MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Reifeniveau 4

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt
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THEORIE

Niveaus:

Grundniveau 1

Grundniveau 2

Grundniveau 3

Mitteniveau 1

Mitteniveau 2

Mitteniveau 3

Reifeniveau 1

Reifeniveau 2

Reifeniveau 3

Reifeniveau 4

Reifeniveau 5

Reifeniveau 6

Reifeniveau 7

Satz von Bayes abstraktes Beispiel[Bearbeiten]

Nach den optimistischsten Voraussagen über die Menschen-verursachte Erderwärmung, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur bis 2050 „nur“höchstens 1,5°C steigt, 18%. Wenn wir allerdings keine Massnahmen treffen, ist sie nur 5%. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir solche Massnahmen treffen, wenn wir die politische Situation^[1] und das Benehmen der Erdbevölkerung^[2] in Anbetracht nehmen, liegt bei 24% ^[3]. Nehmen wir an, wir leben schon im Jahr 2050 und die Temperaturerhöhung ist tatsächlich weniger als 1,5°C geblieben. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, das dies geschehen ist, obwohl wir keine Massnahmen getroffen haben?

↑ mit der immer steigenden Repräsentation von rechten Parteien, die nicht gerade selten die Erderwärmung verleugnen
↑ mit dem ständig steigenden Konsum sogar in entwickelten Ländern mit einem hohen Lebensniveau
↑ das ist jetzt nur eine Vermutung

Antwort

$\ 21{,}{\dot {1}}\%$

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Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen[Bearbeiten]

Drei verschiedene Schulen (Alpha, Sigma und Omega) machen eine Exkursion nach London. Wenn wir aus der Summe der Fünffachen der Personen aus Sigma und des Doppelten aus Omega die Personen aus Alpha subtrahieren, dann wäre das Ergebnis 700 (Personen). Sigma fliegt und stoßt damit 450 kg CO₂ für 200€ pro Person aus, Alpha fährt mit dem Zug und stoßt damit 40 kg CO₂ für 300€ pro Person aus und Omega fährt mit dem Bus und stoßt damit 36 kg CO₂ für 240€ pro Person aus. Für alle Schulen zusammengerechnet sind die Kosten 120 Tausend € und der CO₂ Ausstoß 67,4 t. Wie viele Personen aus jeder Schule fahren?

Antwort

$\alpha :\ 200\$ Personen, $\sigma :\ 120\$ Personen, $\omega :\ 150\$ Personen

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Radiant[Bearbeiten]

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
a) $\ 7\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {7\pi }{6}}\ rad$ , C) $\ 1{,}5\ rad$ , D) $\ {\frac {7}{9\pi }}\ rad$ , E) $\ 420\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 15^{\circ }$ , B) $\ 0{,}8^{\circ }$ , C) $\ 7\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {430}{7\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 560^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 90^{\circ }$ , B) $\ 180^{\circ }$ , C) $\ 1\ rad$ , D) $\ 7{,}6\ rad$ , E) $\ 730^{\circ }$

Antwort

A) $\ 1260^{\circ },\quad$ B) $\ 210^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 85{,}9^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 14{,}2^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 24100^{\circ }\quad$
A) $\ {\tfrac {\pi }{12}}\ rad,\quad$ B) $\ \ {\tfrac {\pi }{225}}rad,\quad$ C) $\ {\tfrac {7\pi ^{2}}{360}}\ rad,\quad$ D) $\ {\tfrac {43}{252}}\ rad,\quad$ E) ${\tfrac {14\pi }{9}}\ rad\quad$
A) 1.Q $\quad$ B) zwischen 2. und 3. Q $\quad$ C) 1.Q $\quad$ D) 1.Q aber mehr als Halbkreis! $\quad$ E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

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Einheitskreis wichtige Punkte[Bearbeiten]

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Kosinus gleich ${\tfrac {1}{2}}$ oder $-{\tfrac {1}{2}}$ ?
Geben Sie vier Winkeln jeder Art sowohl in Grad
als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\cos x={\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\ n\cdot \pi \pm {\tfrac {\pi }{4}}\right)\ rad=2\ n\cdot \ 360^{\circ }\pm 45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\cos x=-{\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=(2\,n+1\pm {\tfrac {\pi }{4}})\cdot \pi \ rad=(2\,n+1\pm {\tfrac {1}{4}})\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

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Polynomfunktionen Diagramm[Bearbeiten]

In den folgenden Diagrammen bestimmen Sie den
Grad der dargestellten Polynomfunktion, die Anzahl
ihrer Lösungen, ihr Monotonieverhalten in den
verschiedenen Intervallen, das Vorzeichen der
Koeffizienten der Potenz mit dem höchsten Grad und
wenn möglich den Wert des y-Achsenabschnitts!

