Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In den vorigen Kapiteln haben wir uns mit Folgen und deren Grenzwerten auseinandergesetzt. Dieses Konzept wollen wir nun nutzen, um unendliche Summen mathematisch exakt zu beschreiben. Dabei werden wir auf den Begriff der Reihe stoßen, den wir in den nächsten Kapiteln untersuchen wollen.

Motivation der Reihe

Motivation von Reihen am Beispiel der geometrischen Reihe. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Was ist $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots$? Hier kann man so vorgehen: Wir starten beim Quadrat mit der Seitenlänge $1$. Dessen Flächeninhalt ist $1^{2}=1$. Nun halbieren wir abwechselnd die horizontale und die vertikale Seite. Man erhält so das Rechteck mit dem Flächeninhalt ${\tfrac {1}{2}}\cdot 1={\tfrac {1}{2}}$, danach das Quadrat mit der Fläche ${\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}$, dann das Rechteck mit der Fläche ${\tfrac {1}{4}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{8}}$ und so weiter. Diese Rechtecke können wir geschickt anordnen:

Visualisierung der geometrischen Reihe

Wenn wir alle Flächen zusammenaddieren, erhalten wir ein Rechteck mit den Maßen $2\times 1$ und dem Flächeninhalt $2\cdot 1=2$. Der Wert der unendlichen Summe $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots$ sollte also gleich $2$ sein. Wir kommen zum selben Ergebnis, wenn wir die Teilsummen der unendlichen Summe bestimmen:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rll}S_{1}&=1&=1\\[0.5em]S_{2}&=1+{\tfrac {1}{2}}&=1{,}5\\[0.5em]S_{3}&=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}&=1{,}75\\[0.5em]S_{4}&=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}&=1{,}875\\[0.5em]S_{5}&=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}&=1{,}9375\\[0.5em]&\,\vdots \end{array}}\end{aligned}}$

Die Werte der Teilsummen scheinen gegen $2$ zu streben. Das unterstützt die These, dass $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots =2$ ist.

Wir haben gerade einer unendlichen Summe einen Wert zugeordnet. Doch jetzt stellt sich die Frage, wie wir das intuitive Konzept einer unendlichen Summe exakt definieren können. An dieser Stelle eröffnen sich einige Fragen:

• Wie können wir generell den Wert einer unendlichen Summe bestimmen?
• Gibt es unendliche Summen, denen wir keinen Wert zuweisen können?
• Wie unterscheidet man unendliche Summen, denen ein Wert beziehungsweise denen kein Wert zugewiesen werden kann?

In diesem Kapitel stellen wir mit dem Konzept der Reihe die formale Definition einer unendlichen Summe vor. Wir werden Reihen mit Hilfe von Partialsummen (= „Teilsummen“) definieren. Die Partialsummen bauen auf dem Begriff der endlichen Summe auf. In späteren Kapiteln beantworten wir die Frage, welchen unendlichen Summen wir einen Wert zuweisen können und welchen nicht.

Endliche Summen

Endliche Summen und Summenschreibweise (YouTube-Video vom YouTube-Kanal: MJ Maths)

Sigmaschreibweise für endliche Summen

Eine endliche Summe ist (wie der Name schon ahnen lässt) nichts anderes, als eine Summe mit endlich vielen Summanden. Es gibt dafür eine gesonderte Schreibweise, die wir im Kapitel „Summe und Produkt“ kennengelernt haben. Hier haben wir gesehen, dass man anstelle von

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots +a_{n}$

auch

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

schreiben kann. Dabei ist $k$ der Laufindex, der alle Werte vom Anfangswert $1$ bis zum Endwert $n$ annimmt. Für jeden angenommen Wert von $k$ gibt $a_{k}$ einen Summanden zurück. Am Ende werden diese Summanden addiert. An folgender Animation wird dieses Prinzip verdeutlicht:

Animation zur endlichen Summe

Beispiel (Beispiel einer endlichen Summe)

Betrachten wir die endliche Summe

$\sum _{k=3}^{7}k^{3}$

Hier durchläuft $k$ alle Werte von $3$ bis $7$. Die Zuordnungsvorschrift vom Laufindex zu Summanden lautet $a_{k}=k^{3}$, also $k\mapsto k^{3}$. Damit ist der Summand für $k=3$ gleich $3^{3}$, für $k=4$ ist er $4^{3}$ und so weiter bis $7^{3}$ für $k=7$. Schließlich erhalten wir folgende Summe:

