MathemaTriX ⋅ Theorie. Reifeniveau 4

Hoch

STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT ${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt Ein-Aus- klappen

AUFGABEN

Niveaus: Grundniveau 1 Grundniveau 2 Grundniveau 3 Mitteniveau 1 Mitteniveau 2 Mitteniveau 3 Reifeniveau 1 Reifeniveau 2 Reifeniveau 3 Reifeniveau 4 Reifeniveau 5 Reifeniveau 6 Reifeniveau 7

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Schluss und Prozentrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Exponential und Logarithmus Funktion

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Arbeiten mit Termen

Dieses Kapitel fängt im im Grundniveau 1 an und wurde im Reifeniveau 3 vervollständigt.

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Dieses Kapitel fängt im im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Einheiten

Dieses Kapitel fängt im im Grundniveau 2 an und wurde im Reifeniveau 3 vervollständigt.

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Satz von Bayes

Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Der Satz von Bayes betrifft bedingte Wahrscheinlichkeiten. In (nicht unbedingt verständlichen) Worten besagt der Satz:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Voraussetzung eines Ereignisses B ist so viel wie das Produkt der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Voraussetzung des Ereignisses A mal die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B. Die entsprechende Formel ist:

$P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}$

Nun, um diesen Satz zu verstehen, können wir ein einfaches Beispiel bringen.

In der Klasse W gibt es 15 Mädchen, davon sind 60% Blond, in einer anderen Klasse S gibt es 20 Mädchen, davon sind 35% Blond. Bei einer Party der beiden Klassen (wobei alle Mädchen da sind), spricht jemand mit einer Blondine. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der Klasse S kommt?

In der Klasse W sind 60% der 15 Mädchen blond, also 0,6·15=9 Blondinen.
In der Klasse S sind 35% der 20 Mädchen blond, also 0,35·20=7 Blondinen.
Daher sind in der Party insgesamt 9+7=16 Blondinen von insgesamt 15+20=
35 Mädchen. Lass uns die ganzen Zahlen in einer Tabelle schreiben:

$\qquad$ Klasse S Klasse W Teilsummen $\quad$Blond$\quad$ $\qquad 7\qquad$ $\qquad 9\qquad$ $16\$Blondinen insgesamt $\quad$nicht Blond$\quad$ $\qquad 13\qquad$ $\qquad 6\qquad$ $19\$nicht blond insgesamt Teilsummen $20\$Mädchen in Klasse S $15\$Mädchen in Klasse W $35\$Mädchen insgesamt Berechnen wir jetzt die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten: Mit P(S) wird hier die Wahrscheinlichkeit gezeigt, dass ein Mädchen aus der Klasse S kommt. Insgesamt gibt es 35 Mädchen, davon sind 20 aus der Klasse B, also $\textstyle \ P(S)={\frac {20}{35}}\approx 0{,}5714=57{,}14\%$. Mit P(B) wird hier die Wahrscheinlichkeit gezeigt, dass ein Mädchen blond ist. Insgesamt gibt es 35 Mädchen, davon sind 16 Blondinen, also $\textstyle \ P(B)={\frac {16}{35}}\approx 0{,}4571=45{,}71\%$. Mit P(B|S) wird hier die Wahrscheinlichkeit gezeigt, dass ein Mädchen aus der Klasse S blond ist, formeller ausgedrückt, dass ein Mädchen blond ist unter der Voraussetzung, dass sie aus der Klasse S kommt. Wie wir in der Tabelle sehen können, gibt es in der Klasse S 20 Mädchen, von denen 7 blond sind. Die Wahrscheinlichkeit also, dass unter den Mädchen aus der Klasse S eine Blond ist, ist $\textstyle \ P(B|S)={\frac {7}{20}}=0{,}35=35\%$. Mit P(S|B) wird hier die Wahrscheinlichkeit gezeigt, dass eine Blondine aus der Klasse S kommt, formeller ausgedrückt, dass ein Mädchen aus der Klasse S kommt unter der Voraussetzung, dass sie blond ist. Wie wir in der Tabelle sehen können, gibt es insgesamt 16 Blondinen, von denen 7 aus der Klasse S sind. Die Wahrscheinlichkeit also, dass unter den Blondinen eine aus der Klasse S kommt, ist $\textstyle \ P(S|B)={\frac {7}{16}}=0{,}4375=43{,}75\%$.

P(S|B) ist die gefragte Wahrscheinlichkeit. In der Party gibt es 16 Blondinen, von denen 7 aus der Klasse S kommen. Wenn jemand mit einer Blondine schon spricht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der Klasse S kommt: $\textstyle \ P(S|B)={\frac {7}{16}}=0{,}4375=43{,}75\%$. Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht die gleiche mit der Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Mädchen (blond oder nicht) aus der Klasse S kommt. Für diese Wahrscheinlichkeit brauchen wir die ganze Anzahl der Mädchen (35) und die Anzahl der Mädchen in der S Klasse (20): $\textstyle \ P(S)={\frac {20}{35}}\approx 0{,}5714=57{,}14\%$. Wir sehen also: die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen aus der Klasse S kommt, unter der Voraussetzung, dass sie Blond ist, hängt von drei Sachen ab: der allgemeine Wahrscheinlichkeit, dass sie Blond ist. der allgemeine Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der Klasse S kommt. der Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) der Blondinen in der S Klasse. Schreiben wir den Satz für diesen konkreten Fall: $P(S|B)\;=\;{\frac {P(B|S)\cdot P(S)}{P(B)}}$ Benutzen wir konkrete Zahlen, um diesen Satz zu erklären. Fangen wir mit der gefragten Wahrscheinlichkeit an: $\textstyle \ P(S|B)={\frac {7}{16}}$ Von den 16 Mädchen, die in der Party sind, sind 7 aus der Klasse S. Zähler und Nenner können wir als Bruch (beides durch 1) schreiben und wir können den Zähler mit der Anzahl der Mädchen in der S Klasse (20) erweitern. Daraus entsteht ein Doppelbruch: $\textstyle \ P(S|B)={\frac {7}{16}}={\dfrac {\ \ {\frac {7}{1}}\ \ }{\frac {16}{1}}}={\dfrac {\ \ {\frac {7\cdot 20}{1\cdot 20}}\ \ }{\frac {16}{1}}}={\dfrac {\ \ {\frac {7}{20}}\cdot 20\ \ }{\frac {16}{1}}}$ Der Bruch im Zähler ist die Wahrscheinlichkeit P(B|S), dass ein Mädchen Blond ist, wenn es aus der Klasse S kommt: von den 20 Mädchen in der Klasse S sind 7 Blond. Wir können also diesen Bruch durch P(B|S) ersetzten und den Bruch etwas mehr bearbeiten, indem wir Zähler und Nenner des Doppelbruches mit $\textstyle \ {\frac {1}{35}}\$erweitern: $\textstyle \ P(S|B)={\dfrac {\ \ {\frac {7}{20}}\cdot 20\ \ }{\frac {16}{1}}}={\dfrac {\ \ P(B|S)\cdot {\frac {20}{1}}\ \ }{\frac {16}{1}}}$ $={\dfrac {\ \ P(B|S)\cdot {\frac {20}{1}}\cdot {\frac {1}{35}}\ \ }{{\frac {16}{1}}\cdot {\frac {1}{35}}}}={\dfrac {\ \ P(B|S)\cdot {\frac {20}{35}}\ \ }{\frac {\ \ 16\ \ }{35}}}$ Der Bruch im Zähler $\textstyle \ {\frac {20}{35}}\$ist nichts anders, als die Wahrscheinlichkeit P(S), dass ein Mädchen (blond oder nicht) aus der Klasse S kommt. Es sind ja insgesamt 35 Mädchen, von denen 20 aus der Klasse S sind. Der Bruch im Zähler $\textstyle \ {\frac {16}{35}}\$ist nichts anders, als die Wahrscheinlichkeit P(B), dass ein Mädchen blond ist. Es sind ja insgesamt 35 Mädchen, von denen 16 Blond sind. Wenn wir die Brüche durch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ersetzten, kommen wir zum Satz von Bayes: $\textstyle \ P(S|B)={\frac {P(B|S)\cdot P(S)}{P(B)}}$

Im allgemeinen Fall wird das Symbol A anstatt B und B anstatt S benutzt:

Satz von Bayes

$P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Voraussetzung eines Ereignisses B ist so viel wie das Produkt der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Voraussetzung des Ereignisses A mal die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Diesen Satz können wir dann direkt in einem abstrakten Beispiel benutzten:

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%, in Südafrika hingegen ca. 20%. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist, in diesen Regionen? Bevölkerung DE Raum ca. 100 Mil., Südaf. ca 55 Mil.

