MathemaTriX ⋅ Theorie. Mittleres Niveau 2

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AUFGABEN

Niveaus: Grundniveau 1 Grundniveau 2 Grundniveau 3 Mitteniveau 1 Mitteniveau 2 Mitteniveau 3 Reifeniveau 1 Reifeniveau 2 Reifeniveau 3 Reifeniveau 4 Reifeniveau 5 Reifeniveau 6 Reifeniveau 7

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Bruchrechnungen

Doppelbrüche

Ein Doppelbruch ist wie die Division zwischen zwei Brüchen. Der Bruch oben wird durch den Bruch unten dividiert, also mit dem Kehrwert des Bruches unten multipliziert:

${\dfrac {\ \ {\frac {7}{12}}\ \ }{\frac {3}{20}}}={\frac {7}{12}}:{\frac {3}{20}}={\frac {7}{\cancelto {3}{12}}}\cdot {\frac {\cancelto {5}{20}}{3}}={\frac {35}{9}}$

Schluss und Prozentrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 1 an und wird erst im mittleren Niveau 3 weitergeführt und vervollständigt.

Exponential und Logarithmus Funktion

Dieses Kapitel fängt im im mittleren Niveau 1 an und wird erst im Reifniveau 2 weitergeführt.

Arbeiten mit Termen

Potenzen

Potenz Rechenarten

Null als Hochzahl

Mit Hilfe des letzten Satzes kann man auch, mit Hilfe eines Beispiels, zeigen, dass $a^{0}=1\$ und $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist. Es gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}={{a\cdot a\cdot a} \over {a\cdot a\cdot a}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}={{1\cdot 1\cdot 1} \over {1\cdot 1\cdot 1}}=1$

und nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt auch:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}=a^{3-3}=a^{0}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $a^{0}$. Daher gilt:

$a^{0}=1$

Potenzen mit negativer Hochzahl

In einer ähnlichen Weise zeigen und wieder mit Hilfe eines Beispiels wir, dass $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist.

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {a}\cdot {a}}}={1 \over {a^{2}}}$

Nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}\$ ist gleichzeitig $\textstyle {\frac {1}{a^{2}}}\$ und $a^{-2}$. Daher gilt:

${\frac {1}{a^{2}}}=a^{-2}\$ und allgemein:

$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$

Es muss auch klar sein: x² ist nicht das Gleiche wie y² (kann ausnahmsweise sein, ist es in der Regel aber nicht!)! Wenn die Basis anders ist, kann man mit den Hochzahlen keine Strichrechnung machen, z.B.:

$4^{3}\cdot 5^{6}\neq 20^{9}$   oder etwas Ähnliches. Man kann einfach diesen Ausdruck NICHT vereinfachen!

Potenz eines Produktes oder eines Bruches

Ein Produkt wird dadurch potenziert, indem seine Faktoren mit der gleichen Hochzahl Potenziert werden. Ein Bruch wird dadurch potenziert, indem sowohl sein Zähler als auch sein Nenner mit der gleichen Hochzahl potenziert werden.

Mit einem Beispiel kann auch dieser Zusammenhang schnell erklärtwerden:

$(a\cdot b)^{4}=\underbrace {(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)} _{4\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} _{4\ mal}\cdot \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}=a^{4}\ b^{4}$

und entsprechend für einen Bruch:

$({a \over b})^{4}=\underbrace {({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})} _{4\ mal}={\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} ^{4\ mal} \over \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}}={a^{4} \over b^{4}}$

Es gilt also allgemein:

$({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}$

$\left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}$

Weitere Beispiele:

$({a^{4}\cdot b^{-5}})^{3}={a^{4\cdot 3}\cdot b^{-5\cdot 3}}=a^{12}\ b^{-15}$

$\left({a^{7} \over b^{3 \over 5}}\right)^{4}={a^{7\cdot 4} \over b^{{3 \over 5}\cdot 4}}={a^{28} \over b^{12 \over 5}}$ {{#ifeq:Mathematrix: AT BRP/ Theorie/ Mittleres Niveau 2|Mathematrix: AT PSA Theorie nach Thema/ Arbeiten mit Termen |
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Herausheben

Herausheben ist das Gegenteil von Klammer-Auflösen. Man hat einen Term ohne Klammer und versucht in den Summanden die gemeinsamen Teilterme zu finden, die dann außerhalb der Klammer bleiben. Die restlichen Terme bleiben dann als Summanden in der Klammer:

• 6x⁷ – 14x² + 10x³=?    Heben Sie heraus!

