \$bedeutet also bei Taschenrechnern den Zehnerlogarithmus.
• Es gibt dazu eine ganz besondere Zahl, die sogenannte eulersche Zahl $e$. $e$ gehört zu den berühmtesten mathematischen Konstanten, wie die Kreiszahl π. Die Kreiszahl π wird als das Verhältnis (der Bruch) des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. π ist ungefähr (aber nicht genau...) 3,14… . Die Definition für die Zahl e ist nicht so leicht und wird an dieser Stelle nicht erklärt. Es reicht zu wissen, dass e eine besondere Zahl und ungefähr gleich 2,718… ist. Wenn jetzt e die Basis einer Potenz ist, dann schreiben wir für die Gegenrechnung $\ \ln \$anstatt $\ \log _{e}$:
  $e^{x}=a\Rightarrow x=\ln a\qquad (=\log _{e}a)$
  Dieser wird natürliche (viel seltener "napiersche") Logarithmus genannt.

Lambda

$\mathbf {a^{x}=e^{\lambda \,x}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {a^{x}=\left(e^{\lambda }\right)^{x}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {a=e^{\lambda }} \quad \Leftrightarrow \quad$$\mathbf {\ln a=\ln e^{\lambda }} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {\ln a=\lambda \,\ln e} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {\lambda =\ln a}$

Arbeiten mit Termen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wird im Reifeniveau 3 fortgeführt.

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Dieses Kapitel fängt im imGrundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Einheiten

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Geometrische Konstruktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Geometrie der Ebene

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel ist nur im mittleren Niveau 3 behandelt.

Diagramme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Funktionen

Nullstelle(n) einer Funktion

In Mathematik nennt man Stelle der Funktion den Wert von x und Wert der Funktion den Wert von y. Nullstelle einer Funktion ist dann die Stelle (also der x-Wert) der Funktion, an der der Wert der Funktion (also y) null ist.

Nehmen wir die lineare Funktion  $y=4x-5$. Wie viel ist der Wert der Funktion an der Stelle 3? Stelle bedeutet x-Wert. Wenn $x=3$ ist, dann ist der Wert der Funktion $y=4\cdot 3-5$ also $y=7$. Der Wert der Funktion an der Stelle $3$ ist $7$. Wie viel ist die Lösung der Funktion? Lösung der Funktion bedeutet, dass der Wert der Funktion y null ist: $0=4x-5$ daher $5=4x$ und $\textstyle x={\frac {5}{4}}(=1{,}25)$. Also die Lösung der Funktion $y=4\cdot 3-5$ ist der x-Wert x=1,25.

Schnittpunkte von Funktionen

Diagramm

Text

Hier sind ein paar Beispiele von Funktionen:

f(x)=3x−5 $\qquad$ K(s)=3s+1,5 $\qquad$ V(r,h)=πr²(r+h)

h(t)=14− 3t $\qquad$ ρ(m,V)=${\frac {m}{V}}$

Oft haben wir erwähnt, dass wenn nichts zwischen zwei mathematischen Ausdrücken steht, eine Multiplikation gemeint ist. In diesen Fällen ist allerdings nicht so. Mit dem Symbol f(x) ist eine Funktion f gemeint, wo die abhängige Variable durch f (in diesem Fall auch y) und die unabhängige durch x symbolisiert wird. f(x) bedeutet so viel wie „f in Abhängigkeit von x“. Entsprechend könnte K(s) die Kosten einer Taxifahrt in Abhängigkeit vom Abstand s bedeuten, V(r,h) das Volumen V eines zusammengesetzten geometrischen Körpers in Abhängigkeit von dem Radius r und der Höhe h, h(t) die Höhe einer Kerze in Abhängigkeit von der Zeit oder ρ(m,V) die Dichte in Abhängigkeit von der Masse und das Volumen. Selbstverständlich können alle diese Symbole auch etwas anderes als Kosten, Volumen, Radius, Zeit usw. bedeuten und jedes Symbol kann mal die unabhängige und mal die abhängige Variable sein (wie hier mit dem Volumen). In der Symbolik a(u) ist das (oder die) Symbol im Klammer (hier u) die unabhängige Variable, die auf der x-Achse dargestellt wird und das Symbol außerhalb (vor) der Klammer (hier a) die abhängige.