Wir suchen die Wahrscheinlichkeit P(K|T⁺), dass eine Person Krank (K) ist unter der Voraussetzung, dass der Test Positiv (T⁺) ist. Nach dem Satz von Bayes brauchen wir dafür:

• Die Wahrscheinlichkeit P(T⁺|K) dass ein Test positiv ist, wenn die Person krank ist. Das ist die Sensitivität 99,9%, also 0,999.
• Die Wahrscheinlichkeit P(K) dass eine Person Krank ist. Das ist die Häufigkeit der Krankheit in der Bevölkerung, Prävalenz genannt: 0,15% also 0,0015.
• Die Wahrscheinlichkeit P(T⁺) dass ein Test allgemein in der Bevölkerung positiv ist. Das ist 0,34955 %, also 0,0034955.

$P(K|T^{+})\;=\;{\frac {P(T^{+}|K)\cdot P(K)}{P(T^{+})}}={\frac {0{,}999\cdot 0{,}0015}{0{,}0034955}}\approx 0{,}4287\ {\text{also}}\ 42{,}87\%$

Diese Wahrscheinlichkeit weicht stark von der Sensitivität ab. Intuitiv denken wir, dass wir sicher krank sind, wenn der Test positiv ist, wenn seine Sensitivität so hoch ist (hier 99,9%). Die Sensitivität zeigt allerdings nur wie viel Prozent der Kranken mit dem Test tatsächlich erwischt werden. Das ist aber etwas anderes als der Anteil der Personen mit positivem Test, die tatsächlich krank sind. Nicht nur (fast) alle Kranke werden positiv gezeigt, sondern auch einige Gesunde. Das könnte z.B. daran liegen, dass ein anderer Virus, der keine Krankheit verursacht, Ähnlichkeiten mit dem Krankheitsvirus aufweist. Daher kann der Test manchmal positiv sein, auch wenn die Person nicht krank ist und daher gibt es mehrere Positive als Kranke. Wenn die Krankheit wirklich selten vorkommt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim positiven Test krank ist, nicht unbedingt so hoch. In unserem (tatsächlichen) Beispiel ist sie weniger als 50%!

Geometrische Konstruktionen

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 3 vervollständigt.

Geometrie der Ebene

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wurde im mittleren Niveau 2 vervollständigt.

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel ist nur im mittleren Niveau 3 behandelt.

Diagramme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 5 weitergeführt.

Funktionen

Funktionserkennung in Diagramm

Diagramm erkennen

Diagramm Eigenschaften

Es gibt unendlich viele Funktionen und es macht daher keinen Sinn, sie alle einzeln zu besprechen. Hier werden wir uns nur mit einer begrenzten Anzahl von Funktionen beschäftigen: Polynomfunktionen, Wurzelfunktionen, trigonometrische Funktionen, indirekte Proportionalität, Logarithmus und Exponentialfunktion. Wir werden manche von denen paarweise vergleichen. Dadurch können wir besondere Merkmale einer Funktion erkennen, die uns zu entscheiden helfen können, ob eine Funktion durch ein bestimmtes Diagramm dargestellt wird (und umgekehrt).

Polynomfunktion höheren Grades und Sinusfunktion.

Sinusfunktion Polynom 9.Grad Polynom 3. Grad Vergleich

Links sehen wir eine Sinusfunktion und zwei Polynomfunktionen. Die Mitte der beiden Polynomfunktionen ist kaum von der Sinusfunktion zu unterscheiden. Das bedeutet nicht, dass jede Polynomfunktion wie eine Sinusfunktion aussieht, aber dass es Polynomfunktionen geben kann, die teilweise stark wie eine Sinusfunktion aussehen. In der Regel sehen allerdings Polynomfunktionen nicht so stark wie eine Sinusfunktion aus (Bilder rechts). Das Merkmal, das diese der Sinusfunktion ähnlichen Polynomfunktionen von der Sinusfunktion selber unterscheidet, ist in den Diagramm leicht erkennbar: ihre Ränder.

Polynomfunktionen, die nicht so stark wie Sinusfunktion aussehen

Wurzel und Logarithmusfunktion

Wurzelfunktion Logarithmusfunktion Vergleich A Vergleich B

Links sehen wir eine Wurzelfunktion und eine (leicht verschobene) Logarithmusfunktion. Beide Funktionen sind nur für positiven Werten von x definierbar (außer wenn sie "verschoben" sind, wie der Fall mit der Logarithmusfunktion hier ist). Wenn wir hier einen bestimmten Bereich vergleichen (Vergleich A), sind die Funktionen wieder kaum voneinander zu unterscheiden, was allerdings bei größeren Bereichen nicht der Fall ist (Vergleich B). Es gibt drei grundsätzliche Unterscheide zwischen den beiden Funktionen: Die Logarihmusfunktion wird beim steigenden x viel schneller "parallel" zur x-Achse. Anders gesagt, ihre (immer positive) Steigung setzt sich schneller herab, allerdings ohne den Wert null zu erreichen. Die Logarithmusfunktion hat eine sogenannte "Asymptote". Betrachten wir das Bild rechts und bewegen wir uns von rechts nach links. An der Stelle 4 ist der Wert der Funktion 2, an der Stelle 2 ist der Wert 1, an der Stelle 1 ist er null. Unterhalb von 1 wird er Wert negativ und zwar immer abrupter. Die Werte ganz nah zur Stelle null können wir nicht mehr sehen. Sie werden immer negativer, sie berühren aber die y-Achse nie. Die y-Achse ist in diesem Fall eine sogenannte "Asymptote". Logarithmus wird für negative Werte oder null ("nicht positive Werte") nicht definiert. Daher beschränkt sich die Funktion auf der rechten Seite der y-Achse. In den Diagrammen links ist die Funktion etwas verschoben (das geht, wenn wir verschiedene sogenannte "Parameter" ändern). Sie hat aber immer noch eine Asymptote (in diesem Fall die Gerade x=−0,12, die allerdings keine Funktion in eigenem Sinn ist). Die (quadratische) Wurzelfunktion "stoppt" bei null. Die Wurzeln mit geradem Wurzelexponent werden nur für nicht negative Werte von x definiert und ihr Wertebereich ist auch nur nicht negative Zahlen. Der Grund für das erstere liegt daran, dass es keine (beispielsweise) quadratische Wurzel einer negativen Zahl gibt (wie ${\sqrt {-3}}$). Dass die Werte der Funktion nur positiv sind, liegt an der Definition einer Funktion allgemein. Teil der Definition einer Funktion ist, dass es für jeden x-Wert genau einen y-Wert gibt. Wir wissen schon, dass die Gleichung $y^{2}=9\$zwei Lösungen hat, y= 3 und y=−3. Wegen der Definition einer Funktion allerdings kann die Funktion $y={\sqrt {x}}\$nur eine Lösung haben. Es wurde vereinbart, dass die positive Lösung gewählt wird (sonst gäbe es für x=9 zwei y-Werte, 3 und −3). Daher sieht die Wurzelfunktion wie das erste Bild oben links ("Wurzelfunktion") und nicht wie das Bild hier rechts. Das Bild hier rechts besteht aus zwei Funktionen (die auf der x-Achse gespiegelt werden): $y={\sqrt {x}}\$und $y=-{\sqrt {x}}$. Wir haben gesehen, dass die beide Funktionen (Logarithmus und Wurzelfunktion) bei einem gewissen Bereich übereinstimmen. Das bedeutet nicht, dass jede Logarithmusfunktion bei einem bestimmten Bereich mit jeder Wurzelfunktion übereinstimmt, sondern dass es eine Logarithmus und eine Wurzelfunktion geben kann, die bei einem bestimmten Intervall übereinstimmen.

Quadratische und Exponentialfunktion

quadratische Funktion Exponentialfunktionen Vergleich A Vergleich B

Links sehen wir eine quadratische und zwei exponentiellen Funktionen (beide im zweiten Diagramm). Die eine exponentielle ist fallend (von links oben nach rechts unten) und die andere steigend. Sie werden auf der y-Achse "gespiegelt". Die quadratische ist links der Achse fallend und rechts steigend. Hier sehen wir wieder, dass die von uns gewählten Funktionen bei einem bestimmten Intervall übereinstimmen (Vergleich A). Allerdings weisen sie auch erhebliche Unterschiede: Die Exponentialfunktionen sind entweder ("streng") fallend oder ("streng") steigend. Die quadratische Funktion ist links fallend und rechts steigend. Die Exponentialfunktionen weisen (wie die Logarithmusfunktion) eine Asymptote auf, allerdings ist sie in diesem Fall nicht die y-Achse (oder eine Parallele zu ihr) sondern die x-Achse. Beispielsweise wird der Wert der fallenden Exponentialfunktion immer kleiner bei steigendem x, allerdings wird sie nie null oder negativ. Das ist also der Sinn einer Asymptote. Die Asymptote einer Funktion ist eine Gerade (in irgendeine Richtung und nicht nur die x- oder y-Achse). Für diese Gerade ist es beweisbar, dass die Werte der Funktion ihr immer näher werden (aber sie nie berühren).