(das ist allerdings das gleiche Beispiel, wie in Klammer auflösen, nur in die Gegenrichtung).

Die kleinste Hochzahl von x ist 2. Jeder Summand hat daher ein x² drinnen. Außerdem kann man die Zahl in jedem Summand durch 2 teilen. Also jeder Summand hat daher eine 2 drinnen. 2x² ist daher das gemeinsame Element, es bleibt außerhalb der Klammer:

6x⁷ – 14x² + 10x³= 2x² · (3x⁵-7+5x)

Wie haben wir die Teilterme in der Klammer gefunden?

6x⁷ : 2x² = 3x⁵,    14x² : 2x² = 7,    10x³ : 2x² = 5x !

Bei den Hochzahlen wählt man die kleinste Hochzahl. Wenn eine Variable bei einem Summand nicht vorkommt, dann kann man sie nicht herausheben. Bei den Zahlen kann man erst die Primfaktorzerlegung durchführen und dann die gemeinsamen Faktoren herausheben:

• 45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = ?

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷    =    3·3·5 b⁴y²n⁷ – 2·3·5 y⁵n⁹ – 3·5·5 b⁸y⁸n⁸ + 3·5·7 b y n⁷

Hier haben wir die PFZ gemacht. Überall kommt 3 und 5 zumindest einmal vor, b kommt im zweiten Summand nicht vor (daher kann man b nicht herausheben), die kleinste Hochzahl von y ist 1 (y=y¹) und von n 7. Man kann also „3“, „5“, „y“ und „n⁷“ herausheben:

3·5 y n⁷ · (...?...) = 15yn⁷ · (...?...)

Was bleibt jetzt in der Klammer? Wir dividieren jeden Teilterm (Summand) mit dem herausgehobenen Teilterm (15yn⁷):

45b⁴y²n⁷ : 15yn⁷ = 3b⁴y		30y⁵n⁹ : 15yn⁷ = 2y⁴n²
75b⁸y⁸n⁸ : 15yn⁷ = 5b⁸y⁷n		105 b y n⁷ : 15yn⁷ = 7b

also:

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = 15yn⁷ ( 3b⁴y – 2y⁴n² – 5b⁸y⁷n+ 7b )

Binomische Formeln

Binomische Formeln ausmultiplizieren

Allgemein kann man die binomischen Formeln als eine Art mathematisches Spiel wahrnehmen, dass auf die höhere Mathematik vorbereitet.

Es gibt drei binomische Formeln:

Die Plusformel:	(a+b)²   =   a² + 2ab + b²
Die Minusformel:	(a-b)²   =   a² -2ab +b²
Die Plusminusformel:	(a+b) (a-b)   =   a² – b²

Warum (a+b)² = a² + 2ab + b² ist, kann man leicht feststellen, wenn man die Potenz auf ihre Faktoren zerlegt und die Klammern aus multipliziert:

(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba +b² = a² + 2ab + b²

Ähnlich kann man die anderen Formeln zeigen:

(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba +b² = a² – 2ab + b²

(a+b)(a-b) = a² - ab + ba – b² = a² – b²

Nun die Aufgaben, die mit binomischen Formeln zu tun haben, gehen davon aus, dass man die binomische Formeln schon kann und an der Stelle von a und b andere Terme stehen:

• Plusformel: (3d+5)²     Hier haben wir statt a 3d und statt b 5.

(a	+	b)²	=	a²	+	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(3d	+	5)²	=	(3d)²	+	2	(3d)	(5)	+	5²
			=	9d²	+		30d		+	25

• Minusformel: (c – 4x)² Hier haben wir statt a c und statt b 4x.

(a	−	b)²	=	a²	−	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(c	−	4x)²	=	(c)²	−	2	(c)	(4x)	+	(4x)²
			=	c²	−		8cx		+	16x²

• Plusminusformel: (5u + 2v) (5u – 2v) Hier haben wir statt a 5u und statt b 2v.

(a	+	b)²	⋅	(a	−	b)	=	a²	−	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(5u	+	2v)²	⋅	(5u)	−	2v	=	(5u)²	−	(2v)²
							=	25u²	−	4v²

Binomische Formeln faktorisieren

Besonders wichtig sind die binomischen Formeln bei den Umkehraufgaben:

36x² – 60ax +25a²=?