$\sum _{k=3}^{7}k^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}$

Partialsummen

Partialsummen - Definition und Beispiel (YouTube-Video vom YouTube-Kanal: MJ Maths)

Da wir inzwischen wissen, wie endliche Summen definiert sind, können wir uns der formalen Definition einer unendlichen Summe widmen. Hierzu starten wir mit der Form, die uns intuitiv plausibel erscheint:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots$

Wir betrachten zunächst die Folge der Teilsummen:

${\begin{aligned}S_{1}&=a_{1}\\S_{2}&=a_{1}+a_{2}\\S_{3}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}\\S_{4}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\\S_{5}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\\&\ \vdots \\S_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots a_{n}\\&\ \vdots \end{aligned}}$

Diese Folge werden wir später benutzen, um unendliche Summen zu definieren. $S_{n}$ ist die Summe der ersten $n$ Summanden und stellt eine endliche Summe dar:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

Diese Teilsummen werden in der Mathematik Partialsummen (aus dem Lateinischen, von „pars“ = Teil) genannt. Sie sind ein endlicher Teil der unendlichen Summe. Die formale Definition lautet:

Definition (Partialsumme)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige Folge in $\mathbb {R}$. Unter der $n$-ten Partialsumme $S_{n}$ von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ versteht man die Summe der ersten $n$ Glieder von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, das heißt:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

Reihe

Der Wert einer unendlichen Summe sollte dem Grenzwert ihrer Partialsummen entsprechen:

${\begin{aligned}a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots &=\lim _{n\to \infty }(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots +a_{n})\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\end{aligned}}$

Wir können zuerst die Folge aller Partialsummen bilden und dann ihren Grenzwert betrachten. Wir definieren zunächst die Folge der Partialsummen als Reihe. Für eine Reihe schreiben wir hier $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Diese Schreibweise ist ähnlich zur $n$-ten Partialsumme $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$. Der einzige Unterschied ist, dass wir als Endwert des Laufindex nicht $n$, sondern das Unendlichkeitssymbol $\infty$ verwenden. Wir definieren also:

Definition (Reihe)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige Folge in $\mathbb {R}$. Unter einer Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aller Partialsummen von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, das heißt:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}&=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\[1em]&=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\\[1em]&=\left(\sum _{k=1}^{1}a_{k},\ {\color {OliveGreen}\sum _{k=1}^{2}a_{k}},\ {\color {Blue}\sum _{k=1}^{3}a_{k}},\ {\color {RedOrange}\sum _{k=1}^{4}a_{k}},\ \ldots \right)\\[1em]&=\left(S_{1},\ {\color {OliveGreen}S_{2}},\ {\color {Blue}S_{3}},\ {\color {RedOrange}S_{4}},\ \ldots \right)\\[1em]&=\left(a_{1},\ {\color {OliveGreen}a_{1}+a_{2}},\ {\color {Blue}a_{1}+a_{2}+a_{3}},\ {\color {RedOrange}a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}},\ \ldots \right)\end{aligned}}$

Als Nächstes setzen wir den Grenzwert der unendlichen Summe mit dem Grenzwert der Partialsummenfolge gleich. Die Partialsummenfolge ist eine gewöhnliche Folge. Entweder sie besitzt einen Grenzwert oder sie divergiert. Divergiert die Partialsummenfolge, divergiert auch die unendliche Summe beziehungsweise die Reihe. Konvergiert die Partialsummenfolge, setzt man den Wert der unendlichen Summe mit dem Grenzwert der Partialsummenfolge gleich. Eine unendliche Summe ist also dasselbe wie der Grenzwert der dazugehörigen Folge von Partialsummen. Auch für diesen Grenzwert der Partialsummenfolge benutzen wir die Schreibweise $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$:

Definition (Grenzwert einer Reihe)

Der Grenzwert $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ einer Reihe ist der Limes der Partialsummenfolge $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}$

Hinweis

Im Artikel „Cauchy-Kriterium für Reihen“ wird bewiesen, dass für das Konvergenzverhalten einer Reihe nur der Wert fast all ihrer Summanden relevant ist. Ändert sich hingegen der Wert von endlich vielen Summanden, bleibt das Konvergenzverhalten der Reihe gleich, obwohl ihr Grenzwert sich ändern kann.

