MathemaTriX ⋅ Arbeiten mit Termen

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Term Definition

Potenzen

Potenz Definition

Potenz Rechenarten

Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Punktrechnungen von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

1. 1. $\ a^{-2}\qquad$
   2. $\ 4^{3+b}\qquad$
   3. $\ c^{-4}\qquad$
   4. $\ w^{-3}$
   
   
   
2. 1. $\ a^{b-x}\qquad$
   2. $\ 4^{4}\qquad$
   3. $\ c^{-14}\qquad$
   4. $\ w^{12}$
   
   
   
3. 1. $\ 1\qquad$
   2. $\ t^{-3b}\qquad$
   3. $\ c^{3-b}\qquad$
   4. $\ w^{-b-12}$
   
   
   
4. 1. $\ 3\qquad$
   2. $\ b^{-7t}\qquad$
   3. $\ b^{2}\qquad$
   4. $\ w^{12-b}$
   
   
   
5. 1. $\ c^{-7}\qquad$
   2. $\ 3^{2t-7}\qquad$
   3. $\ 5^{6}\qquad$
   4. $\ w^{-5b}$
   
   
   
6. 1. $\ 3^{0}\ also\ 1\qquad$
   2. $\ a^{z-2t}\qquad$
   3. $\ b^{-2}\qquad$
   4. $\ 3^{-4w}$
   
   
   
7. 1. $\ 7^{b}\qquad$
   2. $\ t^{t-3}\qquad$
   3. $\ 20^{2}\qquad$
   4. $\ u^{b+12}$
   
   
   
8. 1. $\ 7\qquad$
   2. $\ j^{2w}\qquad$
   3. $\ 3^{4b}\qquad$
   4. $\ b^{-w-5}$
   
   
   

Potenzen mit negativer Hochzahl

1. 1. $\ 6^{4-x}\qquad$
   2. $\ 3\cdot 7^{12-2u}\qquad$
   3. $\ 5\ z^{d}\qquad$
   
   
   
2. 1. $\ 6^{1-x}\qquad$
   2. $\ 3\cdot 11^{6-4x}\qquad$
   3. $\ 5\ z^{r}\qquad$
   
   
   
3. 1. $\ 5\cdot r^{4-x}\qquad$
   2. $\ 3\cdot b^{4z-13}\qquad$
   3. $\ 5\ z^{-z}\qquad$
   
   
   
4. 1. $\ 3\cdot r^{4-2r}\qquad$
   2. $\ 11\cdot b^{4-8w}\qquad$
   3. $\ 5^{1-z}\qquad$
   
   
   
5. 1. $\ 6^{4-x}\qquad$
   2. $\ 3\cdot 7^{12-2u}\qquad$
   3. $\ 5\ z^{d}\qquad$
   
   
   
6. 1. $\ 6^{1-x}\qquad$
   2. $\ 3\cdot 11^{6-4x}\qquad$
   3. $\ 5\ z^{r}\qquad$
   
   
   
7. 1. $\ 5\cdot r^{4-x}\qquad$
   2. $\ 3\cdot b^{4z-13}\qquad$
   3. $\ 5\ z^{-z}\qquad$
   
   
   
8. 1. $\ 3\cdot r^{4-2r}\qquad$
   2. $\ 11\cdot b^{4-8w}\qquad$
   3. $\ 5^{1-z}\qquad$
   
   
   

Potenzen Erklärung

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Potenz einer Potenzzahl

Potenzen mit Bruchhochzahl

Potenz eines Produktes oder eines Bruches

Arbeiten mit Potenzen: Die Rechenregel zusammengefasst

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

A

1. $b^{\frac {4}{3}}\left(={\sqrt[{3}]{b^{4}}}\right)$
2. $c^{-15}$
3. $a^{21}$
4. $m^{15}$

B

1. $w^{2}$
2. $y^{-{\frac {15}{4}}}\left(={\sqrt[{4}]{\frac {1}{y^{15}}}}\right)$
3. $y^{-3}\left(={\frac {1}{y^{3}}}\right)$
4. $u^{-2}\left(={\frac {1}{u^{2}}}\right)$