Hier ist gefragt, den Term als Quadrat eines sogenannten Binoms oder als Produkt von Faktoren (in Klammern) zu schreiben. Man kann sofort beobachten, dass es drei Summanden gibt, drei Teilterme: 36x², 60ax, 25a². Dadurch kann man sofort die Plusminus Formel ausschließen (da gibt es nur zwei Terme: a²-b²). Da es am mittleren Term ein Minus gibt, findet man sofort, dass es um die Minusform geht. Die quadratischen Terme sind 36x² und 25a². Wenn man sich ein bisschen mit den Quadratzahlen auskennt, weiß man, dass 36 das Quadrat von 6 und 25 das Quadrat von 5 ist. Also kann 36x² nur das Quadrat von 6x und 25a² von 5a sein. Der mittlere Term sollte dann 2·6x·5a sein, was auch tatsächlich stimmt ( 2·6x·5a=60ax). Daher gilt:

36x² – 60ax +25a² = (6x – 5a)²

Binomische Formeln erkennen

Noch ein Beispiel:

121d² – 4t²

Das kann nur die Plusminusform sein, weil sie die einzige ist, die nur zwei Teilterme hat. Daher:

121d² – 4t² = (11d + 2t) (11d – 2t)

_{Bemerkung: die ersten sogenannten Quadratzahlen sind:}

^{1 (=1²), 4 (=2²), 9 (=3²), 16 (=4²), 25 (=5²), 36 (=6²), 49 (=7²), 64 (=8²), 81 (=9²), 100 (=10²), 121 (=11²), 144 (=12²).}

Bruchterme kürzen

Die Kenntnisse dieses Kapitels kann man benutzen, um Bruchterme zu kürzen. Zuerst vereinfacht man die Terme sowohl oben (im Zähler) als auch unten (im Nenner), dann hebt man heraus, was man herausheben kann (oben und unten) und am Ende schaut man nach, ob eine binomische Formel vorhanden ist (wieder oben und unten, im Zähler und im Nenner). Am Ende, wenn man Produkte im Zähler und im Nenner hat, kann man kürzen, wenn es möglich ist: Nehmen wir beispielsweise folgenden Bruchterm:

${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler; ${6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}$ ist so viel wie $9x^{2}-3x$ ): 

$\textstyle {\frac {9x^{2}-3x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht oben und unten): 

$\textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(9x^{2}-6x+1)}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen. Das geht hier nur unten; der Term im Klammer  $\textstyle 9x^{2}-6x+1$ ist nach der Minus binomische Formel gleich $\textstyle (3x-1)^{2}$. Daher ergibt sich der Bruch: 

$\textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(3x-1)^{2}}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann: 

$\textstyle {\frac {3{\cancel {x}}{\cancelto {1}{(3x-1)}}}{2{\cancel {x}}(3x-1)^{{\cancel {2}}^{1}}}}$

Das Ergebnis ist daher:

${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}={\frac {3}{2(3x-1)}}$

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Zahlenmengen

Einführung zu den Zahlenmengen

Einfach gesagt ist eine Menge eine Sammlung von mehreren Sachen. Viele Bücher zusammen sind eine Menge von Büchern, viele Blumen zusammen sind eine Menge von Blumen, viele Ziegen und Schafen und Kühe zusammen sind eine Menge von Tieren. Man kann sogar von einer Menge sprechen auch, wenn man eine Sache hat (z. B. ein Buch) oder keine Sache (die leere Menge). Ein Bereich der Mathematik, die Mengentheorie, beschäftigt sich mit den Mengen. In dieser Theorie spricht man auch von Zahlenmengen.

Natürliche Zahlen

Die einfachste Zahlenmenge ist die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$:

1, 2, 3, 4, 5, …

Die Menge der natürlichen Zahlen schreibt man mit $\mathbb {N}$. Null kann auch zur Menge der natürlichen Zahlen gehören. Wie man die Menge mit oder ohne Null schreibt, unterscheidet sich zwischen Sprachen und Kulturen.

Ganze Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen kann man mit den negativen Zahlen erweitern. Dann entsteht die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$:

… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Alle natürliche Zahlen sind auch ganze Zahlen. Andererseits sind NUR die positive ganze Zahlen (oder die nicht negativen) auch natürliche Zahlen!