Indirekte Proportionalität und Exponentialfunktion

Exponentialfunktion Indirekte Proportionalität Vergleich A Vergleich B

Links sehen wir eine Exponentialfunktion und eine indirekte Proportionalität. Im zentralen Bereich um die y-Achse gibt es in diesem Fall keine Übereinstimmung (nur 2 Schnittpunkte, Vergleich A). Allerdings verlaufen weiter rechts von der y-Achse beide Funktionen fast parallel zur x-Achse. Daher geht es einfach, mit einer kleinen Verschiebung (einer Änderung von irgendeinem Parameter), dass die Funktionen in einem (sogar großen) Intervall fast übereinstimmen (Vergleich B). Hier wollen wir uns auf die Unterschiede konzentrieren. Die indirekte Proportionalität besteht aus zwei "Zweigen", rechts oben ("erstes Quadrant") und links unten ("drittes Quadrant"). Wir sehen keinen Wert für x=0. Tatsächlich hat diese Funktion keinen Wert an dieser Stelle. $\textstyle f{x}={\frac {a}{x}}\$ist nicht definierbar für x=0 (die Division durch null ist nicht definierbar). Wir sehen auch, dass links von der y-Achse die Funktion extrem negative Werte annimmt (gegen $-\infty$) und rechts extrem positive (gegen $+\infty$). Das macht schon Sinn: je kleiner der Nenner in einem Bruch, desto größer der Bruch selber. Der Bruch wird also Millionen, Milliarden usw. sein, je näher x zu null ist. Die y-Achse ist in diesem Fall eine Asymptote und zwar für beide Zweige. Das gilt für die Exponentialfunktion nicht. Die x-Achse ist eine Asymptote für beide Funktionen, für die Exponentialfunktion hier allerdings nur auf der rechten Seite. Für die indirekte Proportionalität wird die x-Achse auf der rechten Seite von oben angenähert, auf der linken Seite von unten. Es gilt, dass der Wert der Funktion nie Null wird (sonst wäre die Division durch null definierbar).

Tangens und kubische Funktion

Tangensfunktion Polynom 3. Grad Vergleich A Vergleich B

Links sehen wir eine Tangensfunktion und eine Polynomfunktion 3. Grades ("kubische Funktion"). In angezeigtem Bereich ("Intervall") sind sie kaum von einander zu unterscheiden (Vergleich A). Es gibt allerdings wieder eindeutige Unterschiede (Vergleich B): Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion, d.h. sie wird ständig wiederholt. In diesem Fall ist die Länge des wiederholten Intervalls $2\pi$. Für die Tangensfunktion gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Asymptoten, die sich im gleichen Intervall wie die Periode ($2\pi$) wiederholen. Die Gleichungen für diese Asymptoten lauten: $x=\pi \pm n\cdot 2\pi$, also $x=\dots -5\pi ,\ x=\dots -3\pi ,\ x=\dots -\pi ,\ x=\dots \pi ,\ x=\dots 3\pi ,\ x=\dots -5\pi \dots \$Diese Geraden sind allerdings keine Funktionen, da jedem bestimmten Wert von x sogar unendlich viele Werte von y entsprechen. Für die kubische Funktion gibt es keine Asymptote, auch wenn ihrer Steigung in beiden Richtungen immer abrupter wird.

Umkehrfunktionen in Diagramm erkennen

y-Achse als Spiegel

x-Achse als Spiegel

Indirekte Proportionalität

Im Bild "y-Achse als Spiegel" ist zu erkennen, dass jeder der beiden dargestellten Funktionen das Spiegelbild der anderen auf der y-Achse ist. Die (blaue) Funktion f ist steigend, die (rote) Funktion g ist fallend und ihre Punkte entsprechen genau einander, wenn wir an der y-Achse als Spiegel denken. Beispielsweise entspricht der Punkt (1|2) der Funktion g dem Punkt (−1|2) der Funktion f. Der y-Wert ist genau der gleiche, der Betrag der x-Werte auch und nur das Vorzeichen der x-Werte ist anders. Wenn wir eine Spiegelung auf der y-Achse haben können wir daher schreiben:

$f(x)=g(-x)$

Die Werte der Funktionen sind gleich für die Gegenstellen.

Im Bild "x-Achse als Spiegel" können wir eine ähnliche Situation erkennen, nun jetzt mit der x-Achse als Spiegel. Die Kurve kann nach der Definition der Funktion nicht eine einzige Funktion darstellen, das es (mit der Ausnahme der Stelle 0) jeder Stelle zwei Werte entsprechen (eine oberhalb und einer unterhalb der x-Achse). Wir haben daher zwei Funktionen, die auf der x-Achse gespiegelt werden. Dem Punkt (4|2) der Funktion oben entspricht Beispielsweise der Punkt (4|−2) der Funktion unten. Wenn wir eine Spiegelung auf der x-Achse haben können wir daher schreiben:

$f(x)=-g(x)$

An jeder Stelle hat eine Funktion den Gegenwert der anderen.

Im Bild "Indirekte Proportionalität" können wir zwei Funktionen sehen, die beide eine indirekte Proportionalität darstellen. Jede Funktion ist ihr eigener Spiegel und zwar auf zwei Achsen. Diese Achsen sind auch im Bild dargestellt und sie entsprechen den Funktionen y=x (steigende Diagonale) und y=−x (fallende Diagonale). Wenn wir beispielsweise die (rote) Funktion $\textstyle {\frac {2}{x}}\$beobachten, stellen wir fest, dass der Punkt (2|1) auf der Diagonale y=x gespiegelt wird und dem Punkt (1|2) entspricht. Man sagt in diesem Fall, dass die indirekte Proportionalität ihre eigene Umkehrfunktion ist.

Wenn eine Funktion die Spiegelung einer anderen Funktion über die Achse y=x ist, dann ist sie ihre Umkehrfunktion. Das Umgekehrte gilt auch: Umkehrfunktionen werden auf der Diagonale y=x gespiegelt. Umkehrfunktionen werden oft mit Hochzahl −1 dargestellt. Beispielsweise wird die Umkehrfunktion von $f(x)$ mit $f^{-1}(x)\$dargestellt. Für die Umkehrfunktionen allgemeiner gilt:

Wenn $f(a)=b\$dann $f^{-1}(b)=a$

Um die Umkehrfunktion zu finden, müssen wir auf die unabhängige Variable umformen. Um die Umkehrfunktion darzustellen, müssen wir die Funktion auf der Diagonale y=x spiegeln. In den folgenden Bildern sehen wir jeweils ein Paar von Umkehrfunktionen:

• 
• 
• 
• 

Quadrat und Wurzel

Umkehrung mit drei Zweigen

In vielen Fällen kommt es vor, dass die Umkehrfunktion einer Funktion aus mehreren Teilefunktionen besteht, da sie sonst keine Funktion mehr ist. Das gilt z.B. für die zwei Funktionen um die x-Achse im Bild "Quadrat und Wurzel", die wir auch am Anfang dieses Teils gesehen haben. Sie sind die Funktionen $y={\sqrt {x}}\$und $y=-{\sqrt {x}}$. Zusammen sind sie die Umkehrung der Funktion $y=x^{2}$, die im Bild auch zu sehen ist. Man sagt daher, dass die Umkehrung der Funktion $y=x^{2}\$aus zwei "Zweige" besteht, die Funktion $y={\sqrt {x}}\$ und die Funktion $y=-{\sqrt {x}}$. Im Bild "Umkehrung mit drei Zweigen" sehen wir ein ähnliches Beispiel (für eine kubische Funktion und die entsprechende Umkehrung, die einer kubischen Wurzel entspricht und aus drei Zweigen besteht).

