Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Mathe für Nicht-Freaks

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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) ist einer der bedeutendsten Sätze der Analysis. Er stellt eine Beziehung zwischen einer Stammfunktion und dem Integral einer Funktion her. Dies vereinfacht die Berechnung von Integralen in der Regel enorm.

Anschauliche Erklärung[Bearbeiten]

Anschaulich besagt der Satz, dass sich Ableiten und Integrieren umgekehrt zueinander verhalten. Dies ist ein schönes und überraschendes Resultat: Zwei der grundlegendsten Begriffe der Analysis, Ableitung und Integral, sind einander genau ihr Gegenteil. Dies erweist sich auch als sehr praktisch, um ein Integral auszurechnen. Wir brauchen uns nämlich nur eine Funktion überlegen, dessen Ableitung ist.

Das Ableiten ist eine Operation, die aus jeder Funktion eine neue Funktion macht (es gibt gewisse Zusatzvoraussetzungen wie die Differenzierbarkeit von , aber diese ignorieren wir an dieser Stelle). Gewissermaßen handelt es sich beim Ableiten selbst also um eine Funktion .

Im letzten Kapitel haben wir nun das Integral über einem Intervall von einer Funktion kennengelernt. Wie können wir auch das Integrieren als eine Funktion auffassen? Eigentlich wird ja nur jeder Funktion kombiniert mit einem Intervall eine Zahl zugeordnet, nämlich eine Art "Flächeninhalt zwischen und " (wieder unter gewissen Zusatzvoraussetzungen wie der Riemannintegrierbarkeit von , die wir hier erneut ignorieren wollen).

Wir können jedoch die Integrationsgrenzen, also unser Intervall , variieren lassen. Wenn wir zum Beispiel fest lassen, aber verändern, verändert sich damit auch das Integral und wir erhalten eine Funktion

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To-Do:

Was passiert für ?

Wir schauen also, wie der Flächeninhalt in einem Intervall unter dem Graphen unserer Funktion von der rechten Begrenzung des Intervalls abhängt:

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To-Do:

Bild oder Animation

Auf diese Weise haben wir der Funktion eine neue Funktion , nämlich obige Funktion , zugeordnet. Später werden wir die Integralfunktion von nennen. Alternativ hätten wir auch die linke Intervallgrenze variieren und die rechte Grenze fest lassen können. Das funktioniert genauso. Es würde aber zu komplizierteren Formeln führen, weshalb wir uns lieber für die erste Möglichkeit entscheiden.

Jetzt haben wir also zwei Operationen, wie wir aus einer Funktion eine neue machen können: Das Ableiten und das Integrieren . Was passiert, wenn wir eine Funktion erst ableiten und dann integrieren? Was passiert, wenn wir sie erst integrieren und danach ableiten? In beiden Fällen erhalten wir (bis auf eine mögliche Konstante, die wir hier wieder ignorieren) die ursprüngliche Funktion zurück! Genau dies ist die Aussage des HDI. In diesem Kapitel wollen wir den HDI zunächst ordentlich formulieren (also ohne Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit oder Konstanten zu ignorieren) und dann beweisen. Und wir werden sehen, wie wir damit viele Integrale durch das Finden einer Stammfunktion ausrechnen können.

Der HDI wird aus zwei Teilen bestehen. Der erste Teil sagt aus, dass erst Integrieren und dann Ableiten die Funktion nicht ändert. Der zweite Teil besagt, dass erst Ableiten und dann Integrieren die Funktion bis auf eine additive Konstante ebenfalls unverändert lässt.

Vorbereitung: Stammfunktion, unbestimmtes Integral und Integralfunktion[Bearbeiten]

Bevor wir uns dem Satz zuwenden, werden wir noch zwei Begriffe, die für diesen Satz erforderlich sind, einführen.

Wie schon in der Einleitung erwähnt, stellt dieser Satz einen Zusammenhang zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Während wir Integrale der Form in den vorangegangenen Kapiteln schon näher untersucht haben und sie als bilanzierte Fläche unter dem Graphen einer Funktion definiert haben, wissen wir noch nicht, was eine Stammfunktion ist.

