MathemaTriX ⋅ Theorie. Reifeniveau 3

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AUFGABEN

Niveaus: Grundniveau 1 Grundniveau 2 Grundniveau 3 Mitteniveau 1 Mitteniveau 2 Mitteniveau 3 Reifeniveau 1 Reifeniveau 2 Reifeniveau 3 Reifeniveau 4 Reifeniveau 5 Reifeniveau 6 Reifeniveau 7

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Schluss und Prozentrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Exponential und Logarithmus Funktion

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Arbeiten mit Termen

Komplexe Umformungen

Hauptsache beim Umformen ist das wichtigste zu erkennen, nämlich wo die gesuchte Variable ist. Egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht, wird es viel einfacher, wenn wir in unserer Vorstellung im Kopf immer an "Boxen" denken. Beispielsweise:

$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$

Wenn hier m gefragt ist, ist es völlig irrelevant, wie kompliziert der Rest aussieht. In unserem Kopf sollen wir folgendes Bild haben:

$A_{1}+A_{2}\cdot {\frac {A_{3}}{m\cdot A_{4}}}-A_{5}=A_{6}$

Dieses Bild wird noch einfacher, wenn wir in unserem Kopf A₁ und A₅ als ein Box denken und entsprechend A₂ und A₃. Das geht, weil die ersten zwei Summanden sind, die auf die andere Seite gehen sollen, und die letzten zwei ein Produkt sind:

$B_{1}+{\frac {B_{2}}{m\cdot B_{3}}}=B_{4}$

Wir brauchen die Fassung nicht verlieren. Wir sollen einfach die Strukturen erkennen. Dann ist es eher einfach. Es gibt allerdings keine Regel der Form "Klammer vor Punkt vor Strich". Wichtig ist zu erkennen, was bei einer "Verschachtelung" "innen" oder was "außen" ist. Beispiel:

${\sqrt {\frac {x}{2}}}=b$ und ${\frac {\sqrt {x}}{2}}=b$

Im ersten Fall ist der Bruch innerhalb der Wurzel, also müssen wir erst die Gegenrechnung für die Wurzel und dann für den Bruch benutzen:

${\sqrt {\frac {x}{2}}}=b\Rightarrow {\frac {x}{2}}=b^{2}\Rightarrow x=2b^{2}$

Im zweiten Fall ist die Wurzel innerhalb des Bruches, also müssen wir erst die Gegenrechnung für den Bruch und dann für die Wurzel benutzen:

${\frac {\sqrt {x}}{2}}=b\Rightarrow {\sqrt {x}}=2b\Rightarrow x=(2b)^{2}$

Beim Umformen ist unsere erste Aufgabe den Term (oder die Terme) mit der gesuchten Variable zu isolieren (allein auf einer Seite lassen).

In den folgenden Gleichungen ist immer m die gefragte Variable. In der ersten Spalte sieht man eine Gleichung. Für jede Gleichung haben wir in der zweiten Spalte den Term (bzw. die Terme) mit der gesuchten Variable in einem Rahmen und die gesuchte Variable mit Rot hervorgehoben. In der letzten Spalte sieht man dann diesen Term (bzw. diese Terme) allein auf einer Seite, während alle andere Terme sich auf der anderen Seite befinden.

$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a+$ $c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot v^{2}}}$ $-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot v^{2}}}$ $=2{,}2-a+{\frac {l}{d}}$
$a\cdot m^{2}+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}$ $+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{d}}=2{,}2$		$a\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}$ $=2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}$
$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}-{\frac {l}{k-m}}=2{,}2$		$a+c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$ $-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {\color {red}m}}}}$ $=2{,}2$		$-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {\color {red}m}}}}$ $=2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$
${\frac {j\cdot m\cdot a^{2}}{b+c}}-m+h^{2}=4$		${\frac {j\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {\color {red}m}}$ $+h^{2}$ $=4$		${\frac {j\cdot {\boldsymbol {\color {red}m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {\color {red}m}}$ $=4-h^{2}$
${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-m^{2}}}}-{\dot {\omega }}_{2}={\dot {\omega }}$		${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}}}}$ $-{\dot {\omega }}_{2}={\dot {\omega }}$		${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {\color {red}m}}^{2}}}}$ $={\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}$

Man sieht in diesen Beispielen, dass der Term mit der gesuchten Variable von den anderen Summanden isoliert wird. Wenn man diesen Schritt schon gemacht hat, sind die weiteren Schritten viel einfacher. Im Folgenden werden wir immer mit der Gleichung der jeweiligen letzten Spalte anfangen.

• Im ersten Fall haben wir die gesuchte Variable im Nenner. Man multipliziert jede Seite als Ganzes mit der gesuchten Variable.

$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{{\boldsymbol {m}}\cdot v^{2}}}=2{,}2-a+{\frac {l}{d}}$

$c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{v^{2}}}=(2{,}2-a+{\frac {l}{d}})\cdot {\boldsymbol {m}}$

Als Ganzes bedeutet also hier die linke Summe in Klammer zu setzen. Man dividiert dann durch die Klammer und dann haben wir schon das Ergebnis!

${\frac {c_{L}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{v^{2}}}}{2{,}2-a+{\frac {l}{d}}}}={\boldsymbol {m}}$    oder in einem Bruch:       ${\boldsymbol {m}}={\frac {2\cdot c_{L}\cdot k_{B}\cdot T\cdot d}{[d\cdot (2{,}2-a)+l]\cdot v^{2}}}$

• Im zweiten Fall

$a\cdot {\boldsymbol {m}}^{2}=2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}$

muss man zuerst durch a dividieren und dann Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist dann:

${\boldsymbol {m}}={\sqrt {\frac {2{,}2-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}+{\frac {l}{d}}}{a}}}$

    oder in einem Bruch geschrieben:      ${\boldsymbol {m}}={\sqrt {\frac {2{,}2\cdot d\cdot n\cdot v^{2}-2\cdot c_{L}\cdot T\cdot d+l\cdot n\cdot v^{2}}{a\cdot d\cdot n\cdot v^{2}}}}$

• Im dritten Fall steht die gesuchte Variable in einer Summe im Nenner.