In einer Funktion kann es für jeden Wert der unabhängigen Variable genau einen Wert der abhängigen geben, für jeden Wert der abhängigen allerdings keine, eine oder mehrere Werte der unabhängigen. Die Menge der Werte der unabhängigen Variable wird Definitionsmenge genannt, die Menge der Werte der abhängigen Zielmenge. Obwohl für die Zielmenge oft das Wort Wertemenge benutzt wird, sind in der Schulmathematik i.d.R. nur die Werte der Zielmenge, die tatsächlich einem Wert der Definitionsmenge entsprechen, mit Wertemenge gemeint. Im Bild ist A die Definitionsmenge, B die Zielmenge und {b,c,d} die Wertemenge. B kann in diesem Fall nicht die Definitionsmenge sein, da {b} zwei Werten von A entspricht. Mit dem Wort „Stelle“ ist ein Wert aus der Definitionsmenge gemeint („x-Wert“), mit dem Ausdruck „Wert der Funktion“ ein Wert aus der Zielmenge („y-Wert“). Wenn der Wert einer Funktion (y-Wert) an einer gewissen Stelle gefragt wird, dann muss man die unabhängige Variable in der Funktion durch ihren angegebenen Wert („Stelle“, x-Wert) ersetzen. Wenn z.B. die Funktion g(a)=a²+4a−11 ist, dann ist der Wert der Funktion an der Stelle 2 gleich g(2)=2²+4·2−11 also 1. Wie zu sehen ist, haben wir bei g(2) überall, wo in der Funktion g(a)=a²+4a−11 das a steht, dieses durch 2 ersetzt und damit den Wert der Funktion an dieser Stelle berechnet. Es gilt daher in dieser Funktion: g(2)=1.

Mit dem Begriff „Lösungen“ einer Funktion sind die Stellen (x-Werte) der Funktion gemeint, wo die Funktion gleich Null ist, also wo die x-Achse von der Funktion geschnitten oder berührt wird und wo der y-Wert Null ist. Im Diagramm sind die Punkte B, C, D und E Lösungen der Funktion, die durch die Kurve dargestellt wird. Der Punkt F ist die Lösung der Funktion, die mit einer Gerade dargestellt wird. Wenn nicht ein Diagramm sondern der "algebraische" Ausdruck der Funktion gegeben ist, dann sollen wir die Funktion gleich Null setzen, um die Lösungen zu finden. Beispielsweise müssen wir die Funktion k(x)=x⁴−5x³+4x gleich Null setzen, u ihre Lösungen (Nullstellen) zu finden:

0=x⁴−5x³+4x

Diese Gleichung stimmt für x gleich ca. −0,83, 0, 1 und ca. 4,83. Diese Stellen (: Werte von x) sind die Lösungen der Funktion (Nullstellen: Stellen, also Werten von x, wo die Funktion, also die Werte von y, Null ist).

Der y-Achsenabschnitt für eine Gerade haben wir schon gelernt, für die Kurve im Diagramm ist er der Punkt A. An diesem Punkt ist der x-Wert Null (wie allerdings auf der ganzen y-Achse). Wenn wir den Wert der Funktion g(a)=a²+4a−11 a an der Stelle 0 (x-Wert, also die unabhängige Variable ist Null, also hier a=0), dann bekommen wir den Wert g(0)=0²+4∙0−11=−11. Alle Teilterme, die x haben, werden bei der Berechnung des y-Achsenabschnitts einfach ausgelassen (da sie mit Null multipliziert werden). Der y-Achsenabschnitt der Kurve im Diagramm ist 1 (Punkt A), der Gerade 13 (nicht sichtbar).

Lösung eines Gleichungssystems sind die Punkte, wo die Funktionen einander schneiden. Im Bild sind es die Punkte G, H, I. Da schneiden die Kurve und die gerade einander. Um diese Punkte zu finden, werden die beide Funktionen gleich zueinander gestellt. Wenn z.B. die Kurve k(x)=x⁵+4x³-3x²+1 wäre und die Gerade f(x)=−2x+13, dann schreibt man: k(x)=f(x) also x⁵+4x³-3x²+1=−2x+13 und löst diese Gleichung. Das funktioniert, weil die beiden Funktionen an den Schnittpunkten die gleichen y-Werte haben (also ist an diesen Punkten tatsächlich k(x)=f(x)) und auch die gleichen x-Werte.