Rationale Zahlen

Wenn man natürliche oder ganze Zahlen dividiert, bekommt man oft Zahlen mit Nachkommastellen:

$11:7=1{,}571428\dots$

Diese Zahl ist keine ganze (und daher auch keine natürliche) Zahl. Sie ist eine sogenannte rationale Zahl. Die Menge alle Zahlen, die man als Brüche von ganzen Zahlen schreiben kann, ist die Menge der rationalen Zahlen. Man soll aufpassen. 11 durch 7 (11:7) ist eine Division zwischen zwei ganzen Zahlen. Der Bruch ${\tfrac {11}{7}}$ hingegen ist eine Zahl (eine rationale Zahl), die gleich so viel ist, wie das Ergebnis (Quotient) der Division 11:7.

Wenn man zwei ganze Zahlen dividiert, kann man wieder eine ganze Zahle bekommen (wie z. B. 26:2=13) oder eine Zahl mit Nachkommastellen. Wenn das Ergebnis Nachkommastellen hat, dann ist sie keine ganze Zahl mehr.

Alle ganze Zahlen (und daher auch alle natürliche) sind auch rationale Zahlen (z. B. $7={\tfrac {14}{2}}$). NUR die rationalen Zahlen OHNE Nachkommastellen sind auch ganze Zahlen.

Für die Zahlen mit Nachkommastellen gibt es zwei Möglichkeiten: sie können endlich viele Nachkommastellen haben (z. B. $\textstyle 6{,}345={\frac {1269}{200}}$) oder unendlich viele Nachkommastellen (wie ${\tfrac {11}{7}}$). Im letzten Fall gibt es in den Nachkommastellen eine Wiederholung von der gleichen Zahlenfolge:

${\frac {11}{7}}=1{,}\ \mathbf {571428} \ \ \ {\color {Red}571428}\ \ \ {\color {Red}571428}\dots$

Diese wiederholte Zahlenfolge (hier die Zahlenfolge $\ {\color {Red}571428}$) nennt man Periode. Eine intuitive Erklärung für die Entstehung dieser Periode können wir bei der Division feststellen, wenn wir sie ohne Taschenrechner durchführen: Wenn nach der letzten Kommastelle unendlich lang Nullen geschrieben werden können und die Division dadurch weiter geführt werden kann, wird irgendwann als Rest genau die gleiche Zahl vorkommen und dadurch wird der Prozess wieder genauso wiederholt.

Die erweiterte Zahlenmenge (ganze Zahlen und dazu Zahlen mit endlich viele oder unendlich viele aber periodischen Nachkommastellen) nennt man Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.

Reelle Zahlen

Es gibt aber auch Zahlen, die zwar unendlich viele Nachkommastellen haben aber keine Periode. $\textstyle {\sqrt {2}}$ z. B. ist eine solche Zahl. Es gibt einen Beweis dafür, der zeigt, dass man $\textstyle {\sqrt {2}}$ NICHT als Bruch von zwei ganzen Zahlen ausdrücken kann. $\textstyle {\sqrt {2}}$ ist eine sogenannte irrationale Zahl. Die irrationale Zahlen (wie $\textstyle {\sqrt {2}}$) zusammen mit den rationalen (wie ${\tfrac {11}{7}}$ oder −6) bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.

ALLE rationale Zahlen sind auch reelle Zahlen. NICHT alle reelle Zahlen sind auch rationale Zahlen (z. B. $\textstyle {\sqrt {2}}$ ist eine Reelle aber keine Rationale Zahl).

Zahlenmengen

Man kann also sagen: 5 ist eine natürliche aber auch eine ganze, eine rationale und eine reelle Zahl. $-{\tfrac {14}{7}}$ ist eine rationale, eine reelle aber auch eine ganze Zahl (warum? Weil −14:7 = −2 ist und −2 eine ganze Zahl ist). Sie ist aber keine natürliche Zahl (weil −2 eine negative Zahl ist). $\textstyle {\sqrt {7}}$ ist nur eine reelle Zahl und keine rationale, ganze oder natürliche Zahl. $\textstyle {\sqrt {81}}$ ist eine reelle, aber auch eine rationale, eine ganze und eine natürliche Zahl (weil $\textstyle {\sqrt {81}}=9$ ist).

Eine Darstellung der Beziehungen zwischen den Mengen kann man im Bild sehen. Die reelle Zahlen beinhalten alle anderen Mengen, sie sind sozusagen die „größte“ Menge, die natürlichen Zahlen hingegen sind in allen anderen Mengen drinnen, beinhalten aber selber keine andere Menge (zumindest nicht in diesem Bild, also, wenn wir über diese 4 Mengen sprechen). Die natürliche Zahlen sind sozusagen die „kleinste“ Menge von diesen 4 Mengen.