$-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {m}}}}=2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}$

Es gibt verschiedenen Möglichkeiten das Minus weg zu kriegen (z.B. mit -1 multiplizieren). Wir ziehen aber hier vor, das Minus in den Nenner zu bringen, was dazu führt, dass sich die Vorzeichen ändern (also anstatt  $-{\frac {l}{k-{\boldsymbol {m}}}}$  haben wir ${\frac {l}{{\boldsymbol {m}}-k}}$). Wir arbeiten dann wie im ersten Fall aber mit dem Nenner als Ganzes:

${\frac {l}{2{,}2-a-c_{L}\cdot {\frac {2\cdot T}{n\cdot v^{2}}}}}={\boldsymbol {m}}-k$      und das Ergebnis ist:      ${\boldsymbol {m}}={\frac {l\cdot n\cdot v^{2}}{[(2{,}2-a)\cdot n\cdot v^{2}-2\cdot c_{L}\cdot T}}+k$

• Im viertel Fall befindet sich die gesuchte Variable in mehreren Termen:

${\frac {j\cdot {\boldsymbol {m}}\cdot a^{2}}{b+c}}-{\boldsymbol {m}}=4-h^{2}$

Man muss also die gesuchte Variable zuerst herausheben:

${\boldsymbol {m}}\cdot ({\frac {j\cdot a^{2}}{b+c}}-1)=4-h^{2}$

und dann durch die dadurch entstandenen Klammer dividieren. Das Endergebnis (wenn man auch den Doppelbruch vereinfacht) ist:

${\boldsymbol {m}}={\frac {(4-h^{2})\cdot (b+c)}{j\cdot a^{2}-(b+c)}}$

• Im fünften Fall befindet sich die gesuchte Variable innerhalb einer Wurzel im Nenner.

${\frac {\omega _{1}}{\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}}={\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}$

Man soll zuerst den Nenner "oben" bringen, also mit dem Nenner multiplizieren

$\omega _{1}=({\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2})\cdot {\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}$

Als zweites soll die Wurzel allein auf einer Seite bleiben:

${\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}}={\sqrt {m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}}}$

Dann soll man die Wurzel "auflösen", in dem man beide Seiten quadriert:

$({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}=m_{1}^{2}-{\boldsymbol {m}}^{2}$

Jetzt steht die gefragte Variable m (quadriert) in einer Summe rechts. Man soll sie erst "isolieren":

${\boldsymbol {m}}^{2}=m_{1}^{2}-({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}$

und dann einfach Wurzel ziehen:

${\boldsymbol {m}}={\sqrt {m_{1}^{2}-({\frac {\omega _{1}}{{\dot {\omega }}+{\dot {\omega }}_{2}}})^{2}}}$

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Dieses Kapitel fängt im imGrundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Einheiten

Vorsilben und Gleitkommadarstellung

Vorsilben

(auch: Vorsätze oder Präfixe: aus der Wikipedia Seite leicht verändert)

SI-Präfixe sind die für die Verwendung im Internationalen Einheitensystem (SI) (siehe Erklärung) definierte Dezimal-Präfixe. Sie basieren auf Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten. Man unterscheidet zwischen dem Namen des Präfix und seinem Symbol. Die Symbole sind international einheitlich. Die Namen unterscheiden sich je nach Sprache. Die folgende Tabelle ist nicht vollständig, beinhaltet aber die in der Schulphysik meistbenutzten Vorsilben. Für eine vollständige Tabelle kann man die entsprechende Wikipedia Seite besuchen.

Die Präfixe im SI:

Symbol	Name	Ursprung	Wert
T	Tera	gr. τέρας téras = Ungeheuer / gr. τετράκις tetrákis = viermal	1012	1.000.000.000.000	Billion
G	Giga	gr. γίγας gígas = Riese	109	1.000.000.000	Milliarde
M	Mega	gr. μέγα méga = groß	106	1.000.000	Million
k	Kilo	gr. χίλιοι chílioi = tausend	103	1.000	Tausend
h	Hekto	gr. ἑκατόν hekatón = hundert	102	100	Hundert
da	Deka	gr. δέκα déka = zehn	101	10	Zehn
—	—	—	100	1	Eins
d	Dezi	gr. δέκατος dékatos daraus lat. decimus = zehnter	10−1	0,1	Zehntel
c	Zenti	gr. ἑκατοστός hekatostós daraus lat. centesimus = hundertster	10−2	0,01	Hundertstel
m	Milli	lat. millesimus = tausendster	10−3	0,001	Tausendstel
µ	Mikro	gr. μικρός mikrós = klein	10−6	0,000 001	Millionstel
n	Nano	gr. νάνος nános = "Zwerg"	10−9	0,000 000 001	Milliardstel
p	Piko	ital. piccolo = klein	10−12	0,000 000 000 001	Billionstel

Die Zeichen für Teile einer Einheit werden als Kleinbuchstaben geschrieben, während die meisten Zeichen für Vielfache einer Einheit als Großbuchstaben geschrieben werden. Ausnahmen von dieser Systematik sind aus historischen Gründen die Zeichen für Deka (da), Hekto (h) und Kilo (k).