Ist eine Reihe eine Zahl oder eine Folge?

Wie wir bereits bemerkt haben, wird der Ausdruck $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ sowohl für die Folge der Partialsummen (= Reihe) als auch für den Grenzwert der Partialsummenfolge (= Wert der Reihe) verwendet. Das widerspricht grundlegenden Prinzipien der Mathematik, wonach Schreibweisen eindeutig sein müssen. Der Ausdruck $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ sollte nicht gleichzeitig eine Folge und einen Grenzwert, also eine reelle Zahl, bezeichnen. So schreibt Otto Forster in seinem Buch zur „Analysis 1“:

„Das Symbol $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ bedeutet also zweierlei:

1. Die Folge $\left(\sum _{n=0}^{m}a_{n}\right)_{m\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen.
2. Im Falle der Konvergenz den Grenzwert $\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}$.“

– Otto Forster in „Analysis 1“

Beim Ausdruck $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ müssen wir also darauf achten, ob damit die Partialsummenfolge oder ihr Grenzwert gemeint ist. In den meisten Fällen können wir das allerdings schnell aus dem Kontext schließen.

Zusammenfassung

Wir haben die Idee einer unendlichen Summe formal so definiert:

1. Wir haben die Summe der ersten $n$ Summanden als $n$-te Partialsumme definiert.
2. Wir haben die Folge der Partialsummen Reihe genannt. Der Grenzwert dieser Reihe entspricht dem Wert der unendlichen Summe.

Beispiel: Geometrische Reihe mit ${\tfrac {1}{2}}$

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots =1$

Schauen wir uns das Ganze am Anfangsbeispiel der unendlichen Summe $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots$ an. Diese Summe entspricht in unserer Definition der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}$. Zunächst bilden wir die Folge ihrer Partialsummen:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rlll}S_{1}&=\sum _{k=0}^{0}{\frac {1}{2^{k}}}&=1&=1\\[0.5em]S_{2}&=\sum _{k=0}^{1}{\frac {1}{2^{k}}}&=1+{\frac {1}{2}}&=1{,}5\\[0.5em]S_{3}&=\sum _{k=0}^{2}{\frac {1}{2^{k}}}&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}&=1{,}75\\[0.5em]S_{4}&=\sum _{k=0}^{3}{\frac {1}{2^{k}}}&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}&=1{,}875\\[0.5em]S_{5}&=\sum _{k=0}^{4}{\frac {1}{2^{k}}}&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}&=1{,}9375\\[0.5em]&\,\vdots \end{array}}\end{aligned}}$

Die unendliche Summe $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots$ entspricht dieser Partialsummenfolge:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}&=\left(\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{k}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\\[1em]&=\left(\sum _{k=0}^{0}{\frac {1}{2^{k}}},\ {\color {OliveGreen}\sum _{k=0}^{1}{\frac {1}{2^{k}}}},\ {\color {Blue}\sum _{k=0}^{2}{\frac {1}{2^{k}}}},\ {\color {RedOrange}\sum _{k=0}^{3}{\frac {1}{2^{k}}}},\ \ldots \right)\\[1em]&=\left(1,\ {\color {OliveGreen}1+{\frac {1}{2}}},\ {\color {Blue}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}},\ {\color {RedOrange}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}},\ \ldots \right)\\[1em]&=\left(1;\ {\color {OliveGreen}1{,}5};\ {\color {Blue}1{,}75};\ {\color {RedOrange}1{,}875};\ldots \right)\end{aligned}}$

Die $n$-te Partialsumme können wir direkt ausrechnen, indem wir die geometrische Summenformel $\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ für $q\neq 1$ verwenden. Wir erhalten mit $q={\tfrac {1}{2}}$:

${\begin{aligned}S_{n}&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{k}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{(n-1)+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}\\[0.5em]&=2\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}\end{aligned}}$

Somit entspricht unsere Reihe folgender Folge:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}=\left(2-{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Die Folge $\left(2-{\tfrac {1}{2^{n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, da $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{2^{n-1}}}=0$ ist (geometrische Folge mit $q={\tfrac {1}{2}}$). Der Wert der Reihe ist gleich 2:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{k}}}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }\left(2-{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)=2\end{aligned}}$

Übungsaufgabe

Aufgabe (Geometrische Reihe mit $-{\tfrac {1}{2}}$)

Zeige die Konvergenz der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}$ und bestimme deren Grenzwert.