Einheiten

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird erst im Reifeniveau 1 weitergeführt.

Geometrische Konstruktionen

Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken

Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt

Geometrie der Ebene

Ähnlichkeit von Figuren

Wenn wir die beiden Bilder oben vergleichen, können wir sagen, dass es das gleiche Dreieck ist, nur von einem anderen Abstand gesehen oder, dass wir doch zwei verschiedene Dreiecke haben, die zwar ähnlich zueinander sind aber doch nicht das gleiche Dreieck, da die Seiten nicht gleich sind. Um auf diesen Unterschied aufmerksam zu machen, wird beim Vergleich zwei geometrischen Figuren nicht das Wort "gleich" (und "nicht gleich") benutzt, sondern die Worten "ähnlich" (und "nicht ähnlich") und "kongruent" (und "nicht kongruent").

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Seitenanzahl haben und alle entsprechenden Winkel gleich zueinander sind. Wenn dazu zumindest eine Seite (und daher auch alle andere) der beiden Figuren gleich ist, dann sagt man, dass die Figuren kongruent sind.

Das Wort "gleich" wird bei geometrischen Figuren nicht benutzt, weil es dann nicht klar ist, ob nur alle Winkel oder doch auch alle Seiten gleich sind.

Bei ähnlichen Figuren gilt, dass das Verhältnis entsprechender Seiten eine Konstante Zahl ist. Wenn wir die Seiten aus dem Bild benutzen, wird es klar, was damit gemeint ist. Nehmen wir die Seite b aus dem Bild links und die entsprechende Seite b' aus dem Bild rechts. Verhältnis in Mathematik bedeutet Bruch. Der Bruch der beiden Seiten ist dann $\textstyle {b \over {b'}}$. Werden die beiden Seiten in irgendeiner Weise gemessen, wird dann festgestellt, dass der Bruch ca. 1,5 ist. Es gilt also: $\textstyle {b \over {b'}}=1{,}5$.

Wenn wir ein anderes Paar von entsprechenden Seiten nehmen, wird das Verhältnis (der Bruch) wieder 1,5 sein: $\textstyle {c \over {c'}}=1{,}5$.

Das Verhältnis (der Bruch) von entprechenden Seiten (z.B. $\textstyle {b \over {b'}}$ oder $\textstyle {c \over {c'}}$) ist eine konstante Zahl, hier 1,5. Das gilt genauso für das dritte Paar von entsprechenden Seiten: $\textstyle {d \over {d'}}=1{,}5$.

Diese Regel gilt nicht nur in Dreiecken sondern in allen geometrischen Figuren, die ähnlich sind. Im folgenden Bild sieht man verschiedene Figuren. Alle Figuren mit der gleichen Farbe sind ähnlich.

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Strahlensatz

Die Ähnlichkeit von Figuren findet Anwendung im sogenannten "Strahlensatz".

Nehmen wir zwei geraden, die einander am Schnittpunkt Z schneiden, wie die Geraden BB' und AA' im Bild links. Diese Geraden werden von zwei weiteren parallel zueinander Geraden AB und A'B' geschnitten. So entstehen zwei ähnliche Dreiecke, ABZ und A'B'Z. Da die Dreiecke ähnlich sind, gilt:

${\frac {AB}{A'B'}}={\frac {AZ}{A'Z}}={\frac {BZ}{B'Z}}$

Diese Formel zeigt, was bei der Ähnlichkeit von Figuren behauptet wurde: Das Verhältnis (der Bruch) von entsprechenden Seiten bleibt konstant.

Der Strahlensatz findet zahlreiche Anwendungen in Physik und Mathematik. Hier erwähnen wir "nur" seine Anwendung bei der Vermessung des Abstandes zwischen Mond und Erde.

Eine Bemerkung dazu: Das erste in der Geschichte bekanntes Buch, in dem Geometrie als auf wenigen Sätzen aufgebautes geordnetes Wissen dargestellt wird, ist das Werk "Elemente" von Euklid. In diesem Werk wird erst der Strahlensatz bewiesen und dann auf die Ähnlichkeit von Figuren angewendet.

Geometrie des Raums

Dieses Kapitel fängt im mittleren Niveau 3 an.

Diagramme

Dieses Kapitel fängt im Grundniveau 2 an und wird im Reifeniveau 3 weitergeführt.