Gleitkommadarstellung

Es gibt verschiedene Weisen die gleiche Zahl zu schreiben. 0,00065 beispielsweise kann man auch als ${\frac {65}{100000}}$ oder als ${\frac {13}{20000}}$ oder als 650 · 10^-6 usw. schreiben. Die normierte Gleitkommadarstellung ist die Darstellung, in der eine Zahl zwischen 1 und 9 vor dem Komma steht und möglicherweise Nachkommastellen und das ganze mit einer Zehnerpotenz multipliziert wird. Unseres Beispiel in Gleitkommadarstellung sieht so aus: 6,5 · 10^-4. Es gilt also:

0,00065 = ${\frac {65}{100000}}$ = 650 · 10^-6 = 6,5 · 10^-4

Was ganz rechts steht, ist die Gleitkommadarstellung der Zahl. Die Zahlen 0,22 · 10⁴ und 22 · 10² sind nicht in Gleitkommadarstellung, weil die Zahl vor dem Komma nicht zwischen 1 und 9 ist. Die entsprechende Gleitkommadarstellung ist 2,2 · 10³.

Zahl in Gleitkommadarstellung umwandeln

Wie kann ich die Zahl 0,0072 in Gleitkommadarstellung umwandeln? 0,0072 ist eine Zahl kleiner als 1 (also null Komma irgendwas). Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 negativ sein, und soviel, wie man das Komma nach rechts verschieben muss: 0,0072 = 7,2 · 10^-3. Also, wenn eine Zahl kleiner also 1 ist (null Komma irgendwas) wird die Hochzahl der Potenz in der Gleitkommadarstellung negativ sein und genauso viel, wie ich das Komma nach rechts verschieben muss. Noch ein Beispiel: 0,00000054. Die Zahl ist kleiner als 1, also die Hochzahl in der Zehnerpotenz wird negativ sein. Wenn wir 5,4 schreiben, haben wir das Komma 7 mal nach rechts verschoben. Daher ist die Gleitkommadarstellung 5,4 · 10^-7.

Nehmen wir jetzt eine Zahl größer als 1: 99500. Hier ist es leichter: das ist so viel wie 9,95 · 10000, also 9,95 · 10⁴. Wir haben das Komma 4 mal nach links verschoben und die Hochzahl ist eindeutig positiv. Wenn also eine Zahl größer als 1 in Gleitkommadarstellung dargestellt wird, wird die Hochzahl in der Gleitkommadarstellung positiv sein und zwar so viel, wie man das Komma nach links verschoben hat. Noch ein Beispiel: 65100000000. Die Hochzahl wird eindeutig positiv sein (6,51 muss ich mit 10000000000 also 10⁸ multiplizieren - und nicht 10^-8 – damit das Ergebnis 65100000000 ist!) und so viel, wie ich das Komma verschieben muss, also die Gleitkommadarstellung ist 6,51 · 10⁸.

Beispiel zur Gleitkommadarstellung

Ergänzen Sie die unbekannte Hochzahl von 10. Schreiben Sie die Zwischenschritte auf.

0,008 μF = 800 · 10^x MF

Es gibt unterschiedliche Weisen solch eine Aufgabe zu lösen. Eine davon ist, wenn man jede Seite in der normierten Gleitkommadarstellung umwandelt.

Die linke Seite der Gleichung (0,008 μF)

0,008 ist eine Zahl kleiner als 1 (also null Komma irgendwas). Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 negativ sein, und soviel, wie man das Komma verschieben muss:

0,008 = 8 · 10^-3

μ steht für mikro also für 10^-6.

Daher ist die linke Seite in Gleitkommadarstellung:

0,008	μ	F
↓	↓
8 · 10-3 ·	10-6	F

Die rechte Seite der Gleichung (800 · 10^x MF)

800 ist eine Zahl größer als 1. Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 positiv sein, und soviel, wie man das Komma verschieben muss:

800 = 8 · 10²

M steht für Mega also für 10⁶

Daher ist die rechte Seite in Gleitkommadarstellung:

800 ·	10x	M	F
↓	↓	↓
8 · 102 ·	10x	106	F

Ergebnis

Die linke und die rechte Seite müssen gleich sein, also:

8 · 10^-3 · 10^-6 F = 8 · 10² · 10^x · 10⁶ F

und nach den Potenzregel:

8 · 10^-3-6 F = 8 · 10^2+x+6 F

Der einzige Unterschied sind die Hochzahlen. Wir haben in beiden Seiten eine Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis (10), daher müssen die Summen der Hochzahlen auf beide Seiten gleich sein:

-3-6 = 2 + x + 6    $\Leftrightarrow$     -9=x+8   als    x = -17

und daher:

0,008 μF = 800 ·10^-17 MF

Komplexes Beispiel zur Umwandlung von Einheiten

In der folgenden Weise kann man allgemeiner eine komplexe zusammengesetzte Einheit in eine andere umwandeln, auch wenn die Einheiten in unterschiedlichen Einheitssystemen gehören.

Für die Grundgrößen sind in der Regel die Verhältnisse zwischen den Einheiten gegeben, z.B. 1 Zoll (Angloamerikanisches Maßsystem) ist 2,54 cm (S.I.). Dadurch kann man auch 1 Fuß berechnen: 1 Fuß = 12 Zoll = 30,48 cm usw. Für den Druck wird die Einheit PSI (Pound-Force pro Square Inch: „Pfund-Kraft pro Quadrat-Zoll“) benutzt. 1 Pfund-Kraft (Pound-Force) wird nicht durch anderen Einheiten und eine Formel definiert (wie z.B. ein Newton in SI System), sondern wird als die Kraft, die auf eine Masse von einem Pfund (Einheit dieses Systems für die Masse) auf der Erdoberfläche ausgeübt wird. Das ist dann ca. 4,4482N. Daher gilt:

$1PSI\approx {\frac {4,45N}{0,0254^{2}}}\approx 6894,7Pa$

Pa (Pascal) ist die SI Einheit für den Druck (also 1 Newton pro m²).

Die Einheit PSI sieht man immer noch oft heutzutage, wenn man die Reifen eines Autos pumpen will.