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Definition (Stammfunktion)

Eine differenzierbare Funktion heißt Stammfunktion einer anderen Funktion , wenn gilt:

Salopp gesprochen ist eine Stammfunktion daher nichts weiter als das „Gegenteil“ der Ableitungsfunktion. Sie ist im Gegensatz zur Ableitungsfunktion jedoch nicht eindeutig. Anhand eines einfachen Beispiels lässt sich das am einfachsten begreifen:

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Beispiel (Stammfunktion bestimmen)

Sei . Dann ist eine mögliche Stammfunktion von gleich . Denn es gilt nach den bereits bekannten Ableitungsregeln . Dabei wurde die Konstante frei gewählt. Tatsächlich ist jede Funktion der Form mit der Konstante eine Stammfunktion von .

Verständnisfrage: Wie lauten alle Stammfunktionen zu folgenden Funktionen auf ?

  1. .

Hat also eine Funktion eine Stammfunktion , so hat sie auch unendlich viele weitere Stammfunktionen, nämlich alle Funktionen mit einer beliebigen Konstante . Das liegt daran, dass eine (additive) Konstante beim Ableiten wegfällt. Wir können sogar zeigen, dass man auf diese Weise alle Stammfunktionen von erhält:

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Satz

Seien und Stammfunktionen der gleichen Funktion . Dann unterscheiden sich und nur um eine additive Konstante, d.h. es existiert eine reelle Zahl mit für alle .

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Beweis

Wir betrachten die Differenz der beiden Stammfunktionen. Für diese gilt nach der Differenzregel für alle . Wir wollen zeigen, dass die Funktion konstant ist, denn aus für alle folgt, dass für alle .

Angenommen, ist nicht konstant. Dann gibt es mit . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Wegen gilt einerseits . Andererseits haben wir uns oben bereits überlegt, dass für alle gilt, also auch . Das ist ein Widerspruch. Also muss konstant sein.

In diesem Zusammenhang definieren wir

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Definition (Unbestimmtes Integral)

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion wird mit bezeichnet, und heißt unbestimmtes Integral von .

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Beispiel (Unbestimmtes Integral)

Es gilt

Der Einfachheit halber schreiben wir nur

Verständnisfrage: Bestimme das unbestimmte Integral .

Die Bezeichnung legt nahe, dass das unbestimmte Integral etwas mit Integralen zu tun hat. Diesen Zusammenhang werden wir bald sehen. Zunächst ist aber einfach die Menge aller differenzierbaren Funktionen, deren Ableitung genau ist.

Der letzte bedeutende Begriff für den Hauptsatz ist die Integralfunktion. Bisher haben wir Integrale als bilanzierte Fläche unter dem Graphen einer Funktion betrachtet und haben dafür den Ausdruck verwendet. Das Ergebnis dieses Ausdrucks ist eine Zahl, nämlich die Fläche unter dem Graphen im Intervall , wobei Flächen oberhalb der -Achse positiv und unterhalb der -Achse negativ gezählt werden. Nun können wir aber auch die obere Grenze variabel lassen, also für jedes die bilanzierte Fläche zwischen und betrachten. Dadurch wird eine Funktion definiert:

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Definition (Integralfunktion)

Sei eine reellwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall . Dann definieren wir die Integralfunktion von als

Wir könnten die Integralfunktion auch mit schwächeren Voraussetzungen definieren. Für den Hauptsatz wollen wir aber, dass diese überall differenzierbar ist. Damit ist es hinreichend, als stetig vorauszusetzen.

Verständnisfrage: Besitzt die Integralfunktion immer eine Nullstelle?

Ja, denn es gilt .

Der Hauptsatz[Bearbeiten]

Nun, da wir wissen, was ein Integral und eine Stammfunktion ist, können wir uns dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zuwenden. Wie in der Literatur zumeist üblich, werden auch wir den Satz in zwei Teile aufspalten, da dies seine Darstellung vereinfacht. Der erste Teil lautet:

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Satz (Haupsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Teil 1)

Sei stetig. Dann ist die Integralfunktion eine Stammfunktion von , d. h. es gilt für alle .