Funktionen

Lineare Funktion

Einheiten der Steigung

Steigung einer Gerade: $a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung in einem s-t Diagramm

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem s-t Diagramm auf der y-Achse die Strecke dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: $\qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Der letzte Quotient ist nichts anders als die mittlere Geschwindigkeit:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem s-t Diagramm zeigt uns die Geschwindigkeit

Im konkreten Beispiel rechts: s₁ ist zwei Einheiten, s₂ 5 Einheiten. Wenn die Einheiten der y-Achse Meter (m) sind, ist Δs=3 m. Entsprechend, wenn die Einheit auf der x-Achse Sekunde (s) ist, dann ist Δt=6 s. Die Steigung und daher auch die Geschwindigkeit ist in diesem Fall

${v}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {3m}{6s}}=0,5{\frac {m}{s}}$

Steigung einer Gerade: $s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung in einem v-t Diagramm

Entsprechend können wir die physikalische Größe und die Einheiten der Steigung in einem v-t Diagramm finden. Da bei einem v-t Diagramm auf der y-Achse die Geschwindigkeit dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung $\ s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$</math>

Die Steigung zeigt uns in diesem Fall eine Änderung der Geschwindigkeit, also eine Beschleunigung:

$\alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Daher:

Die Steigung in einem v-t Diagramm zeigt uns die Beschleunigung

Im konkreten Beispiel rechts: $v_{1}$ ist 2 Einheiten, $v_{2}$ 5 Einheiten, daher, wenn die Einheiten m/s (Meter pro Sekunde) sind, ist $\Delta s=3\ m/s$, und für Sekunde als Einheit auf der x-Achse ist $\Delta t=6\ s$. Die Steigung und daher auch die Beschleunigung ist in diesem Fall:

$\alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3\ m/s}{6\ s}}=0{,}5{\frac {\ m/s}{6\ s}}=0{,}5\ m/s^{2}$

Von diesen Beispielen wird daher klar:

Die Steigung ist eine Änderungsrate, sie zeigt wie schnell sich die Größe der y-Achse in Bezug auf die Größer der x-Achse ändert. Die Einheiten der Steigung sind daher die Einheiten der y-Achse durch die Einheiten der x-Achse.

Noch zwei Beispiele: Wenn auf der y-Achse Kraft (in Newton) dargestellt wird und auf der x Fläche (in m²), dann ist die physikalische Größe der Steigung Druck (also Kraft durch Fläche) und die Einheit Pa (Pascal, also Newton durch m²). Wenn auf der y-Achse Masse (in kg) steht und auf der x Volumen (in $\ell$), dann ist die physikalische Größe der Steigung Dichte (also Masse durch Volumen) und ihre Einheiten kg/$\ell$.

Textaufgaben zu den linearen Funktionen

Bei den Textaufgaben über lineare Funktionen wird es normalerweise zwei Konstanten geben (also zwei Zahlen). Die Einheit einer der Zahlen wird normalerweise durch eine Änderungsrate (ein Verhältnis, einen Quotient von zwei anderen Einheiten) ausgedrückt. Diese Konstante (diese Zahl mit der Einheit "etwas" pro "etwas anderes") wird die Steigung sein, also der Koeffizient der unabhängigen Variable (i.d.R $x$). Die Einheit der Steigung wird die Form Einheit A durch Einheit B haben. Die Einheit B (z.B. Sekunde oder Meter) ist die Einheit der unabhängigen Variablen (i.d.R. $x$).

Die andere Konstante wird dann der y-Achsenabschnitt sein. Die Einheit des y-Achsenabschnitts ist auch die Einheit der abhängigen Variable und auch die erwähnte Einheit A bei der Steigung. Damit haben wir alle Elemente in einem mathematischen Zusammenhang „übersetzt“.

• Beim Taxifahren ist die Grundgebühr 4€ und jede Minute kostet dann 0,5€. Stelle diesen Zusammenhang als lineare Funktion dar.