Noch ein Beispiel kann den Vorgang noch klarer machen:

In der imaginären Insel Atlantis messen die Leute die Masse in AM (Atlantis Masseneinheiten), die Strecke in AS (Atlantis Streckeneinheiten) und die Zeit in AZ (Atlantis Zeiteinheiten). 1 AM ist 9·10² kg, 1 Meter ist 25 AS und 1 AZ ist 12 Sekunde. Rechnen sie die Beschleunigung 4m/s² in Atlantiseinheiten (also in AS/AZ²) und die Dichte 0,007 AM/AS³ in kg/m³ um!

• Wir wollen zuerst 4m/s² in AS/AZ² umrechnen. Wir sollen also in der Angabe "4m/s²" 1m und 1s durch die entsprechenden Atlantiseinheiten ersetzen. 1m ist schon gegeben (1m=25AS). 1s ist aber nur indirekt gegeben (1AZ = 12s). Durch umformen finden wir aber leicht, dass  $1s={\frac {1}{12}}AZ$  ist. Wir können also schreiben:

$4\,m/s^{2}=4\cdot {\frac {1m}{(1s)^{2}}}=4\cdot {\frac {25AS}{({\frac {1}{12}}AZ)^{2}}}=4\cdot 25\cdot 12^{2}\cdot {\frac {AS}{AZ^{2}}}=1{,}44\cdot 10^{4}{\frac {AS}{AZ^{2}}}$

• In der gleichen Weise kann man bei der angegebenen Dichte 0,007 AM/AS³ die Atlantiseinheiten in SI Einheiten umrechnen. 1AM ist 9·10² kg (schon direkt gegeben) und   $1AS={\frac {1}{25}}m$  (durch Umformen, da 1m=25AS ist, ist dann 1AS=1:25). Wir können also schreiben:

$0{,}007\,AM/AS^{3}=0{,}007\cdot {\frac {1AM}{(1AS)^{3}}}=0{,}007\cdot {\frac {9\cdot 10^{2}kg}{({\frac {1}{25}}m)^{3}}}=0{,}007\cdot 9\cdot 25^{3}\cdot 10^{2}\cdot {\frac {kg}{m^{3}}}\approx 9{,}84\cdot 10^{4}{\frac {kg}{m^{3}}}$

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Baumdiagramm

Denken wir an das folgende mathematische Problem:

In einer Urne gibt es 5 schwarze und 4 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass: A) alle 3 Kugel rot sind? B) die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind? C) wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen? D) wir zwei rote und eine schwarz Kugel ziehen? E) das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?

Am Anfang haben wir 4 roten Kugeln und 9 insgesamt, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine rote Kugel ziehen $\textstyle {\frac {4}{9}}$. Wenn wir ein rote ziehen, dann gibt es noch 3 roten von insgesamt 8, also sie die Wahrscheinlichkeit $\textstyle {\frac {3}{8}}$. Wir können allerdings alle mögliche Ergebnisse in ein sogenanntes "Baumdiagramm" darstellen, wie im Bild links. Der einzige Pfad, wo drei rote Kugeln gezogen werden, ist der ganz links. Um die Wahrscheinlichkeit, dass drei roten Kugeln gezogen werden, zu berechnen, müssen wir das Produkt der Wahrscheinlichkeiten von jedem Schritt bilden.

Warum multiplizieren wir in diesem Fall? Wir können an ein ganz einfaches Beispiel denken. Denken wir einfach an eine Schokoladentafel. Wenn wir $\textstyle {\frac {2}{5}}\$ davon nehmen, dann haben dieses Bild: . Wenn wir von diesen $\textstyle {\frac {2}{5}}\$ $\ \textstyle {\frac {3}{7}}\$nehmen, dann haben wir ein neues Bild: . Jeder kleiner Teil in diesem neuen Bild ist $\textstyle {\frac {1}{35}}\$ der Schokolade und wir haben 6 solchen Teil. Daher haben wir die beiden Brüchen multipliziert: $\textstyle {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {3}{7}}={\frac {6}{35}}$. Genauso ist es mit der Wahrscheinlichkeit. Bei jedem Schritt nehmen wir einen Teil des neuen Teils, wir müssen daher multiplizieren. Somit ist die Antwort zur ersten Frage: $\textstyle {\frac {4}{9}}\cdot {\frac {3}{8}}\cdot {\frac {2}{7}}={\frac {1}{21}}$. Genauso können wir die Antwort zur Frage B finden: $\textstyle {\frac {5}{9}}\cdot {\frac {4}{8}}\cdot {\frac {4}{7}}={\frac {10}{63}}$

Für jeden Pfad müssen wir das Produkt der Wahrscheinlichkeit von jedem Schritt bilden. Wenn aber eine Frage durch verschiedene Pfade erfüllt wird, dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Pfade addieren. Im Beispiel mit der Schokolade können wir so denken, dass verschiedene Personen die ganze Schokolade (Wahrscheinlichkeit 1) teilen und dass wir dann die Teile von mehrere Personen zusammenrechnen wollen. Das ist der Fall in Fragen C und D. In beiden Fragen gibt es drei Pfade, die das gefragte erfüllen:

• C) ${\frac {5}{9}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{7}}+{\frac {5}{9}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}\cdot {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {4}{7}}$
  $={\frac {10}{63}}+{\frac {10}{63}}+{\frac {10}{63}}={\frac {10}{21}}$
• D) ${\frac {4}{9}}\cdot {\frac {3}{8}}\cdot {\frac {5}{7}}+{\frac {4}{9}}\cdot {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {3}{7}}+{\frac {5}{9}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{7}}$
  $={\frac {5}{42}}+{\frac {5}{42}}+{\frac {5}{42}}={\frac {5}{21}}$