Die Darstellung mit mehreren Zweigen macht allerdings nicht immer Sinn. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen beständen in diesem Fall aus unendlich vielen Zweigen. In den folgenden Bildern sehen wir die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens. Der Definitionsbereich für Sinus und Kosinus beschränkt sich auf das Intervall $[-1,\ 1]$, der Wertebereich auf das Intervall $\textstyle [-{\frac {\pi }{2}},\ {\frac {\pi }{2}}]\$bzw. $[0,\ \pi ]$.

• 
  sin und arcsin
• 
  cos und arccos
• 
  arctan

Funktionserkennung in Text

Bei den Textaufgaben ist das Verständnis sowohl der deutschen als auch der mathematischen Sprache notwendig. Wenn es um die Erkennung einer Funktionsart geht, gibt es bestimmte Merkmale im Text, die den entscheidenden Unterschied ausmachen. Als allgemeine Regel gilt allerdings: Wir müssen immer auf die Übereinstimmung der Einheiten aufpassen.

Lineare und Exponentialfunktion

Vergleichen wir zunächst einmal folgende Texte:

1. Ein 40 cm hoher Baum wächst jedes Jahr um 30 cm.
2. Ein 40 cm hoher Baum wächst jedes Jahr um 30%.
3. Die Höhe eines 40 cm hohen Baum wird jedes Jahr das 1,3-fache des vorherigen Jahrs.
4. Ein 40 cm hoher Baum wächst jedes Jahr um 130%.
5. Ein 40 cm hoher Baum wächst jedes Jahr 12 cm.

Es gibt einen entscheidenden Unterschied in den Texten.

• Im ersten und fünften Text wird die Änderung in Einheiten gegeben. Es gibt bei der Änderung keinen Vergleich zum Anfangswert. In diesem Fall haben wir eine lineare Funktion. Jede Änderung der unabhängigen Variablen (hier der Zeit) um eine Einheit, bewirkt die Änderung der abhängigen Variable um immer die gleichen Anzahl ihrer Einheiten. Im ersten Beispiel: Jedes Jahr (eine Einheit der unabhängigen Variable), wird die Höhe (abhängige Variable) genau 30 cm ändern. Diese Änderungsrate (30 cm/Jahr) wird die Steigung der Funktion sein und bleibt vom Jahr zum Jahr gleich. Der Wert am Anfang wird der y-Achsenabschnitt sein.
• Im zweiten, dritten und vierten Text wird die Änderung als Anteil angegeben ("Prozent", "-fach"). Die Änderung in Einheiten bleibt daher vom Jahr zum Jahr nicht die gleiche. Der Anfangswert für den Vergleich wird jedes Jahr ein neuer Wert sein. Beispielsweise sind 30% von 40 cm 12 cm. Der Baum wird daher nach einem Jahr 52 cm sein. Am nächsten Jahr wird er wieder 30% wachsen, das sind aber nicht mehr 12 cm sondern 30% von 52 cm, also 15,6 cm. Der Baum wächst jedes Jahr nicht um den gleichen Wert sondern um den gleichen Anteil. Es gibt keine feste Steigung, wir haben daher sicherlich keine lineare Funktion. In diesem Fall geht es um eine Exponentialfunktion.

Vertiefen wir jetzt etwas mehr in den Eigenschaften dieser beiden Funktionen.

• Bei der linearen Funktion ist die Steigung s durch eine Änderungsrate angegeben. Wenn sie positiv ist, ist die Funktion steigend, wenn negativ fallend. Wenn noch eine Zahl in der Textaufgabe angegeben ist, sollte sie der Wert am Anfang sein, also der y-Achsenabschnitt A_y. Selbstverständlich müssen wir darauf aufpassen, dass die Einheiten übereinstimmen. Die Funktion ist dann:
  $\quad f(x)=s\,x+A_{y}$
  In unserem Beispiel:
  $\quad f(x)=30\,x+40$
• Bei der Exponentialfunktion ist die Sache teilweise etwas komplizierter. Das einfachste ist der y-Achsenabschnitt A_y. Er ist so viel wie der Anfangswert, genauso wie bei der linearen Funktion. In der Exponentialfunktion wird er allerdings addiert, sondern mit der Potenzzahl multipliziert. Die Hochzahl wird die unabhängige Variable sein. Die Basis der Potenz müssen wir erst berechnen. Sie ist der Wachstumsanteil W_A(als Zahl und nicht als Prozent) um 1 erhöht. In unserem Beispiel ist der Jahreswachstum 30% also 0,3. 0,3 um 1 erhöht ist 1,3. Diese Zahl wird die Basis sein:
  $\quad f(x)=A_{y}\ (W_{A}+1)^{x}$
  In unserem Beispiel:
  $\quad f(x)=40\cdot (0{,}3+1)^{x}=40\cdot 1{,}3^{x}$
  Ob die Exponentialfunktion steigend oder fallend ist, hängt sowohl vom Vorzeichen des Anfangswert als auch von der Basis der Potenz ab:
  • Wenn der Anfangswert positiv ist, ist die Darstellung der Funktion im ganzen Diagramm oberhalb der x-Acshe.
    • Ist die Basis mehr als 1, dann ist die Funktion steigend, mit Basis weniger als 1 ist sie fallend.
    • Ist die Basis weniger als 1, dann ist die Funktion fallend, mit Basis mehr als 1 ist sie steigend.
  • Wenn der Anfangswert negativ ist, ist die Darstellung der Funktion im ganzen Diagramm unterhalb der x-Acshe.
    • Ist die Basis mehr als 1, dann ist die Funktion fallend, mit Basis weniger als 1 ist sie steigend.
    • Ist die Basis weniger als 1, dann ist die Funktion steigend, mit Basis mehr als 1 ist sie fallend.
  • Trivialfall: Basis 1, dann ist ja die Funktion eine Konstante...

Noch drei Sachen:

• Im fünften Text ist das Wachstum das erste Jahr 30%. Der Baum wächst das erste Jahr 12 cm und 12 cm sind 30% von 40%. Das zweite Jahr ist allerdings das Wachstum in Prozent doch weniger. Der Baum ist jetzt 52 cm und wächst wieder 12 cm, was ca. 23% ist!
• Im vierten Text ist das Wachstum 130%, also 1,3. Das wird NICHT die Basis der Potenz in der Exponentialfunktion sein. Diese Zahl müssen wir erst um 1 erhöhen. Die Basis wird daher in diesem Fall 2,3 sein.
• Die Funktion im zweiten und dritten Text ist genau die gleiche Exponentialfunktion: $\quad f(x)=40\cdot 1{,}3^{x}$. Wenn der Wert jedes nächste das 1,3-fache des vorherigen Jahres ist, dann ist 0,3 (also 30%) mehr. Wenn die Aufgabe mit einem Vielfachen ausgedrückt wird, ist die Basis dieses Vielfache.

Periodische Funktionen und Polynomfunktionen

Wie der Name schon andeutet, sind periodische Funktionen Funktionen die sich wiederholen. Es gibt viele verschiedene periodische Funktionen, hier werden wir uns mit den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens beschäftigen. Die allgemeine Formel für die Sinusfunktion ist:

$\ y=A_{0}\,\sin \left(\omega \,x\right)\quad$

$A_{0}\$ist die maximale Ablenkung, Amplitude genannt. $\omega \$ist die sogenannte Winkelfrequenz. Die wird mit Hilfe der Periode T berechnet:

$\omega ={\frac {1}{2\pi \,T}}$

Daher können wir die Formel auch in Bezug auf die Periode schreiben:

$\ \ y=A_{0}\sin {\frac {x}{2\pi \,T}}\quad$

Die Formeln für Kosinus und Sinus entsprechen der Formel für Sinus:

$\ \ y=A_{0}\cos {\frac {x}{2\pi \,T}}\quad$

$\ \ y=A_{0}\tan {\frac {x}{2\pi \,T}}\quad (x\neq {\frac {\pi }{2}}+2n\pi ,n\in \mathbb {N} )$

Teile einer Polynomfunktion können auch wie eine Sinusfunktion aussehen. Bei Textaufgaben ist es allerdings leicht zu erkennen, wann eine trigonometrische Funktion vorkommt. Das Wort Wiederholung oder Periode oder was ähnliches wird vorkommen. Von den Polynomfunktionen kommt die lineare Funktion oft vor, sie ist allerdings sehr leicht im Text von einer periodische Funktion zu erkennen. Die Polynomfunktionen von einem höheren Grad kommen in allen Wissenschaften oft vor. Sie werden in der Regel explizit erwähnt, entweder in der Angabe oder durch eine Formel.