A
B
C

D
E
F

G
H
I

Antwort

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Funktionserkennung in Diagramm[Bearbeiten]

Welches der folgenden Diagrammen stellt was dar?

A) lineare Funktion, B) Polynomfunktion 2. Grades
C) Wurzelfunktion, D) Polynomfunktion 3. Grades
E) Polynomfunktion 4. Grades, F) Sinusfunktion
G) Kosinusfunktion, H) quadratische Funktion,
K) (natürlichen) Logarithmusfunktion, L) $\textstyle {\frac {a}{x}}$
M) Exponentialfunktion, N) Umkehrfunktionenpaar

1
2
3

4
5
6

7
8
9

10
11
12

13
14
15

Antwort

1 → G, 2 → E, 3→ D, 4 → B H
5 → F,6 → B H, 7 → K M N, 8 → A
9 → C, 10 → B H, 11 → L, 12 → A
13 → M, 14 → K, 15 → C D N

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Funktionsdiagramme Eigenschaften erkennen[Bearbeiten]

Wählen Sie das jeweils richtige Diagramm und
beantworten Sie die entsprechende Frage!

Wie viel ist der y-Achsenabschnitt bei jedem Diagramm?
Wie viel ist die Steigung der linearen Funktionen?
$ax^{2}+bx+c\$ $ax^{2}+bx+c\$ ist die quadratische Funktion.
- Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
$ae^{b\ x}\$ ist die exponentielle Funktion.
${\frac {a}{x}}\$ ist die indirekte Proportionalität.
Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv?
In welchen Intervallen sind die quadratischen und die linearen
Funktionen, die Sinusfunktionen bzw die indirekte
Proportionalität steigend bzw. fallend?
Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
ihre Umkehrfunktion?
Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und
ihre auf der y-Achse gespeigelte Funktion? Was gilt
in diesem Fall für f(x) und ihre Spiegelfunktion f^s(x)?

Antwort

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Funktionserkennung in Text[Bearbeiten]

Im Folgenden finden wir verschiedene Diagramme, Formel und Namen von Funktionen als auch Textaufgaben darüber. Welche sind die richtigen Kombinationen für jede Textaufgabe? Mit Hilfe der Textaufgaben finden Sie die Werte der Parameter a und b in der dem Text entsprechenden Formel.
Texte TA (Text A) Fanny will feststellen, ob ihre Katze einen freien Fall überlebt und lässt sie aus einem 8 m hohen Turm mit einer 3 m/s² festen Beschleunigung Fallen. TB (Text B) Die Bevölkerung in Deutschland ist ca. 82 Millionen und wird jede Jahrzehnte um 2,3% weniger. TC (Text C) Bei der Schwingung einer Feder ist die maximale Ablenkung 3 cm, eine vollständige Wiederholung braucht 350 ms.	TD (Text D) Ein Baum ist 3,5 m groß und wächst pro Woche um 5 cm. TE (Text E) Eine 1,8 dm große Kerze schmilzt jede Stunde um 3 cm. TF (Text F) Wenn wir auf einen Nagel eine Kraft ausüben, ist der Druck desto größer, je kleiner die Fläche A an der Spitze des Nagels ist aber je größer die Kraft F ist. (Hier a und b durch entsprechende Symbole ersetzten) TG (Text G) Ein Bakterienkultur verdreifacht sich jede Stunde. Am Anfang gibt es 5 Bakterien.
Diagramme DA (Diagramm A) DB (Diagramm B) DC (Diagramm C) DD (Diagramm D) DE (Diagramm E) DF (Diagramm F)	DG (Diagramm G) DH (Diagramm H) DI (Diagramm I) Funktionsnamen NA: (Name A) lineare, NB:(Name B) quadratische, NC: (Name C) exponentielle, ND: (Name D) logarithmische, NE: (Name E) Potenzfunktion 3. Grades, NF: (Name F) Sinusfunktion, NG: (Name G) Wurzelfunktion, NH:(Name H) indirekte Proportionalität. Formeln FA: (Formel A) $\ y=a\ x+b\quad$ FB: (Formel B) $\ y=a\ e^{b\ x}\quad$ FC: (Formel C) $\ y=a\tan b\ x\quad$ FD: (Formel D) $\textstyle \ y={\frac {a}{b}}\quad$ FE: (Formel E) $\ \textstyle \ y=a\sin {\frac {1}{2\pi b}}x\quad$ FF: (Formel F) $\ y=a\ x^{2}+b\quad$ FG: (Formel G) $\ y=a\ x^{3{,}2}+b\quad$