Für die letzte Fragen müssen wir einfach dazu denken, dass in diesem Fall bei jedem Schritt die Wahrscheinlichkeit gleich bleibt:

• E) ${\frac {4}{9}}\cdot {\frac {4}{9}}\cdot {\frac {5}{9}}+{\frac {4}{9}}\cdot {\frac {5}{9}}\cdot {\frac {4}{9}}+{\frac {5}{9}}\cdot {\frac {4}{9}}\cdot {\frac {4}{9}}$
  $=3\cdot {\frac {80}{729}}={\frac {240}{729}}$

Satz von Bayes

Satz von Bayes konkretes Beispiel

Hier werden wir uns mit einem konkreten Beispiel beschäftigen, das mit dem Satz von Bayes nur indirekt zu tun hat. Wir werden also hier diesen Satz nicht benutzen und nicht erklären. Das Beispiel hat ein intuitiv unerwartetes Ergebnis und kann später beim Verständnis des Satzes hilfreich sein.

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%, in Südafrika hingegen ca. 20%. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist, in diesen Regionen? Bevölkerung DE Raum ca. 100 Mil., Südaf. ca 55 Mil.

Im deutschsprachigen Raum zuerst. Von 100 Millionen Menschen sind
$100000000\cdot 0{,}15\%=100000000\cdot 0{,}0015=150000\$Personen krank.
Von denen werden $150000\cdot 99{,}9\%=150000\cdot 0{,}999=149850\$als positiv
positiv diagnostiziert, die restlichen 150 als negativ.

Gesund sind die restlichen $100000000\cdot 99{,}85\%=100000000\cdot 0{,}9985=99850000\$
Personen. Von denen werden $99850000\cdot 99{,}8\%=99850000\cdot 0{,}998=99650300\$als
negativ diagnostiziert, die restlichen 199700 als positiv.

Die Schritten können wir in der folgenden Abbildung zusammengefasst sehen:

Stellen wir die Ergebnisse in einer Tabelle dar:

$\ _{Krankheit}\diagdown ^{Test}\$	Positiv	Negativ	Teilsummen
Krank	149850	150	150000
Gesund	199700	99650300	99850000
Teilsummen	$\$ 349550 $\$	$\$ 99650450 $\$	$\$ 100000000 $\$

Wenn wir die Spalte mit den positiven Ergebnissen beobachten, stellen
wir fest, dass von den 349550 positiven Tests 149850 tatsächlich krank
sind, also $149850:349550\approx 0{,}4287=42{,}87\%\$

In Südafrika hingegen sieht die Tabelle so aus:

$\ _{Krankheit}\diagdown ^{Test}\$	Positiv	Negativ	Teilsummen
Krank	10989000	11000	11000000
Gesund	88000	43912000	44000000
Teilsummen	$\$ 11077000 $\$	$\$ 43923000 $\$	$\$ 55000000 $\$

Wenn wir die Spalte mit den positiven Ergebnissen beobachten, stellen
wir fest, dass von den 11077000 positiven Tests 10989000 tatsächlich krank
sind, also $10989000:11077000\approx 0{,}9921=99{,}21\%\$

Wir können daher den Schluss ziehen, dass die Aussagekraft eines Krankheitstests
stark von der Häufigkeit der Krankheit in einer Gruppe abhängig sein kann.

Wir sehen daher, dass der Satz von Bayes zu Folgerungen führen kann, die intuitiv nicht so leicht zu verstehen sind.

Geometrische Konstruktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Geometrie der Ebene

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel ist nur im mittleren Niveau 3 behandelt.

Diagramme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Funktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 4 weitergeführt.

Lineare Gleichungssysteme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 3 an und wird im Reifeniveau 4 weitergeführt.

Trigonometrische Funktionen

Dieses Kapitel fängt im Reifeniveau 1 an und wird im Reifeniveau 4 weitergeführt.

Vektoren

Dieses Kapitel fängt erst im Reifeniveau 5 an.

Differentialrechnung

Differenzenquotient

Grenzwerte

Die Ableitung einer Funktion

Ableitung und Grenzwerten

Eine (allerdings etwas problematische) Definition der Ableitung ist über Grenzwerte:${\displaystyle }$

$\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$

Es ist möglich diese Definition zu benutzen, um die allgemeine Ableitung einer Funktion zu berechnen. Probieren wir es mit der Funktion $p_{3}(x)=a\ x^{3}$. Dafür werden wir die Formel für die 3. Potenz eines Binoms (pascalsches Dreieck), das Herausheben und das Kurzen von Bruchtermen brauchen. Für die 3. Potenz gilt:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3a\ b^{2}+b^{3}$

In unserem Fall werden wir entsprechend Folgendes brauchen:

$(x+\Delta x)^{3}=x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\ \Delta x^{2}+\Delta x^{3}$

Um $\Delta y$ zu berechnen brauchen wir zwei Stellen der Funktion $p_{3}(x)=a\ x^{3}$. Wir nennen die erste Stelle einfach $x_{1}=x$ und die zweite $x_{2}=x+\Delta x$. In diesem Fall sind:

$\Delta x=x_{2}-x_{1}=(x+\Delta x)-x=\Delta x$

$y_{1}=p_{3}(x_{1})=a\ x_{1}^{3}=a\ x^{3}\quad ({\text{da}}\ x_{1}\ {\text{gleich}}\ x\ {\text{ist}})$

$y_{2}=p_{3}(x_{2})=a\ x_{2}^{3}=a\ (x+\Delta x)^{3}=$ $a(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x\ \Delta x^{2}+\Delta x^{3})\quad ({\text{da}}\ x_{2}\ {\text{gleich}}\ x+\Delta x\ {\text{ist}})$