C

1. $b^{29}$
2. $b^{52}$
3. $b^{-{\frac {1138}{7}}}\left(={\sqrt[{7}]{\frac {1}{y^{1138}}}}\right)$
4. $b^{\frac {3}{2}}\left(={\sqrt {m^{3}}}\right)$

D

1. $b^{9}$
2. $b^{22}$
3. $b^{9}$
4. $1$

Terme Grundaufgaben

Klammer Auflösen

Aufgaben mit einer Klammer

Aufgaben mit 2 Klammern

Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer

1. 1. $\ 6x^{7}-14x^{2}+10x^{3}$
   2. $\ 6m^{4}-8m^{2}-15m^{2}+20=6m^{4}-23m^{2}+20$
2. 1. $\ 14b^{9}+8b^{8}-14b^{7}$
   2. $\ 10w^{7}-8w^{5}-25w^{5}+20w^{3}=10w^{7}-33w^{5}+20w^{3}$
3. 1. $\ 8s^{8}+20s^{9}-28s^{5}$
   2. $\ 15w^{8}-12w^{6}+5w^{6}-4w^{4}=15w^{8}-7w^{6}-4w^{4}$
4. 1. $\ 28v^{11}+12v^{12}-8v^{8}$
   2. $\ 10g^{7}+8g^{6}-15g^{5}-12g^{4}$
5. 1. $14n^{1}4-14n^{9}+35n^{7}$
   2. $15c^{2}-20c^{4}-18+24c^{2}=39c^{2}-20c^{4}-18$
6. 1. $6z^{6}+12z^{7}-21z^{5}$
   2. $8p^{5}-10p^{7}-12p^{3}+15p^{5}=23p^{5}-10p^{7}-12p^{3}$
7. 1. $8s^{8}+20s^{5}-28s^{7}$
   2. $10w^{7}-8w^{6}+5w^{5}-4w^{4}$
8. 1. $4v^{5}+12v^{6}-8v^{2}$
   2. $10a^{7}-8a^{5}+15a^{5}-12a^{4}$

Arbeiten mit negativen Zahlen

Herausheben

1. $15\ y\ n^{7}(3\ b^{4}y-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+7\ b)$
2. $7\ x^{4}\ c\ m^{3}(5\ c\ m-2\ x^{5}c^{2}-1+9\ b\ x^{3}c^{8}m^{10})$
3. $3\ x^{4}\ c^{2}\ m^{4}(1-11\ x^{5}c^{2}m^{3}-9\ m+21\ b\ x^{3}c^{7}m^{9})$
4. $6\ y^{3}\ n^{4}(3\ b^{4}-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+1)$
5. $9\ x\ c^{4}\ m^{2}(5\ c\ m-2\ x^{5}c^{2}-1+9\ b\ x^{3}c^{8}m^{10})$
6. $4\ x^{4}\ c^{3}\ m\ (5\ c\ m-2\ x^{5}c^{2}-1+9\ b\ x^{3}c^{8}m^{10})$
7. $11\ y^{3}\ n\ (3\ b^{4}-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+1)$
8. $5\ y^{3}\ b^{4}(3\ b^{4}-2\ y^{4}n^{2}-5\ b^{8}y^{7}n+1)$

Binomische Formeln

Binomische Formeln ausmultiplizieren

1. 1. $\ a^{6}-8\ a^{3}+16\qquad$
   2. $\ 25\ x^{4}+40\ x^{2}\ z^{2{,}5}+16\ z^{5}$
2. 1. $\ 49\ w^{7}+84\ w^{10}+36\ w^{13}\qquad$
   2. $\ 25\ a^{6}-121\ a^{3}$
3. 1. $4\ g^{8}-52\ g^{10{,}5}+169\ g^{13}\qquad$
   2. $\ 121\ a^{12}-16\ a^{8}$
4. 1. $144\ g^{5}+168\ g^{9}+49\ g^{13}\qquad$
   2. $\ 16\ a^{8}-88\ a^{10}+121\ a^{12}$