Der Punkt K gehört zur Kurve aber nicht zur Gerade, Punkt J gehört zu keiner der beiden Funktionen. Um herauszufinden, ob ein Punkt zu einer Funktion gehört, setzen wir in der Funktion den Wert von x ein und vergleichen wir das Ergebnis (y-Wert) mit dem y-Wert des Punktes. Wenn diese dann übereinstimmen, dann gehört der Punkt zur Funktion, sonst nicht.

Die quadratische Funktion

Die quadratische Gleichung

Eine Funktion der Form $\ Q(x)=ax^{2}+bx+c\$ wird quadratische Funktion genannt. Ihre Lösungen (Nullstellen) werden durch die folgende Formel angegeben:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante $D\$ genannt.

$D={b^{2}-4ac}$

Wenn die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, wenn null dann eine Lösung und wenn negativ keine (da es keine Wurzel von negativen Zahlen gibt).

Eine Polynomfunktion ist eine Funktion von einer Summe von Potenzfunktionen, deren Hochzahlen natürliche Zahlen sind:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

n ist die größte Hochzahl und bestimmt den sogenannten Grad der Funktion (für a_n≠0), a_n, a_n-1, … , a₀ sind die sogenannten Koeffizienten. Wenn n=2 ist, dann ist von einer quadratische Funktion die Rede:Q(x)= ax²+bx+c

Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit den Lösungen einer quadratischen Funktion, also mit den Stellen der Funktion, wo ihre Wert Null ist. Wir setzen daher die Funktion gleich Null. Die entsprechende Gleichung wird quadratische Gleichung genannt:

ax²+bx+c=0

Fangen wir mit einem einfachen Beispiel an:

x²=9

Die Gegenrechnung von Quadrat ist die Wurzel:

$x={\sqrt {9}}\$ also x=3

Ist das jetzt die einzige Lösung dieser Gleichung? Nein. Auch der Wert −3 ist eine Lösung der Gleichung:

(−3)²=9

Daher ist es notwendig, bei solchen Fällen beide Lösungen zu schreiben:

$x=\pm {\sqrt {9}}$ also sowohl +3 als auch −3

Allerdings haben wir die quadratische Gleichung in der folgenden Form geschrieben:

ax²+bx+c=0

In der Gleichung x²=9 haben wir rechts doch nicht null sondern 9. Wie so haben wir behauptet, dass es um eine quadratische Gleichung geht? Das wird klar, wenn 9 auf die andere Seite gebracht wird:

x²−9=0

Das ist eine quadratische Gleichung mit a=1, b=0 und c=−9. Das ist allerdings auch die plus-minus binomische Formel, die als Produkt geschrieben werden kann:

x²−9=0 → (x+3)(x−3)=0 also x=−3 oder x=3

Wir haben also gesehen, dass die quadratische Funktion f(x)=x²−9, also die entsprechende Gleichung x²−9=0, zwei Lösungen hat. Ist das immer der Fall, dass eine quadratische Funktion und die entsprechende Gleichung zwei Lösungen hat? Nehmen wir folgendes Beispiel:

x²+10x+25=0

Das ist eine quadratische Gleichung mit a=1, b=10 und c=25. Der Term links ist wieder eine binomische Formel, die plus Formel:

x²+10x+25=0 → (x+5)²=0 → (x+5)(x+5)=0 also x=−5

Wie zu sehen ist, gibt es hier nur eine (sozusagen doppelte) Lösung, nämlich x=−5. Nehmen wir noch ein Beispiel:

x²=−3

Die Gegenrechnung ist die Wurzel:

$x={\sqrt {-9}}\$

Die Wurzel von negativen Zahlen ist (in der Menge der reellen Zahlen) nicht definierbar. Eine Erklärung ist, dass das Quadrat von allen Zahlen (positiven und negativen) nie negativ sein kann. Beispielsweise ist 3²=9 positiv aber (−3)²=9 auch. Daher hat die Gleichung x²=−3 keine Lösung. Bringen wir in der Gleichung die 3 auf die andere Seite:

x²+3=0

Vergleichen wir das mit der allgemeinen quadratischen Gleichung:

ax²+bx+c=0

sehen wir, dass in x²+3=0 das a gleich 1, das b gleich 0 und das c gleich 3 sein soll. So haben wir eine quadratische Gleichung mit a=1, b=0 und c=3. Diese Gleichung hat allerdings keine Lösung (in der Menge der reellen Zahlen). Wir haben also in den vorherigen Beispielen gesehen:

Eine quadratische Gleichung (und die entsprechende Funktion) kann keine, eine oder zwei Lösungen haben.