$\Delta y=y_{2}-y_{1}=\underbrace {a\,x^{3}+3\,a\,x^{2}\Delta x+3\,a\,x\,\Delta x^{2}+\Delta x^{3}} _{y_{2}}-\underbrace {a\,x^{3}} _{y_{1}}$ $=3\,a\,x^{2}\Delta x+3\,a\,x\,\Delta x^{2}+\Delta x^{3}=\Delta x(3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,\Delta x+\Delta x^{2})$

Wenden wir diese Sachen in der Limes-Formel an:

$p_{3}'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\overbrace {{\cancel {\Delta x}}(3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,\Delta x+\Delta x^{2})} ^{\Delta y}}{\cancel {\Delta x}}}$
$={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}3\,a\,x^{2}+3\,a\,x\,{\cancelto {0}{\Delta x}}+{\cancelto {0}{\Delta x^{2}}}=3\,a\,x^{2}\quad (=a\cdot 3\cdot x^{2})$

Das Ergebnis stimmt (selbstverständlich) mit der allgemeinen Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für n=3 überein:

$p_{n}(x)=a\ x^{n}\qquad p_{n}'(x)=a\,n\,x^{n-1}$

Integralrechnung

Was ist ein Integral

Für jede Rechnung gibt es eine Gegenrechnung, z.B. sind Division und Multiplikation Gegenrechnungen voneinander. Das Integral ist quasi (nicht aber genau) die Gegenrechnung der Ableitung. Für die Ableitung einer Funktion müssen wir die Einheit der y-Achse durch die Einheit der x-Achse dividieren. Für die Berechnung der Einheit eines Integrals müssen wir hingegen die Einheiten der Achsen multiplizieren. Wenn wir dies tun, dann berechnen wir allerdings eine Fläche. Das Beispiel aus der geradlinigen Bewegung, das wir auch in der Erklärung der Ableitung benutzt haben, wird den Zusammenhang etwas übersichtlicher machen.

Fläche in einem v-t Diagramm

Wenn wir die Fläche des schattierten Rechtecks im v-t Diagramm berechnen wollen, können wir die Formel für die Fläche eines Rechtecks benutzen: Fläche ist Länge mal Breite, A=a⋅b. Allgemein wird eine Fläche in Flächeneinheiten berechnet, z.B. in m² oder cm². Die Fläche in einem Diagramm ist allerdings, genauso wie die Steigung, etwas Besonderes. In unserem Rechteck hier, ist die Breite des Rechtecks auf der y-Achse, die hier die Geschwindigkeit darstellt. Daher sind die Einheiten der Breite beispielsweise Meter pro Sekunde (m/s). Die Länge des Rechtecks steht auf der x-Achse und sie stellt die Zeit dar. Daher sind die Einheiten der Länge beispielsweise Sekunden (s). Wenn man die Einheiten multipliziert, ergibt sich:

${\frac {m}{s}}\cdot s=m$

Die Einheit für die Fläche in diesem Diagramm ist daher doch einfach Meter m (und nicht Quadratmeter)! Meter ist die Einheit einer Strecke. Also:

Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in einem v-t Diagramm zeigt uns die zurückgelegte Strecke.

In unserem Beispiel hier, wenn die Einheit für die y-Achse m/s ist und für die x-Achse s, wären es dann 2⋅3=6 m. Das bedeutet: bei einer konstanter Geschwindigkeit von 2 m/s werden nach 3 s 6m zurückgelegt. Selbstverständlich müssen in diesem Fall die Einheiten der x und der y Achse übereinstimmen, sonst müssen wir eine der beiden umrechnen.

Allgemeiner sind die Einheiten der Fläche in irgendeinem Diagramm die Einheiten der y-Achse mal die Einheiten der x-Achse.

Im Fall einer konstanten Funktion, wie im Beispiel mit dem Rechteck, entspricht die berechnete Fläche tatsächlich der Regel für die Berechnung eines Integrals:

$f(x)=a\,x^{n}\ \rightarrow \ \int f(x)\,dx={\frac {a\cdot x^{n+1}}{n+1}}+C$

Im Fall einer konstanten Funktion ist die Hochzahl Null:

$f(x)=a=a\,x^{0}\ \rightarrow \ \int f(x)\,dx={\frac {a\cdot x^{0+1}}{0+1}}=a\,x$

Es ist allerdings so, dass ein Integral zwischen zwei Werten berechnet wird. Im Beispiel mit dem Rechteck wird die Fläche zwischen den Stellen 0 und 3. In diesem Fall entfällt die Konstante (hier C), die bei der Berechnung der Integralfunktion (auch Stammfunktion genannt) immer vorkommt. Tatsächlich:

$f(x)=2\ \rightarrow \ F(x)=\int f(x)\,dx=2x+C$

Zwischen den Stellen x=0 und x=3 gilt dann:

$F(3)-F(0)=2\cdot 3+C-(2\cdot 0+C)=6\$(m)

Bei der Berechnung eines sogenannten bestimmten Integrals entfällt die Konstante.

Wie ist es bei der Berechnung des Integrals einer linearen Funktion? Nehmen wir wieder das Beispiel eines v-t Diagramms:

v-t Diagramm bei konstanter Beschleunigung

Die Steigung (nennen wir sie hier m) in diesem Fall stellt eine Beschleunigung (a) dar: $\textstyle {\text{Steigung}}\ m:{\frac {\Delta v}{\Delta t}}=a\$(Geschwindigkeitsänderungsrate, also Beschleunigung). Der y-Achsenabschnitt ist hier $v_{1}$

$v(t)=a\,t+v_{1}$

Wie ist es jetzt nach der allgemeinen Formel mit dem Integral?