Lösung:

Hier sind zwei Zahlen angegeben: 4€ und 0,5€. Über 0,5€ ist aber auch gesagt, dass man "jede Minute" 0,5€ zahlt. Anders ausgedrückt sind es 0,5€ pro Minute. Einheit A (€) durch Einheit B (min). Das heißt, es geht um eine Änderungsrate. 0,5 soll also unsere Steigung sein. Dann ist die Grundgebühr der y-Achsenabschnitt. Die abhängige Variable wird also in € ausgedrückt (wie die Grundgebühr und die Einheit A oben in der Steigung), die unabhängige in Minuten (wie die Einheit B, die Einheit, die in der Steigung unten steht). Für beide Variablen kann man frei irgendwelche Symbole auswählen, gewöhnlich sollen sie auch sinnvoll sein, z.B. hier K für die Kosten und t für die Zeit (Englisch: time):

K(t)= 0,5 t + 4 (t in Minuten, K in €)

Man soll auch eine Entscheidung über das Vorzeichen der Steigung treffen. Das ist eher einfach. Wenn es klar ist, dass die abhängige Variable (z.B. y, hier die Kosten K) auch größer wird, wenn die unabhängige (z.B. x, hier die Zeit t) größer wird, dann ist die Steigung positiv. Bei den Kosten ist es klar, dass sie immer mehr werden, wenn die Fahrt länger dauert. Also ist die Steigung positiv.

Wenn aber es klar ist, dass die unabhängige Variable kleiner wird, wenn die unabhängige größer wird, dann ist die Steigung negativ. Schauen wir ein entsprechendes Beispiel.

• Eine Kerze mit einer Länge von 1,8 dm wird angezündet. Dabei brennt sie stündlich um ca. 0,9 cm ab. Stelle diesen Zusammenhang als lineare Funktion dar.

Hier ist 0,9 cm eine Änderungsrate, also 0,9 cm pro Stunde. 0,9 ist also die Steigung. Die Kerze wird aber immer kürzer, also wird die Steigung negativ sein. 1,8 dm wird unserer y-Achsenabschnitt sein. Wir wählen L für die Länge und t für die Zeit aus:

L(t)= - 0,9 t + 18 (t in Stunden, L in cm)

Vorsicht!

Man soll immer die Einheiten schreiben und die richtigen Einheiten benutzen.

Wenn man beispielsweise für den Abstand die Einheit Meter benutzt, muss man alle angegebene Abstände in Meter umwandeln, wenn sie nicht schon in Meter angegeben sind. Der vorsichtige Leser hat vielleicht gemerkt, dass der y-Achsenabschnitt in der Funktion 18 und nicht 1,8 ist. Wir haben erst die 1,8dm in 18cm umgewandelt! Das ist notwendig, weil die Steigung in cm (und nicht dm) pro Stunde gegeben ist. Ähnlich, wenn der Wert für die Zeit in Minuten gegeben ist, muss man sie erst in Stunden umwandeln (die Steigung ist ja pro Stunden). Darauf muss man also immer aufpassen!

Schauen wir ein etwas komplexeres Beispiel.

• Der Druck in der Atmosphäre eines Planeten ist durch eine lineare Funktion angegeben. Auf 50km Höhe ist er 3 Atm, auf 200 km 1,8 Atm. Wie viel ist der Druck

1. auf der Oberfläche des Planeten?
2. auf 300 km Höhe?
3. 50 km unterhalb der Oberfläche?

In diesem Fall muss man erst die lineare Funktion mit Hilfe der beiden Punkte finden. Der aufmerksame Leser hat vielleicht schon gesehen, dass die gegebenen Punkte hier $P_{1}\ (50|3),\ \ P_{2}\ (200|1{,}8)$ sind. Wie im vorherigen Teil gezeigt, man kann die Funktion in zwei verschiedenen Weisen finden:

Man kann das lineare Gleichungssystem lösen:

P(x|y)	x	y	y=mx+n
P(50|3)	50	3	3=m·50+n
Q(200|1,8)	200	1,8	−1,8=m·200+n

oder man kann direkt die Formel für die Steigung benutzen:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

und dann den y-Achsenabschnitt finden.

Selbstverständlich bekommt man in beiden Fällen die gleiche Antwort:

m=-0,008 und n=3,4 also

$y=-0{,}008x+3,4$

Mit Hilfe der Funktion kann man jetzt die Fragen beantworten.

• Auf der Oberfläche ist die Höhe (also der x-Wert) Null. Das ist der y-Achsenabschnitt, also 3,4 Atm
• In der zweiten Frage setzt man die 300 km für den x-Wert ein: $y=-0{,}008\cdot 300+3,4=1$, also 1 Atm.
• In der dritten Frage muss man denken, dass unterhalb der Oberfläche die Höhe negativ sein wird: $y=-0{,}008\cdot (-50)+3,4=3,8$ also 3,8 Atm.

Die Steigung und ihre Zusammenhänge

Beweis der Formel der Steigung einer linearen Funktion

Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\ \$ist.