Lösung (Geometrische Reihe mit $-{\tfrac {1}{2}}$)

Mit Hilfe der geometrischen Summenformel kann die $n$-te Partialsumme berechnet werden:

${\begin{aligned}S_{n}&=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+\ldots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{(n-1)+1}}{1-(-{\frac {1}{2}})}}\\[0.5em]&={\frac {1-\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{(n-1)+1}}{\frac {3}{2}}}={\frac {2}{3}}\cdot \left(1-(-{\frac {1}{2}})^{n}\right)\\[0.5em]&={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}\end{aligned}}$

Damit gilt:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Mit Hilfe von $\lim _{n\to \infty }\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{n}=0$ (geometrische Folge mit $q=-{\tfrac {1}{2}}$) und den Rechenregeln für Folgengrenzwerte kann die Konvergenz der Reihe gezeigt werden:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n-1}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{k}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}\right]\\[0.5em]&={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\cdot 0={\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

Folge der Restglieder

Wir haben gesehen, dass eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ dasselbe wie eine Partialsummenfolge $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ist. Gehen wir nun davon aus, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Der Grenzwert von $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ existiert also und entspricht dem Grenzwert $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Damit ist $\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)=0$.

Betrachten wir nun den Unterschied zwischen den Partialsummen und dem Grenzwert der Reihe. Die Differenz zwischen der $n$-ten Partialsumme und dem Reihengrenzwert wird $n$-tes Restglied $R_{n}$ genannt. Sie entspricht dem Fehler zwischen der $n$-ten Partialsumme und dem Reihengrenzwert.

Die formale Defintion des $n$-ten Restglieds lautet:

Definition ($n$-tes Restglied einer Reihe)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine beliebige Reihe. Als $n$-tes Restglied dieser Reihe bezeichnet man die Reihe:

$R_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+\ldots$

Die Restglieder sehen so aus:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rclrcccccccc}S_{1}&=&a_{1}&R_{1}&=&a_{2}&+&a_{3}&+&a_{4}&+&\ldots \\S_{2}&=&a_{1}+a_{2}&R_{2}&=&&&a_{3}&+&a_{4}&+&\ldots \\S_{3}&=&a_{1}+a_{2}+a_{3}&R_{3}&=&&&&&a_{4}&+&\ldots \\&\vdots &&&\vdots &\\S_{n}&=&a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}&R_{n}&=&a_{n+1}&+&a_{n+2}&+&a_{n+3}&+&\ldots \\&\vdots &&&\vdots &\end{array}}\end{aligned}}$

Nun betrachten wir die Folge der Restglieder $(R_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Wie verhält sich diese Folge? Wir haben oben schon erwähnt, dass es bei konvergenten Reihen Sinn ergibt, wenn $\lim _{n\to \infty }R_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)=0$. Das werden wir im folgenden Satz beweisen:

Satz (Folge der Restglieder)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige konvergente Reihe. Dann konvergiert die Folge der Restglieder $(R_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$.

Beweis (Folge der Restglieder)

Da die Reihe konvergiert, existiert der Grenzwert $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=S<\infty$. Nun gilt

$R_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}=S-S_{n}$

Mit den Rechenregeln für Grenzwerte folgt daher

$\lim _{n\to \infty }R_{n}=\lim _{n\to \infty }(S-S_{n})=S-\lim _{n\to \infty }S_{n}=S-S=0$

Also ist $(R_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Hinweis

In der Praxis ist es normalerweise nicht möglich, eine explizite Darstellung für die Restgliederfolge $(R_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ anzugeben. Jedoch können oft Abschätzungen gefunden werden. So werden wir bei alternierenden Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}b_{k}$ mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums eine Fehlerabschätzung der Restglieder für solche Reihen herleiten. Ebenso können bei Taylorreihen Fehlerabschätzungen gefunden werden.