Antwort

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Ableitungen von weiteren Funktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.
Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion
und ihrer Ableitung an der Stelle −2.

$\ b(d)=5\ \sin d-\ln d+{\frac {4}{5\ d^{4}}}+6$
$\ v(y)={\frac {7}{\sqrt[{7}]{y^{3}}}}-\cos y+y-y^{-5}$
$\ t(x)=5\ e^{x}-{\sqrt[{3}]{\frac {0{,}125}{x^{6}}}}+\tan x\quad$

Antwort

$\ b'(v)=5\cos d-{\frac {1}{d}}-{\frac {16}{5}}\ d^{-5}$ $\qquad b(-2)=\emptyset \qquad b'(-2)\approx 1{,}48$
$\ v'(y)={-{\frac {3}{4}}}\ y^{-{\frac {10}{7}}}+\sin y+1+5\ t^{-6}\$ $\qquad v(-2)\approx -6{,}75\qquad v'(-2)\approx -0{,}946$
$\ t'(x)=5\ e^{x}+{}\ x^{-3}+{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\quad$ $\qquad t(-2)\approx -0{,}621\qquad t'(-2)\approx -0{,}467$

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Integrale von weiteren Funktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen.
Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion
an der Stelle 2,4 und ihrer Stammfunktion zwischen den
Stellen −2,3 und −1

$\ b(t)=2\ \sin t-{\frac {5}{t}}+{\frac {0{,}2}{t^{4}}}+4$
$\ v(b)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{b^{3}}}}-\cos b+b-b^{-3}$
$\ t(g)=5\ e^{g}-{\sqrt[{4}]{\frac {625}{g^{5}}}}-\sin g\quad$

Antwort

$\ \int b(t)dt=-{2}\ \cos t-5\ \ln |t|-{\frac {0{,}2}{3v^{3}}}+4\ t+c\ \quad b(2{,}4)\approx 3{,}27\quad \int _{-2{,}3}^{-1}b(v)dv\approx 7{,}01$
$\ \int v(b)db=20\ {\sqrt[{4}]{b}}-\sin b+{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {1}{2\ t^{2}}}+c\ \quad v(2{,}4)\approx 5{,}66\quad \int _{-2{,}3}^{-1}v(b)db\ {\text{undefinierbar}}$
$\ \int t(g)dg=5\ e^{g}-{\frac {20\ }{\ {\sqrt[{4}]{g}}}}+\cos g+c\ \quad t(2{,}4)\approx 52{,}8\quad \int _{-2{,}3}^{-1}t(g)dg\$ undefiniert

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Fläche zwischen zwei Funktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen

$\ g(x)=2\log(0{,}5x-2)\$ und $\ f(x)=-0{,}5x^{3}+2\$
und zwischen den Stellen 2 und 3.

Antwort

$\int g(x)dx\$ erst ab 4 definierbar

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Ermittlung einer quadratischen Funktion[Bearbeiten]

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte
$\ P_{1}:(6|2)\$ und $\ P_{2}:(3{,}5|7)$ . Ihre Ableitung
an der Stelle 4 ist null. Wie lautet die Funktion?

Antwort

$Q(x)={\frac {-4\ x^{2}+32\ x-42}{3}}$

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[1] t der immer steigenden Repräsentation von rechten Parteien, die nicht gerade selten die Erderwärmung verleugnen

[2] t dem ständig steigenden Konsum sogar in entwickelten Ländern mit einem hohen Lebensniveau

[3] s ist jetzt nur eine Vermutung

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[3]