Wir benutzen hier 2 Punkte, wie in der entsprechenden Aufgabe mit konkreten Zahlen. Diesmal benutzen wir Symbole statt konkreten Zahlen.

$\quad$ $\left|{\begin{array}{lrl}P(x|y)&y&=s\ x+A\\P(x_{1}|y_{1})&y_{1}&=s\ x_{1}+A&\\P(x_{2}|y_{2})&y_{2}&=s\ x_{2}+A\\\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}\\\mathbf {I} \\\mathbf {II} \end{array}}$

Wir formen beide Gleichungen auf A um:
$\left({\begin{array}{rl}y_{1}&=s\cdot x_{1}+A\\y_{2}&=s\cdot x_{2}+A\\\end{array}}\right)\ {\begin{array}{l}|-s\cdot x_{1}\ \\|-s\cdot x_{2}\ \\\end{array}}$
$\Leftrightarrow \left({\begin{array}{rl}y_{1}-s\ x_{1}&=\mathbf {A} \\y_{2}-s\ x_{2}&=\mathbf {A} \\\end{array}}\right)$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A),
sollen auch die linken gleich sein.
${\begin{array}{rll}y_{1}-s\ x_{1}&=y_{2}-s\ x_{2}\quad &|-y_{1}+s\ x_{2}\\s\ x_{2}-s\ x_{1}&=y_{2}-y_{1}&|{\text{s herausheben}}\\s\ (x_{2}-x_{1})&=y_{2}-y_{1}\quad &|:(x_{2}-x_{1})\\s&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}&\end{array}}$
Das Symbol $\ \Delta \$bedeutet Differenz. $\Delta y=y_{2}-y_{1}\$und $\Delta x=x_{2}-x_{1}$, daher:
$\quad$Steigung$\ s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Zusammenhang linearer Funktion und direkter Proportionalität

Die direkte Proportionalität ist eine lineare Funktion, deren y-Achsenabschnitt A null ist. Wenn wir für die Steigung der linearen Funktion das Symbol s und für den y-Achsenabschnitt das Symbol A, dann lautet die allgemeine Darstellung:

y= s·x + A

Wenn der y-Achsenabschnitt null ist, dann haben wir eine direkte Proportionalität:

y= s·x

Die Steigung ist in diesem Fall das Verhältnis (Quotient) zwischen abhängiger und unabhängiger Variable:

${\text{s}}={\frac {\text{y}}{\text{x}}}$

Es gibt allerdings noch einen Zusammenhang zwischen direkter Proportionalität und linearer Gleichung. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Änderung der unabhängigen und Änderung der abhängigen Variable:

${\text{s}}={\frac {\Delta {\text{y}}}{\Delta {\text{x}}}}$

Das bedeutet, dass eine direkte Proportionalität zwischen den beiden Änderungen besteht:

${\Delta {\text{y}}}={\text{s}}\cdot {\Delta {\text{x}}}$

Zusammenhang linearer Funktion und Ähnlichkeit ebener Figuren

Alle hier gleichfarbigen Figuren sind zueinander ähnlich.

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrößerung der andere ist. Bei Figuren mit Winkeln bedeutet das, dass entsprechende Winkel gleich bleiben, die Verhältnisse (Quotienten) der entsprechenden Seiten zu einander ebenfalls.

Wenn man das große und das kleine Dreieck im Bild hier links vergleicht, dann stellt man fest, dass alle entsprechenden Winkel gleich sind (A mit D, B mit E und C mit F). Dreieck DEF ist eine Vergrößerung des Dreiecks ABC. Nehmen wir an, dass Seite DE 1,5 mal so groß wie Seite AB ist, also DE=1,5·AB. Dann muss das gleiche ebenfalls zwischen BC und EF gelten, also EF=1,5·BC. Für die Verhältnisse (Quotienten) gilt dann:

${\frac {DE}{AB}}=1,5$ und ${\frac {EF}{BC}}=1,5$

also, die Quotienten der entsprechenden Seiten sind gleich!

Seite DE ist allerdings 1,5 mal die Seite AB, also um 50% größer als AB. Das gilt allerdings genauso für Seiten EF und BC, also EF ist 50% größer als BC. Man stellt daher fest, dass bei der Ähnlichkeit von Figuren eine direkte Proportionalität (eine lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt gleich null) für die Längen der Seiten vorliegt: wird eine Seite größer, dann wird die andere auch und zwar um den gleichen Prozentsatz!