Der erste Teil des Hauptsatzes zeigt also, dass eine Integralfunktion mit dem Integranden eine Stammfunktion von ist. Insbesondere bedeutet dies, dass das Änderungsverhalten der Fläche unter dem Graphen von durch selbst gegeben ist.

Mit Hilfe dieses Ergebnisses können wir nun unser ursprüngliches Problem, die (bilanzierte) Fläche unter dem Graphen einer Funktion zu berechnen, lösen. Der zweite Teil des Hauptsatzes, der direkt aus dem ersten gefolgert werden kann, lautet:

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Satz (Haupsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Teil 2)

Sei eine stetige Funktion mit Stammfunktion . Dann gilt:

Wie der zweite Teil des Satzes nun aussagt, können wir die gewünschte Fläche unter dem Graphen einer Funktion mit Hilfe einer ihrer Stammfunktionen bestimmen. Dabei ist es gleichgültig, welche Stammfunktion wir wählen. Da sich alle Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, fällt diese bei der Berechnung des Integrals durch die Differenz weg. Für diese Differenz wird in der Praxis häufig der Ausdruck oder verwendet.

Verständnisaufgabe: Bestimme

Lösungen:

Beweis[Bearbeiten]

Nun kommen wir zum Beweis des Satzes, den wir uns zunächst durch simple Überlegungen klar machen wollen.

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Wie kommt man auf den Beweis? (Hauptsatz)

Sehen wir uns zunächst den ersten Teil des Satzes an, der aussagt, dass die Ableitung einer Integralfunktion gleich dem Integranden entspricht. Der entscheidende Punkt ist, was in diesem Zusammenhang anschaulich die Ableitung einer Integralfunktion bedeutet. Die Ableitung einer Funktion kann als die momentane Änderungsrate angesehen werden. Bei den bisherigen betrachteten Funktionen zeigt die Ableitung bei einem Punkt an, wie stark die Steigung der Tangente an dem betrachteten Punkt ist. Dabei entspricht die Steigung der Tangente dem Grenzwert . Nun gibt die Integralfunktion per Definition für jedes die bilanzierte Fläche unter dem Graphen von im Intervall an. Die Ableitung an einem Punkt gibt daher in diesem Fall anschaulich gesehen an, wie stark sich die Fläche unter dem Graphen von ändert. Und diese Änderung ist offensichtlich genau so groß, wie der Funktionswert von an genau jener Stelle .

Der zweite Teil des Satzes ergibt sich, wie oben schon erwähnt, aus dem ersten. Wollen wir die bilanzierte Fläche unter dem Graphen im Intervall wissen, so suchen wir den Wert der Integralfunktion von an der Stelle . Wegen gilt also . Nun kennen wir aber nicht , sondern eine beliebige Stammfunktion von . Da sich aber von nur um eine Konstante unterscheidet, gilt auch .

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To-Do:

Animation zur Veranschaulichung erstellen

Kommen wir zum formalen Beweis:

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Beweis (Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung)

Beweisschritt:

Für den ersten Teil müssen wir zeigen, dass die Ableitung der Integralfunktion , d.h. der Differentialquotient , existiert und gleich ist.

Sei dazu fest und mit . Dann gilt, wegen der Linearität des Integrals:

Nach dem Mittelwertsatz existiert eine reelle Zahl , sodass

gilt. Gilt nun , so folgt und mit der Stetigkeit von folgt

D. h., die Ableitung von in existiert und ist .

Beweisschritt:

Der Beweis des zweiten Teils erfolgt durch Einsetzen. Setzen wir für die im ersten Teil gegebene Stammfunktion die Werte und ein, so ist und . Damit gilt der Satz für diese spezielle Stammfunktion. Alle anderen Stammfunktionen unterscheiden sich von dieser aber nur durch eine Konstante. Diese verschwindet bei der Subtraktion. Denn ist eine belibige Stammfunktion von , so gilt , und damit

Somit ist der Satz für alle Stammfunktionen bewiesen.

Anwendung[Bearbeiten]

Mit dem Hauptsatz ist es in vielen Fällen nun möglich, bestimmte Integrale auszuwerten. Sofern also eine Stammfunktion des Integranden bekannt ist, lässt sich ein Integral nun ohne weitere Probleme berechnen.