Indirekte Proportionalität

Die indirekte Proportionalität kommt in der Wissenschaft oft in Formeln der Form $\textstyle a={\frac {b}{c}}$. In dieser Formel besteht eine indirekte Proportionalität zwischen a und c. Zwischen a und b wie auch zwischen b und c besteht eine direkte Proportionalität. Hier sind ein paar Beispiele aus der Physik:

• Dichte: $\rho ={\frac {m}{V}}$
  $\qquad$m steht für die Masse und V fürs Volumen. Bei gleicher Masse ist die Dichte desto kleiner, je größer das Volumen ist. Wenn 1 kg Wasser und 1 kg Eisen verglichen werden, wird das Wasser viel mehr Volumen haben, also eine kleine Dichte.
• Druck: $p={\frac {F}{A}}$
  $\qquad$F steht für die Kraft, A für die Fläche. Bei gleicher Kraft ist der Druck desto kleiner, je größer die Fläche ist. Wenn wir einen Nagel mit dem Kopf an die Wand einschlagen, wird er kaum oder gar nicht eindringen.
• Geschwindigkeit: $v={\frac {s}{t}}$
  $\qquad$s steht für die zurückgelegte Strecke, t für die Zeit. Bei gleicher Strecke ist die Geschwindigkeit desto kleiner, je größer die Zeit ist. Wenn wir mehr Zeit brauchen, sind wir langsamer.
• Stromstärke: $I={\frac {U}{R}}$
  $\qquad$U steht für die Spannung, R für den Widerstand. Bei gleicher Spannung ist die Stromstärke desto kleiner, je größer der Widerstand ist. Der elektrische Widerstand wirkt ja gegen den elektrischen Strom.

Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie wird nur für x>0 definiert. Ihre Wertebereich ist allerdings die ganzen reellen Zahlen. Logarithmus wird bei der Einheiten von verschiedenen Größen benutzt, die sich exponentiell ändern. Solche logarithmische Skalas sind z.B. die "Lautstärke" (logarithmische Einheit: Dezibel, dB), der saure oder basische Charakter einer wässrigen Lösung (logarithmische Größe: pH-Wert), die stärke eines Erdbebens (logarithmische Richterskala), die Helligkeit von Sternen usw.. In der Regel wird es explizit erwähnt, dass es gerade um eine logarithmische Größe geht.

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme mehrerer Variablen

Das gaußsche Eliminationsverfahren

Als linear wird eine Gleichung bezeichnet, wenn alle in ihr vorkommenden Variablen nur mit der Hochzahl 1 vorkommen. Beispielsweise ist $x+4d-m=9\$eine lineare Gleichung, da alle Variablen (x, d und m) ohne Hochzahl, also mit der Hochzahl 1 vorkommen. Die Gleichung $x+4d^{2}-m+{\sqrt {c}}=9\$ist linear, was die Variablen x und m betrifft, nicht aber was die Variablen d und c betrifft. Die Gleichung $x^{3}-1=8\$ist nicht linear.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Variablen. Eine, eindeutige Lösung für so ein System, gibt es, wenn es möglich ist, jede Variable durch jeweils eins Zahl zu ersetzen, so dass alle Gleichungen stimmen. In der Regel wird es in den Aufgaben so viele Gleichungen wie Variablen geben, das muss aber nicht sein. Betrachten wir zunächst einmal ein Beispiel mit 2 Variablen und 2 Gleichungen:

$\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|$

Es gibt zumindest 4 Wege, dieses System zu lösen: graphisch (was ohne Computer ungenau ist) und mit dem Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren.

• Graphisch

Beide lineare Funktionen mit Hilfe von jeweils 2 Punkten abzeichnen:

Funktion A Funktion B Funktion A und B

Der Schnittpunkt L:(2|6) der beiden Geraden ist die Lösung

• Mit dem Gleichsetzungsverfahren

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}(-x)\\{-3x\ {\text{und}}\ :5}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}y=8-x\\y={\frac {36-3x}{5}}\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}{\text{gleichsetzten}}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}{\frac {36-3x}{5}}=8-x\ \rightarrow \\x=2\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}{\text{auch}}\ y\\{\text{berechnen}}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}y=8-x\\y=6\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}(x=2)\\\end{array}}$

• Mit dem Einsetzungsverfahren

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}-y\\{}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x=8-y\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}\\{\text{x einsetzten}}\end{array}}\Rightarrow$

$\left|\ {\begin{matrix}x=8-y\\3(8-y)+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}\\{\text{lösen}}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x=8-y\\y=6\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}y\ {\text{ersetzen}}\\\end{array}}\Rightarrow \left|\ {\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}}\ \right|$

• Mit dem Additionsverfahren

$\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\3x+5y=36\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}{}\\{II\,-3\,I}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\2y=12\end{matrix}}\ \right|{\begin{array}{l}y\ {\text{einsetzten}}\\{}\end{array}}\Rightarrow$ $\left|\ {\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}}\ \right|$

Wenn am Anfang neben der zweiten Gleichung $-3\,I\$geschrieben wird, ist damit gemeint, das von jeder Seite in der zweiten Gleichung 3 mal die entsprechende Seite der ersten Gleichung subtrahiert wird. Dadurch wird in der zweiten Gleichung die x Variable wegfallen ($3x-3x=0$).

Das Gleichsetzungsverfahren benutzen wir oft, wenn wir die Schnittpunkte zweier Funktionen finden wollen (also die Lösung des entsprechenden oft nicht linearen Gleichungssystems). Des Ersetzungsverfahren wird oft in Physik und anderen Wissenschaften benutzt, wenn mehrere Formel nacheinander benutzt werden müssen. Für die Lösung allerdings von linearen Gleichungssystemen mit 3 oder mehreren Variablen wird fast ausschließlich ein das gaußsche Verfahren benutzt, das dem Additionsverfahren sehr ähnelt. Nehmen wir folgendes Beispiel eines LGS mit 3 Variablen und 3 Gleichungen:

${\begin{matrix}9a+&3b+&c&=5\\2{,}25a+&1{,}5b+&c&=4{,}5\\4a+&2b&&=0\end{matrix}}$

Es ist übersichtlicher, nur die Koeffizienten der Variablen a, b und c in einer sogenannten "Matrix" zu schreiben. Jede Spalte der Matrix entspricht einer Variable: in der ersten Spalte sind die Koeffizienten von a, in der zweiten von b und in der dritten von c. Separat in einer Spalte rechts werden die rechten Seiten der Gleichungen geschrieben (die keine Koeffizienten sind).

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]$

Die Matrix kann mit elektronischen Hilfsmitteln
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden.
Ziel des Verfahrens ist, durch Addition und Subtraktion
von Vielfachen der verschiedenen Zeilen folgende
("diagonale") Form der Matrix zu erreichen:

$\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {L_{a}}\\\textstyle {L_{b}}\\\textstyle {L_{c}}\end{matrix}}\right.\right]$

Die erste Spalte ist für die Variable a, die zweite für
die Variable b und die dritte für die Variable c. Als
lineares Gleichungssystem wird daher die letzte
Matrize wie im Folgenden dargestellt:

${\begin{matrix}1a+&{\cancelto {0}{\ 0b\ }}+&{\cancelto {0}{\ 0c\ }}&={L_{a}}\\{\cancelto {0}{\ 0a\ }}+&1b+&{\cancelto {0}{\ 0c\ }}&={L_{b}}\\{\cancelto {0}{\ 0a\ }}+&{\cancelto {0}{\ 0b\ }}&1c&={L_{c}}\end{matrix}}$

was gleichbedeutend ist, wie:

${\begin{matrix}a&={L_{a}}\\b&={L_{b}}\\c&={L_{c}}\end{matrix}}$

Das bedeutet wiederum, dass wir die Lösung $\{L_{1},\ L_{2},\ L_{3}\}$
des LGS in der diagonalen Matrize sofort ablesen können.
Schauen wir den ganzen Prozess mit Hilfe des Beispiels. Bei
jedem Schritt soll noch eine Koeffizient null werden, bis wir
die Diagonale Form erreichen.

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\I-II\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$ Hier werden wir in der zweiten Zeile die Gleichung der ersten Zeile minus die Gleichung der zweiten berechnen. Die linken Seiten: ${\begin{smallmatrix}9a&+3b&+1c\\2{,}25a&+1{,}5b&+1c\end{smallmatrix}}\rightarrow$ $(9a+3b+1c)-(2{,}25a+1{,}5b+1c)$ $=6{,}75a+1{,}5b$ und die rechten Seiten: ${\begin{smallmatrix}5\\4{,}5\end{smallmatrix}}\rightarrow 5-4{,}5=0{,}5$ Daher bleibt dann in der zweiten Zeile: $6{,}75a+1{,}5b=0{,}5$ und ohne Variablen: $6{,}75\quad 1{,}5\quad 0\quad |0{,}5$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\{4\,II-3\,III}\end{matrix}}$ Hier wenden wir den gleichen Prozess an der dritten Zeile an. Aus dem Vierfachen der zweiten Zeile subtrahieren wir das Dreifache der dritten.