$F(t)=\int v(t)\,dt={\frac {a\,t^{2}}{2}}+v_{1}\cdot t+C$

Zwischen den Stellen 0 und t gilt dann
(nicht vergessen: $\textstyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}\$und die Zeitänderung: $\Delta t=t-0=t$):

$F(t)-F(0)={\frac {a\cdot t^{2}}{2}}+v_{1}\cdot t+C-\left({\frac {a\cdot 0^{2}}{2}}+v_{1}\cdot 0+C\right)={\dfrac {{\frac {\Delta v}{\Delta t}}\cdot \Delta t^{2}}{2}}+v_{1}\cdot t={\frac {\Delta v\cdot \Delta t}{2}}+v_{1}\cdot t$

Das ist allerdings ganz genau die Fläche unterhalb der linearen Funktion, also zwischen linearer Funktion und x-Achse und zwischen den zwei Stellen 0 und t. Das ist ja die Fläche des Dreiecks $\textstyle {\frac {\Delta v\cdot \Delta t}{2}}\$und des Rechtecks $v_{1}\cdot t$. Das Integral also entspricht einer Fläche: zwischen Funktion und x-Achse und zwischen zwei Stellen der Funktion. So können wir das Integral verstehen:

Dem Integral entspricht eine Fläche.

Wir haben uns bisher nur mit der Fläche in einem v-t Diagramm beschäftigt. Im Gegenteil zur Steigung, die als Änderungsrate fast immer einen physikalischen Sinn hat, ist das mit der Fläche zwischen Kurve und x-Achse nicht immer der Fall.

Fläche in einem a-t Diagramm

Was ist mit der Fläche in einem a-t Diagramm? Laut Definition der Fläche sollte sie a · t sein und das hat doch die Dimensionen der Geschwindigkeit. In einem v-t Diagramm ist die Einheit der Fläche das Produkt der Einheiten der Achsen. In einem v-t Diagramm ist das Produkt v·t eine Strecke. Die Fläche zeigt uns allerdings nicht eine Strecke, sondern eine Änderung der Strecke, eine Differenz, die zurückgelegte Strecke. Ähnlich ist es auch bei einem a-t Diagramm: die Fläche in einem a-t Diagramm zeigt uns die Differenz der Größe der Fläche, also die Differenz der Geschwindigkeit Δv (Geschwindigkeitsänderung), da a·t doch Geschwindigkeit darstellt.

In einem s-t Diagramm ist die Fläche, also das Produkt s · t, keine bekannte physikalische Größe. Daher macht es nicht Sinn, die Fläche in einem s-t Diagramm zu benutzen.

Allgemein ist die (physikalische) Größe der Fläche zwischen Kurve und x-Achse und zwischen zwei Werten von x das Produkt der Größen der beide Achsen. In Physik ist dieses Produkt oft keine sinnvolle physikalische Größe (wie z.B. in einem s-t Diagramm). Man benutzt die Fläche nur, wenn es sinnvoll ist.

Bild 2

Bild 3

Die ganze Fläche zeigt uns dann die Änderung dieser Größe zwischen den beiden Werten x₁ und x₂ auf der x-Achse (Geschwindigkeitsänderung zwischen t₁ und t₂ in einem a-t Diagramm, die Änderung der Strecke Δs zwischen t₁ und t₂ in einem v-t Diagramm usw.). Bisher haben wir vorwiegend Beispiele gesehen, wo der Wert für t₁ null war (am Koordinatenursprung), das ist aber in der Regel nicht so!

Die Fläche zu berechnen ist im Fall einer linearen Funktion (eine lineare Funktion ist im Koordinatensystem eine Gerade, siehe Bild 2) einfach (Summe der Fläche eines Dreiecks und eines Vierecks).

Allgemein (siehe beispielsweise Bild 3) kann man die Fläche mit Hilfe des sogenannten Integrals berechnen.

Die Integrale von Potenzfunktionen und ihre Kombinationen können wir mit Hilfe der Regel $\textstyle f(x)=a\,x^{n}\ \rightarrow \ \int f(x)\,dx={\frac {a\cdot x^{n+1}}{n+1}}+C\$berechnen. Für andere Funktionen gibt es entsprechende Formeln.

Schauen wir jetzt, wie wir das Integral etwas genauer (aber doch immer noch nicht streng) definieren können. Um eine Ableitung zu berechnen benutzt man die Idee des Grenzwertes eines Differenzquotienten:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Der Grenzwert des Differenzquotienten wird in einer Darstellung der Ableitung als sogenannter Differentialquotient dargestellt:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {d\ f(x)}{d\ x}}$

Obwohl man mit Differentialen nicht wie bei normalen Variablen arbeiten soll, stellen wir uns vor, dass das möglich wäre:

$f'(x)={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\ \left(f(x+\Delta x)-f(x)\right)}{\lim _{\Delta x\to 0}\ \Delta x}}$$={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\ \left(f(x+\Delta x)-f(x)\right)}{dx}}$$\Leftrightarrow f'(x)dx=\lim _{\Delta x\to 0}\ \left(f(x+\Delta x)-f(x)\right)$

Stellen wir uns dazu vor, dass die Gegenrechnung der Grenzwertberechnung (also der Ableitung) das Integral ist:

$\int \limits _{x}^{x+\Delta x}f'(x)dx=f(x+\Delta x)-f(x)$

Obwohl der Vorgang streng mathematisch gesehen nicht erlaubt ist, stimmt unseres Ergebnis schon: Das Integral der Ableitung einer Funktion zwischen zwei Stellen der Funktion $\textstyle \int \limits _{x}^{x+\Delta x}f'(x)dx$ ist soviel wie die Differenz der Werte der Funktion zwischen diesen Stellen $f(x+\Delta x)-f(x)$.