Es gibt eine Formel für die Lösungen der allgemeiner quadratische Funktion ax²+bx+c=0:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante D genannt.

$D={b^{2}-4ac}$

Wenn die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei Lösungen $\textstyle \left(x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\right)$, wenn null dann eine Lösung $\textstyle \left(x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\right)$und wenn negativ keine (da es keine Wurzel von negativen Zahlen gibt). In unseren Beispielen:

• x²=9 also x²−9=0 Hier ist a=1, b=0 und c=−9.
  Diskriminante: D=b²−4ac=0²−4·1·(−9)=36>0 (positiv). Es gibt daher 2 Lösungen.

• (x+5)²=0 also x²+10x+25=0 Hier ist a=1, b=10 und c=25.
  Diskriminante: D=b²−4ac=10²−4·1·25=100−100=0 (null). Es gibt daher 1 Lösung.

• x²=−3 also x²+3=0 Hier ist a=1, b=0 und c=3.
  Diskriminante: D=b²−4ac=0²−4·1·3=−12<0 (negativ). Es gibt daher keine Lösung.

• (x+5)²=9 also x²+10x+16=0 Hier ist a=1, b=10 und c=16.
  Diskriminante: D=b²−4ac=10²−4·1·16=100−64=36>0 (positiv). Es gibt daher 2 Lösungen.

Lineare Gleichungssysteme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 3 an und wurde im Reifeniveau 4 weitergeführt.

Trigonometrische Funktionen

Einheitskreis

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

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Der Einheitskreis ist ein in einem Koordinatensystem gezeichneter Kreis. Sein Mittelpunkt ist der Koordinatensystemanfang (also der Punkt (0|0)) und sein Radius ist die Einheit (also 1). Der Radius steht am Anfang auf der x Achse rechts und wird im Gegenuhrzeigesinn gedreht. Dadurch entsteht ein Winkel im Kreis (und ein Punkt P auf dem Kreis), wie im ersten Bild zu sehen ist. Im zweiten Bild sehen wir genauer diese Drehung. Wir sehen auch, dass ein viertel Kreis Drehung einen 90°, ein halber Kreis einen 180°, drei viertel Kreis 270° und ein ganzer Kreis 360° Winkel entsprechen.

Im dritten Bild sehen wir, dass der Sinus gleich der Seite gegenüber dem Winkel ist und der Kosinus gleich der Ankathete. Sinus wird als Gegenkathete durch Hypotenuse definiert: $\textstyle \ \sin \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {a}{1}}=a\$, da die Hypotenuse c in diesem Fall gleich 1 ist. Das Entsprechende gilt für Kosinus: $\textstyle \ \cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {b}{1}}=b\$. Die Länge der Seite a ist allerdings auch so viel wie die y-Koordinate des entsprechenden Punktes. Das bedeutet, dass auf der y-Achse der Sinus des Winkels dargestellt wird. Entsprechend wird auf die x-Achse der Kosinus des Winkels dargestellt (die Seite b, also die x-Koordinate des entsprechenden Punktes auf dem Kreis).

Im vierten Bild sehen wir, dass ein Winkel $\theta \$und sein Gegenwinkel $-\theta \$den gleichen Kosinus haben. Da ein ganzer Kreis 360° ist, haben $\theta \$ und $360^{\circ }-\theta \$ den gleichen Kosinus. Im fünften Bild sehen wir, dass ein Winkel $\omega \$und sein Supplementwinkel math>180^\circ -\omega\ </math>den gleichen Sinus haben. Im letzten Bild sehen wir, dass wenn wir eine ganze Drehung (oder mehrere ganzen Drehungen) dazu machen, der neue Winkel sowohl den gleichen Sinus als auch den gleichen Kosinus hat.

Im letzten Bild wird allerdings eine ganze Drehung mit 2π und nicht mit 360° bezeichnet. Das ist eine andere Einheit für die Messung von Winkeln, Radiant genannt. Genauso wie es auf der Welt für die Messung von einer Länge verschiedene Einheiten, wie km oder Meile gibt, gibt es verschiedene Einheiten auch für die Messung einer Drehung (eines Winkels). 2π rads entsprechen einer ganzen Drehung, also 360°.

Vektoren

Dieses Kapitel fängt erst im Reifeniveau 5 an.

Differentialrechnung

Dieses Kapitel fängt im Reifeniveau 1 an und wird im Reifeniveau 3 weitergeführt.