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\15&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\2\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\II\,-0{,}45\,III\\:15\qquad \qquad \end{matrix}}$ In der zweiten Zeile subtrahieren wir jetzt das 0,45-fache der dritten usw.

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\0&1{,}5&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\-0{,}4\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}-2\,II-9\,III\\:1{,}5\qquad \qquad \\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {\frac {23}{5}}\\\textstyle {-{\frac {4}{15}}}\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]$

Wir haben vereinbart, dass die dritte Spalte die c-Koeffizienten beinhaltet. Die erste Zeile in der letzten Matrize zeigt uns dann:

$\textstyle 0a+0b+1c={\frac {23}{5}}\ {\text{also}}\ c={\frac {23}{5}}$

Entsprechend für die zweite und dritte Spalte:

$\textstyle 0a+1b+0c={-{\frac {4}{15}}}\ {\text{also}}\ b=-{\frac {4}{15}}$

$\textstyle 1a+0b+0c={\frac {2}{15}}\ {\text{also}}\ a={\frac {2}{15}}$

Somit haben wir eine eindeutige Lösung für dieses LGS gefunden. Wenn wir die Lösungen für a, b und c in den Anfangsgleichungen einsetzen, werden alle drei Gleichungen stimmen. Wenn wir andere Zahlen dafür benutzen, werden die drei Gleichungen nicht mehr (gleichzeitig) stimmen.

Dieses Verfahren ist das einfachste, wenn wir ein LGS mit 3 oder mehreren Variablen lösen wollen, daher wird es auch bei mehreren Variablen benutzt.

Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

In der Regel werden die gefragten Sachen in den Textaufgaben in Mathematik mit irgendwelchem Symbol, irgendwelcher Variable dargestellt. Die Variablen werden so viele sein, wie die gefragten Sachen. Für jede gefragte Sache schreiben wir also eine Variable. Danach versuchen wir, das, was über jede Variable in der Angabe gesagt wird, in die mathematische Sprache zu "übersetzen". Genauso ist es auch bei den linearen Gleichungssystemen. Nehmen wir ein Beispiel:

Eine Bootverleihfirma hat insgesamt 43 Boote, manche Tretboote (maximal 5 Personen, Preis 8€/h), manche Ruderboote (maximal 3 Personen, Preis 7€/h) und Kanus (maximal 2 Personen, Preis 4€/h). Insgesamt kann die Firma höchstens 159 Personen bedienen, in so einem Fall sind die Einnahmen 271€/h. Wie viele Boote jeder Art hat die Firma?

Hier sind drei Sachen gefragt: die Anzahl der Tretboote, die Anzahl der Ruderboote und die Anzahl der Kanus. Schreiben wir t für die Anzahl der Tretboote, r für die Ruderboote und k für die Kanus (selbstverständlich können wir auch andere Symbole benutzen, z.B. a, b und c usw.). Versuchen wir jetzt die Angabe in die mathematische Sprache zu "übersetzten".

• Nach Angabe sind alle Boote zusammen 43. Wenn wir die Boote zusammenrechnen (addieren) wird daher das Ergebnis 43 sein. Wir müssen also die Symbole für die Anzahl der verschiedenen Bootarten addieren:
  $t+r+k=43$

• Allerdings kann die Firma höchstens 159 Personen bedienen. Wenn alle Tretboote (t) unterwegs sind, dann sind in diesen Booten 5t Personen, für die Ruderboote sind es 3r Personen und für die Kanus 2k Personen. Allesamt gilt daher für die Personen, die die Firma höchstens bedienen kann:
  $5t+3r+2k=159$

• Die Firma verdient 8 €/h für jedes der t Tretboote, also für alle zusammen 8·t €/h. Entsprechend sind die Einnahmen pro Stunde für die Ruderboote 7r € und für die Kanus 4k €. Daher gilt für die maximalen Einnahmen der Firma (pro Stunde), die laut Angabe 271 € sind:
  $8t+7r+4k=271$

Schreiben wir die drei Gleichungen, die wir durch die "Übersetzung" des Textes erzeugt haben, als ein Gleichungssystem auf:

${\begin{array}{rcrcrcll}t&+&r&+&k&=&43\ &{\text{Boote insgesamt}}\\5\ t&+&3\ r&+&2\ k&=&159\ &{\text{Personen höchstens}}\\8\ t&+&7\ r&+&4\ k&=&271\ &\mathrm {\euro} \ {\text{höchstens pro Stunde}}\end{array}}$

Dieses LGS können wir mit Hilfe eines elektronischen Mittels lösen. Wenn keines vorhanden ist, dann können wir am einfachsten das gaußsche Eliminationsverfahren benutzten:

$\left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\5&3&2&159\\8&7&4&271\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\\II\,-2\,I\\{III\,-2\,II}\\\end{array}}\quad \rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\3&1&0&73\\-2&1&0&-47\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\\\\III-II\\\end{array}}\quad \rightarrow$

$\left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\3&1&0&73\\-5&0&0&-120\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\\II+\textstyle {\frac {3}{5}}\,III\\III\,:(-5)\\\end{array}}\quad \rightarrow \left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\0&1&0&1\\1&0&0&24\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }-I-II\\\\\\\end{array}}\rightarrow$

$\qquad \left({\begin{array}{c c c | c}0&0&1&18\\0&1&0&1\\1&0&0&24\\\end{array}}\right)\qquad$

Die dritte Spalte ist die Anzahl $k$ der Kanus, die zweite die Anzahl $r$ der Ruderboote und die erste die Anzahl $t$ der Tretboote.

Es gibt daher 24 Tretboote, 1 Ruderboot und 18 Kanus.

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Trigonometrische Funktionen

Einheitskreis

Radiant

Für jede physikalische Größe gibt es mehrere Einheiten. Für die Länge gibt es beispielsweise die Einheiten Meter, Dezimeter, Zoll, Meile usw.. Die Einheiten gehören zu einem sogenannten Einheitensystem oder metrischen System. Manche Einheiten, wie beispielsweise das Zentimeter oder die Sekunde gehören zu mehreren solchen Systemen.

Für die Messung einer Drehbewegung verwenden wir in der Regel den Winkelgrad. Ein Grad ist $\textstyle {\frac {1}{360}}\$einer ganzen Drehung. Eine ganze Drehung ist damit 360°. Bei Rechnungen in der höheren Mathematik und in der Physik hat sich allerdings gezeigt, dass eine andere Einheit notwendig ist, der Radiant (rad). Eine ganze Drehung ist $2\pi \$rad. Mit Schlussrechnung können wir daher sehr einfach zwischen den beiden Einheiten umrechnen:

${\begin{matrix}2\pi \ {\text{rad}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}360^{\circ }\\:\uparrow \\60^{\circ }\end{matrix}}\quad x=\textstyle {\frac {\pi }{3}}\ {\text{rad}}\qquad \qquad \qquad {\begin{matrix}360^{\circ }\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}2\pi \ {\text{rad}}\\:\uparrow \\\pi \ {\text{rad}}\end{matrix}}\quad x=\textstyle 180^{\circ }$

Einheitskreis wichtige Punkte

Der Einheitskreis wird durch die beiden Achsen des Koordinatensystems in vier gleichen Teilen geteilt. Diese Teile werden Quadrante genannt und werden in einer ähnlichen Weise wie der Winkel in diesem Kreis definiert (Gegenuhrzeigersinn, Aufzählungsanfang oben rechts), d.h. der Teil oben rechts (zwischen 0° und 90°) wird erstes, oben links (zwischen 90° und 180°) zweites, unten links (zwischen 180° und 270°) drittes und unten rechts (zwischen 270° und 360° bzw. wieder 0°) viertes Quadrant genannt.

Im Einheitskreis wird der Sinus auf der y-Achse dargestellt. Tatsächlich ist zumindest im ersten Quadrant die Länge der Gegenkathete des Winkels so viel wie die y-Koordinate des entsprechenden Punktes auf dem Einheitskreis. Das gilt für alle Quadrante, allerdings nur für den Betrag der y-Koordinate (die unterhalb der x-Achse doch negativ ist). Das bedeutet:

Der Sinus ist im ersten und zweiten Quadrant positiv, im dritten und vierten negativ.