Dieses Integral der Ableitung der Funktion ist die Fläche unterhalb der Ableitungsfunktion zwischen diesen Stellen. Die Geschwindigkeit beispielsweise ist die Ableitung der zurückgelegten Strecke auf die Zeit, das Integral der Funktion der Geschwindigkeit (also die Fläche unterhalb des Diagramms der Geschwindigkeit) auf Zeit wird daher die zurückgelegte Strecke selber sein:

$\int \limits _{t}^{t+\Delta t}v(t)dt=s(t+\Delta t)-s(t)\leftrightarrow s'(t)=v(t)$

Das Integral einer linearen Funktion ist leicht zu berechnen, das ist die Summe eines Dreiecks und eines Rechtecks. Wie kann man das Integral für eine allgemeine Kurve berechnen. Eine Idee dafür sehen wir im Bild. Man teilt das Intervall auf der x-Achse zwischen den erwünschten Stellen in immer kleiner werdende Teile. Dadurch kann man Rechtecke aufbauen, die die ganze Fläche annähern. Je mehr und kleiner die Teile werden, desto genauer ist die Annäherung. Für verschwindenden Teile, also für den Grenzwert $\Delta x\to 0$, der nicht streng genommen das Differential $dx$ ist, wird die Fläche der Rechtecke genau soviel wie die gefragte Fläche unter der Kurve sein, das wird keine Annäherung mehr sein. So können wir uns das Integrieren vorstellen. Man kann tatsächlich auch dazu (sogar streng genommen) zeigen, dass das Integral etwas wie die "Gegenrechnung" der Ableitung ist.

Integral von Potenzfunktionen

Es gilt:

$\int (a\,x^{n})\,dx=a\,{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\quad$für $n\neq -1\quad$und

$\int a\,x^{-1}\,dx=\ln x\,+C\quad$für $n=-1\quad$

Hier werden wir uns nur damit beschäftigen, wie wir die Stammfunktion einer Funktion finden können oder anders gesagt, wie wir eine Funktion integrieren können.

Das Integrieren können wir als die Gegenrechnung der Ableitung begreifen. Das Symbol dafür ist $\int f(x)\,dx$.Für das Integrieren der Potenzfunktionen gilt die allgemeine Regel:

$p_{n}(x)=a\,x^{n}\qquad \int p_{n}(x)\,dx=a\,{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Die Hochzahl wird also um eins erhöht und es wird durch die neue (erhöhte) Hochzahl dividiert. Dazu wird ein Konstante addiert, die von der jeweiligen Aufgabe abhängig ist.

Die Hochzahl n kann irgendeine reelle Zahl sein mit einer einzigen Ausnahme: Wenn n=1 ist, gilt diese Regel nicht. Um der Sache etwas näher zu kommen, fangen wir mit den Ableitungen an. Die allgemeine Regel ist $p_{n}'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$. Wenden wir diese Regel für n={3, 2, 1, 0, −1 und −2}.

$p_{3}(x)=a\,x^{3}\qquad p_{3}'(x)=a\cdot 3\cdot x^{3-1}=2\,a\,x^{2}\$(Hochzahl in der Abl. = 2)

$p_{2}(x)=a\,x^{2}\qquad p_{2}'(x)=a\cdot 2\cdot x^{2-1}=2\,a\,x\$(Hochzahl in der Abl. = 1)

$p_{1}(x)=a\,x^{1}\qquad p_{1}'(x)=a\cdot 1\cdot x^{1-1}=a\$(Hochzahl in der Abl. = 0)

$p_{0}(x)=a\,x^{0}=a\qquad p_{0}'(x)=a\cdot 0\cdot x^{0-1}=0\$(Hochzahl in der Abl. wäre −1)

$p_{-1}(x)=a\,x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad p_{-1}'(x)=a\cdot (-1)\cdot x^{-1-1}=-a\,x^{-2}\$(Hochzahl in der Abl. = −2)

$p_{-2}(x)=a\,x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}\qquad p_{-2}'(x)=a\cdot (-2)\cdot x^{-2-1}=-a\,x^{-3}\$(Hochzahl in der Abl. = −3)

Wir sehen, dass in der Ableitung alle Hochzahlen außer −1 vorkommen. Es macht daher irgendwie "Sinn", dass in der "Gegenrechnung" diese Hochzahl "problematisch" sein wird. Das hat damit zu tun, dass in der Ableitung mit 0 multipliziert wird; und die Gegenrechnung (durch Null) ist nicht definierbar. Für das Integral von $a\,x^{-1}\$gibt es eine besondere Regel:

$\int a\,x^{-1}\,dx=\ln x\,+C$

Dadurch wird auch die "Lücke" in den Ableitungen ergänzt:

$f(x)=a\,\ln x\qquad f'(x)=a\,x^{-1}=a\,{\frac {1}{x}}={\frac {a}{x}}$

Warum müssen wir beim Integrieren immer eine Konstante (hier mit C geschrieben) schreiben? Dafür brauchen wir zuerst eine allgemeinere Regel:

Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe ihrer Ableitungen:

Sei $f(x)=g(x)+h(x)$, dann ist $f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Das Integral einer Summe von Funktionen ist die Summe ihrer Integrale:

Sei $f(x)=g(x)+h(x)$, dann ist $\int f(x)\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx$

Nehmen wir jetzt die allgemeine Regel für das Integral einer Potenzfunktion (ohne die Ausnahme):

$p_{n}(x)=a\,x^{n}\qquad \int p_{n}(x)\,dx=a\,{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Leiten wir jetzt das Ergebnis ab:

$p(x)=a\,{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad p'(x)=a\,(n+1)\,{\frac {x^{n+1-1}}{n+1}}+0=a\,x^{n}$

Wir stellen damit hier zwei Sachen fest:

• Die allgemeine Regel fürs Integrieren einer Potenzfunktion ist tatsächlich als Gegenrechnung des Ableitens zu konzipieren. Es gibt allerdings einen grundsätzlichen Unterschied zwischen den beiden Richtungen (Ableiten ↔ Integrieren), der erst später erklärt wird.
• Die Konstante beim Integrieren muss geschrieben werden, um den allgemeinen Fall abzudecken.