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Beispiel (Beispiel 1 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung)

Wir berechnen das Integral von im Intervall mittels Umkehrung der Potenzregel. Nach der allgemeinen Ableitungsregel für Potenzen ist die Ableitungsfunktion der Polynomfunktion gleich . Daher ist die Ableitungsfunktion von gleich . Mit dem Hauptsatz erhalten wir

Hier ein Beispiel für eine Anwendung:

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Beispiel (Beispiel 2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung)

Sei . Man möchte nun die bilanzierte Fläche unter dem Graphen von zwischen wissen, was in mathematischer Schreibweise dem Integral entspricht. Da eine Stammfunktion von ist, folgt nun:

Unbestimmte Integrale[Bearbeiten]

Für die Auswertung von Integralen benötigen wir Stammfunktionen. Aus diesem Grund werden Stammfunktion auch Unbestimmte Integrale genannt. Das Integralzeichen hat in diesem Fall die gleiche Bedeutung wie das Symbol bei Ableitungen wie .

Wichtige unbestimmte Integrale[Bearbeiten]

Hauptartikel: Beispiele für Integrale

Hier gibt es eine Liste wichtiger unbestimmter Integrale. Es gilt überall .

mit und

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe 1[Bearbeiten]

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Aufgabe (Bestimmte Integrale)

Berechne die folgenden Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes:

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Lösung (Bestimmte Integrale)

Aufgabe 2[Bearbeiten]

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Aufgabe (Unbestimmte Integrale)

Bestimme die folgenden Integrale auf den entsprechenden Definitionsbereichen:

  1. mit auf
  2. mit auf
  3. mit auf
  4. auf
  5. auf
  6. auf
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Lösung (Unbestimmte Integrale)

Aufgabe 3[Bearbeiten]

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Aufgabe (Anwendung des Hauptsatzes 1)

Die natürliche Logarithmusfunktion lässt sich auch über die Integralform

für

definieren. Zeige:

  1. auf und auf .
  2. ist stetig differenzierbar, und hat die Ableitung .
  3. wächst streng monoton.
  4. für alle . Insbesondere ist .

Hinweis: Für die letzte Teilaufgabe wird die Substitutionsregel benötigt.

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Lösung (Anwendung des Hauptsatzes 1)

Teilaufgabe 1:

Durch Einsetzen erhalten wir

Teilaufgabe 2:

Ist , so ist auf . Aus der Monotonie des Riemannintegrals folgt

Ist hingegen , so ist und damit . Da wieder ist auf ist, folgt aus der Monotonie des Riemannintegrals

Teilaufgabe 3:

Nach dem ersten Teil des Hauptsatzes ist eine Stammfunktion von , . Daher ist differenzierbar mit . Da stetig auf ist, ist sogar stetig differenzierbar. Insbesondere ist natürlich stetig.

Teilaufgabe 4:

Mit Teilaufgabe 1 gilt: für alle . Daher ist mit dem Monotoniekriterium streng monoton wachsend.

Teilaufgabe 5:

Mit der Kettenregel ist differenzierbar, mit

Aus dem Identitätssatz der Differentialrechnung folgt mit . Nun gilt

Also ist und damit .

Teilaufgabe 6:

Zunächst ist

Mit der Substitutionsregel folgt für das hintere Integral

Damit folgt die Behauptung .

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To-Do:

ist konkav bei Teilaufgabe 4 ergänzen

Aufgabe 4[Bearbeiten]

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Aufgabe (Anwendung des Hauptsatzes 2)

Berechne für differenzierbare und eine auf stetige Funktion :

Als Anwendung: Berechne die Ableitung von für .

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Lösung (Anwendung des Hauptsatzes 2)

Wir betrachten, die Hilfsfunktion (Integralfunktion) mit . Diese ist nach dem HDI differenzierbar mit . Weiter gilt

Nach der Kettenregel sind und differenzierbar, mit und . Damit ist

Im Anwendungsbeispiel ist , und . Daher ist mit der eben bewiesenen Formel