Entsprechend liegt die Ankathete des Winkels auf der x-Achse, die links von der y-Achse ihre negativen Werte hat. Daher gilt:

Der Kosinus ist im ersten und vierten Quadrant positiv und im zweiten und dritten negativ.

Da der Tangens auch als das Verhältnis von Sinus durch Kosinus definiert kann, ist es leicht auch sein Vorzeichen in den verschiedenen Quadranten zu finden. Im ersten Quadrant sind Sinus und Kosinus positiv, also auch der Tangens, im zweiten ist Sinus positiv und Kosinus negativ, daher ist dort der Tangens negativ ("Plus durch minus ist minus"). Es gilt daher:

Der Tangens ist im ersten und dritten Quadrant positiv und im zweiten und vierten negativ.

Am Einheitskreis gibt es einige besondere Punkte, wie wir im letzten Bild links sehen können. Bei 0 rad (und 0°) ist die y-Koordinate, also Sinus, gleich null und die x-Koordinate, also der Kosinus, so viel wie der Radius, also 1. Bei $\textstyle {\frac {\pi }{2}}\$rad (90°) ist Kosinus null und Sinus 1. Bei $\pi \$rad (180°) ist Kosinus −1 und Sinus wieder null, bei $\textstyle {\frac {3\,\pi }{2}}\$rad (270°) ist wiederum Kosinus null und Sinus −1.

Von der Natur der Definition von Sinus und Kosinus im Einheitskreis wird sichtbar, dass Sinus und Kosinus Werte im Intervall zwischen −1 und 1 annehmen.

Sinus und Kosinus nehmen Werte im Intervall zwischen −1 und 1 an.

Es gibt keinen Winkel (im Bereich der reellen Zahlen) der Sinus oder Kosinus mehr als 1 oder weniger als −1 hat. Das gilt allerdings nicht für den Tangens, der jeden Wert annehmen kann. Beispielsweise, wenn der Winkel nah zu $\textstyle {\frac {\pi }{2}}\$rad (90°) ist, dann nimmt Sinus Werte immer näher zu 1 und Kosinus immer näher zu null an. Daher nimmt Tangens Werte gegen Unendlichkeit an. Bei $\textstyle {\frac {\pi }{2}}\$rad ist allerdings der Tangens nicht mehr definierbar, da Kosinus (der Nenner) null ist.

Ein weiterer interessanter Winkel ist $\textstyle {\frac {\pi }{4}}\$rad (45°). In diesem Fall hat das rechtwinkelige Dreiecke zwei gleichen Winkel, es ist also gleichschenklich. Der Sinus ist in diesem Fall so viel wie der Kosinus $(\textstyle ={\frac {\sqrt {2}}{2}})$ und lässt sich einfach mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Bei $\textstyle {\frac {\pi }{6}}\$rad (30°) haben wir die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks, die Gegenkathete ist daher die Hälfte der Hypotenuse und der Sinus daher $\textstyle ={\frac {1}{2}}$, so viel wie der Kosinus des Komplementwinkels $\textstyle {\frac {\pi }{3}}\$rad (60°). Der Kosinus von $\textstyle {\frac {\pi }{6}}\$rad (30°) (und der Sinus von $\textstyle {\frac {\pi }{3}}\$rad also von 60°) lässt sich dann leicht mit Hilfe des Pythagorassatzes für Trigonometrie $(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1)$:
$\textstyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.
Mit Hilfe des Einheitskreises und Beachtung des Vorzeichens lassen sich dadurch die trigonometrische Zahlen der entsprechenden Winkel in den anderen Quadranten berechnen, also auch die entsprechenden Tangens.

Vektoren

Dieses Kapitel fängt erst im Reifeniveau 5 an.

Differentialrechnung

Ableitungen von weiteren Funktionen

Die Ableitung einer gewissen Funktion können wir mit Hilfe ihrer "Definition" als Grenzwert $\textstyle \ f'(x)={\underset {\Delta x\to 0}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$bestimmen. Für Potenzfunktionen $f(x)=a\,x^{n}\ (n\in \mathbb {N} )\$ können wir das mit Hilfe des pascalschen Dreiecks machen. Das Ergebnis ist: $f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$. Da die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist $\ \left[(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\right]$, können wir diese Berechnungen leicht auf jede Polynomfunktion übertragen. Wenn z.B. $f(x)=3x^{4}+x^{3}-5x-7\$ist, dann ist die Ableitung dieser Funktion die Summe der Ableitungen der "Teil"-Funktionen $(3x^{4})'=3\cdot 4\cdot x^{4-1}$, $(x^{3})'=3x^{3-1}$, $(-5x)'=-5\cdot 1\cdot x^{1-1}\$und $(-7)'=0$, also $f'(x)=12x^{3}+3x^{2}-5$.

Mit Hilfe der Definition als Grenzwert können wir weitere Ableitungen berechnen, wir brauchen allerdings dafür komplizierteres Wissen über trigonometrische Funktionen und sogenannte "Folgen". Mit Hilfe dieser Mittel können wir dann folgende Ableitungen bestimmen:

$f(x)=a\,\sin x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,\cos x\qquad \qquad$$f(x)=a\,\cos x\ \rightarrow \ f'(x)=-a\,\sin x\qquad \qquad$
$f(x)=a\,e^{x}\ \rightarrow \ f'(x)=a\,e^{x}\qquad \qquad \qquad$$f(x)=a\,\ln x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,x^{-1}\qquad$
$f(x)=a\,\tan x\ \rightarrow \ f'(x)={\frac {a}{\cos ^{2}x}}=a\left(1+\tan ^{2}x\right)$

Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Wenn wir eine lineare Funktion ermitteln wollen, brauchen wir genau zwei Punkte. Mit der Hilfe von zwei Punkte können wir dann die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Gerade berechnen. Genauso können wir mit Hilfe von Eigenschaften irgendeiner Funktion die Funktion selber ermitteln. Solche Eigenschaften können Punkte oder der Wert der Ableitung an einer Stelle sein. Für die lineare Funktion (Polynomfunktion 1. Grades) brauchen wir 2 Punkte, für die quadratische drei. Wir erklären dann jetzt anhand eines Beispiels, wie das geht:

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$. Ihre Ableitung an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion ist:

$Q(x)=a\,x^{2}+b\,x+c$

Die entsprechende Ableitung ist:

$Q'(x)=2\cdot a\,x+b$

An der Stelle 3 (x=3) hat die Funktion den Wert 5: Q(3)=5, Punkt $(3|5)$

$5=a\,3^{2}+b\,3+c$

An der Stelle 1,5 (x=1,5) hat die Funktion den Wert 4,5: Q(1,5)=4,5, Punkt $(1{,}5|4{,}5)$

$4{,}5=a\,1{,}5^{2}+b\,1{,}5+c$

An der Stelle 2 (x=2) ist die Ableitung null (Q'(x)=0)

$Q'(x)=2\cdot a\,\cdot 2+b$

Wir haben daher ein LGS mit 3 Gleichungen und drei Unbekannten:

${\begin{matrix}9a+&3b+&c&=5\\2{,}25a+&1{,}5b+&c&=4{,}5\\4a+&2b&&=0\end{matrix}}$

Als Matrize:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]$

Letztere kann mit einem elektronischen Hilfsmittel
oder mit dem gaußschen Verfahren gelöst werden:

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\2{,}25&1{,}5&1\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\4{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\I-II\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\4&2&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\0\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\{4\,II-3\,III}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\6{,}75&1{,}5&0\\15&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\0{,}5\\2\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\-0{,}45\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}9&3&1\\0&1{,}5&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}5\\-0{,}4\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]{\begin{matrix}-2\,II-9\,III\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\\\textstyle {\frac {\qquad }{}}\end{matrix}}$

$\left[{\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}\textstyle {\frac {23}{5}}\\\textstyle {-{\frac {4}{15}}}\\\textstyle {\frac {2}{15}}\end{matrix}}\right.\right]$

In der ersten Spalte war die Koeffizient a von $x^{2}$. Wir können sie in der dritten Zeile ablesen: $\textstyle a={\frac {2}{15}}$. Entsprechend können wir die Koeffizient von x an der zweiten Zeile und den y-Achsenabschnitt c an der ersten Zeile ablesen. Die gefragte quadratische Funktion lautet daher:

$Q(x)={\frac {2}{15}}x^{2}-{\frac {4}{15}}x+{\frac {23}{5}}$

Integralrechnung

Integrale von weiteren Funktionen

Mit Hilfe der Definition als Grenzwert können wir weitere Ableitungen berechnen, wir brauchen allerdings dafür komplizierteres Wissen über trigonometrische Funktionen und sogenannte "Folgen". Mit Hilfe dieser Mittel können wir dann folgende Ableitungen bestimmen:

$f(x)=a\,\sin x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,\cos x\qquad \qquad$$f(x)=a\,\cos x\ \rightarrow \ f'(x)=-a\,\sin x\qquad \qquad$
$f(x)=a\,e^{x}\ \rightarrow \ f'(x)=a\,e^{x}\qquad \qquad \qquad$$f(x)=a\,\ln x\ \rightarrow \ f'(x)=a\,x^{-1}\qquad$
$f(x)=a\,\tan x\ \rightarrow \ f'(x)={\frac {a}{\cos ^{2}x}}=a\left(1+\tan ^{2}x\right)$

In die Gegenrichtung gibt es die entsprechenden Stammfunktionen ("unbestimmte Integrale"):

$f(x)=a\,\sin x\ \rightarrow \ F(x)=-a\,\cos x+C\qquad \qquad$$f(x)=a\,\cos x\ \rightarrow \ F(x)=a\,\sin x+C\qquad \qquad$
$f(x)=a\,e^{x}\ \rightarrow \ F(x)=a\,e^{x}+C\qquad \qquad \qquad$$f(x)=a\,{\frac {1}{x}}\ \rightarrow \ F(x)=a\,\ln |x|+C\qquad$

Sowohl die Ableitung als auch das Integral einer Funktion ist eine neue Funktion. Im Fall der Ableitung zeigt uns diese neue Funktion die Steigung der Anfangsfunktion in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable. Die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) ist eine neue Funktion, die uns die Steigung der Funktion f(x) an jeder Stelle x angibt. Das Integral allerdings weist den Unterschied zur Funktion und Ableitung auf, dass es nicht an einer Stelle sondern zwischen zwei Stellen zu berechnen ist.

Fläche zwischen zwei Funktionen

Bei der Integralrechnung kommt oft vor, dass wir die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen wollen. Das hat Anwendungen beispielsweise in Maschinenbau. Die Idee ist in diesem Fall nicht so kompliziert: Aus der Fläche zwischen der Funktion, die im Diagramm weiter oben ist, und x-Achse müssen wir die Fläche zwischen Funktion, die weiter unten ist, und x-Achse subtrahieren. Wir müssen daher die Fläche zwischen der Differenz der beiden Funktion berechnen. Es gibt allerdings eine Sache, auf die wir aufpassen müssen. Wenn die beiden Funktion einen Schnittpunkt haben, kann es sein, dass sie ihre Rolle wechseln. Die Funktion die vorher oben war, kann danach doch unten sein. Daher müssen wir zwei Integrale berechnen.

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen $\ g(x)=0{,}5e^{x}-1\$ und $\ f(x)=-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75\$ und zwischen den Stellen −2 und 2.

In solchen Aufgaben sind elektronische Mitteln notwendig (wenn wir nicht wollen, uns mit einer Aufgabe einige Stunden zu beschäftigen...). Wir haben hier mit Hilfe von Geogebra folgendes Bild für die beiden Funktionen erzeugt:

Wir sehen, dass die Funktionen einen Schnittpunkt haben. Um diesen Punkt zu berechnen, setzen wir die beiden Funktionen gleich:

$g(x)=f(x)\rightarrow 0{,}5e^{x}-1\ =-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75\$

Diese Gleichung lässt sich allerdings auch mit elektronischen Mitteln nicht unbedingt so leicht lösen. Wenn wir aber mit den Werkzeugen von Geogebra nach dem Schnittpunkt der beiden Funktionen fragen, bekommen wir für den x-Wert des Schnittpunkts C: $x_{1}\approx 1{,}66433$. Bis zu diesem Punkt befindet sich oben die Polynomfunktion, danach die Exponentialfunktion. Um die ganze Fläche zu berechnen, müssen wir daher folgende Rechnung machen:

$A=\int _{-2}^{x_{1}}{\big (}f(x)-g(x){\big )}\,\mathrm {d} x+\int _{x_{1}}^{2}{\big (}g(x)-f(x){\big )}\,\mathrm {d} x=$
Also, bis zum Punkt x₁ berechnen wir das Integral der Differenz der Polynomfunktion minus die Exponentialfunktion, danach umgekehrt.
$\int _{-2}^{x_{1}}(-0{,}5e^{x}+1-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75)\,\mathrm {d} x+\dots$
$\qquad \quad \dots +\int _{x_{1}}^{2}(0{,}5e^{x}-1+0{,}16x^{2}+0{,}4x-2{,}75)\,\mathrm {d} x=$
$\left[-0{,}5e^{x}+x-{\frac {0{,}16}{3}}x^{3}-0{,}2x+2{,}75x\right]_{-2}^{x_{1}}+$
$\qquad \quad \dots +\left[0{,}5e^{x}-x+{\frac {0{,}16}{3}}x^{3}+0{,}2x^{2}-2{,}75x\right]_{x_{1}}^{2}$
Bisher haben wir die unbestimmten Integrale berechnet. Wir haben die Konstante nicht geschrieben, da sie sowieso mit der Berechnung wegfallen wird. Jetzt müssen wir die Grenzwerte der Integrale einsetzen und dann berechnen.

$\left(-0{,}5e^{1{,}66..}+1{,}66..-{\frac {0{,}16}{3}}\cdot {1{,}66..}^{3}-0{,}2\cdot {1{,}66..}^{2}+2{,}75\cdot 1{,}66..\right)-\dots$
$\dots -\left(-0{,}5e^{(-2)}+1-{\frac {0{,}16}{3}}\cdot {(-2)}^{3}-0{,}2\cdot {(-2)}^{2}+2{,}75\cdot (-2)\right)+\ \ldots$
$\dots +\left(0{,}5e^{(2)}-1-{\frac {0{,}16}{3}}\cdot {(2)}^{3}+0{,}2\cdot {(2)}^{2}-2{,}75\cdot (2)\right)-\ \ldots$
$\dots -\left(0{,}5e^{1{,}66..}-1{,}66..-{\frac {0{,}16}{3}}\cdot {1{,}66..}^{3}+0{,}2\cdot {1{,}66..}^{2}-2{,}75\cdot 1{,}66..\right)-\dots$

Allein diese Rechnung zu betrachten bereitet Kopfschmerzen. Man könnte selbstverständlich das ganze Schritt zum Schritt berechnen, allderdings können wir mit elektronischen Mitteln viel schneller die Antwort berechnen. Wir müssen folgendes eintippen:

$\int _{-2}^{1{,}66433}(-0{,}5e^{x}+1-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75)\,\mathrm {d} x+\dots$
$\qquad \quad \dots +\int _{1{,}66433}^{2}(0{,}5e^{x}-1+0{,}16x^{2}+0{,}4x-2{,}75)\,\mathrm {d} x$

Das Ergebnis sollte ca. 10,96 sein.

Wir haben schon erwähnt, dass wir Minuend und Subtrahend austauschen müssen, falls die Funktionen ihre Stellung ändern (welche oben ist). Ähnlich ist die Situation, wenn wir einfach das Integral einer Funktion berechnen wollen. Die Rolle der zweiten Funktion übernimmt dann die x-Achse (sie ist ja die konstante Funktion y=0). Was passiert, wenn wir das nicht tun und was ist die Bedeutung der beiden Berechnungen? Das können wir mit Hilfe eines einfachen Beispiels verstehen.

Wenn wir das Integral der linearen Funktion im Bild zwischen den Stellen −2 und 2 berechnen, ist das Ergebnis null. Denken wir an einen v-t Diagramm. Das Integral sollte Strecke sein. Die Geschwindigkeit ist links negativ und rechts positiv. Das bedeutet, dass wir unsere Bewegungsrichtung ändern. Wenn wir uns für eine Weile in eine Richtung bewegen und dann für die gleiche Dauer und in der gleichen Weise genau in die Gegenrichtung, dann werden wir am Ausgangspunkt gelangen. Das macht schon Sinn. Die "mittlere" zurückgelegte Strecke ist 0. Allerdings haben wir uns doch bewegt. Wie viel? Um das zu berechnen, müssen wir an der Stelle Null (x=0), wo die Gerade die x-Achse trifft, Minuend mit Subtrahend austauschen.

Ob wir Minuend mit Subtrahend austauschen, hängt daher davon ab, was wir berechnen wollen. Wenn wir allerdings Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen wollen, dann müssen wir unbedingt Minuend mit Subtrahend austauschen, da wo es notwendig ist.