Binomische Formeln faktorisieren

1. 1. $\left(13\ a^{4}-2\right)^{2}\qquad$
   2. $\left(9\ x^{2}+10\ z^{4{,}5}\right)^{2}$
2. 1. $\left(7\ w^{3{,}5}+5\ w^{6{,}5}\right)^{2}\qquad$
   2. $(3\ c^{2}+7\ b^{5})(3\ c^{2}-7\ b^{5})$
3. 1. $\left(11\ v^{2{,}5}-3\ v^{9{,}5}\right)^{2}\qquad$
   2. $(2\ n^{2}-3\ n^{5})(2\ n^{2}+3\ n^{5})$
4. 1. $\left(25\ v^{3{,}5}+12\ v^{8{,}5}\right)^{2}\qquad$
   2. $(2\ n^{2}-2{,}5\ \ n^{8})^{2}$

Binomische Formeln erkennen

1. • Nein, 4 statt 16
   • ja
2. • Nein, 9 statt 7
   • ja
3. • Nein, 24 statt 12
   • ja
4. • ja
   • Nein, 28 statt 14
     und 12 statt 11

Das pascalsche Dreieck Binompotenzen

1. $625\ x^{12}-3500\ x^{9}\ z^{2}+7350\ x^{6}\ z^{4}-6860\ x^{3}\ z^{6}+2401\ z^{8}$
2. $243\ a^{20}-2835\ a^{17}+13230\ a^{14}-30870\ a^{11}+36015\ a^{8}-16807\ a^{5}$
3. $8\ m^{12}-84\ m^{8}\ n^{5}+294\ m^{4}\ n^{10}-343\ n^{15}$
4. $625\ b^{8}-3500\ b^{6}\ e+7350\ b^{4}\ e^{2}-6860\ b^{2}\ e^{3}+2401\ e^{4}$
5. $256\ x^{8}-1280\ x^{6}\ z^{3}+2400\ x^{4}\ z^{6}-2000\ x^{2}\ z^{9}+625\ z^{12}$
6. $-32\ a^{15}+240\ a^{14}-720\ a^{13}+1080\ a^{12}-810\ a^{11}+243\ a^{10}$
7. $343\ m^{9}-441\ m^{6}\ n^{4}+189\ m^{3}\ n^{8}-27\ n^{12}$
8. $256\ b^{4}-1280\ b^{3}\ e^{2}+2400\ b^{2}\ e^{4}-2000\ b\ e^{6}+625\ e^{8}$

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

1. 1. $c=-4111\qquad$
   2. $k=55\qquad$
   3. $f=38$
   
   
   
   4. $x=1208\qquad$
   5. $\textstyle m={\tfrac {214}{23}}\approx 9{,}3\qquad$
   6. $w=19{,}{\overline {45}}$
   
   
   
2. 1. $c=1992\qquad$
   2. $k=52\qquad$
   3. $f=45$
   
   
   
   4. $x=3983\qquad$
   5. $\textstyle m=22\qquad$
   6. $w={\tfrac {214}{13}}=16{,}{\overline {461538}}\approx 16{,}46$
   
   
   
3. 1. $c=-4011\qquad$
   2. $k=60\qquad$
   3. $f=56$
   
   
   
   4. $x=-3654\qquad$
   5. $\textstyle m={\tfrac {72}{11}}=6{,}{\overline {54}}\qquad$
   6. $w=12{\tfrac {10}{17}}\approx 12{,}59$
   
   
   
4. 1. $c=-2603\qquad$
   2. $k=91\qquad$
   3. $f=28$
   
   
   
   4. $x=-4834\qquad$
   5. $\textstyle m={\tfrac {493}{29}}=17\qquad$
   6. $w=17{\tfrac {11}{17}}\approx 17{,}65$
   
   
   
5. 1. $c=-4111\qquad$
   2. $k=55\qquad$
   3. $f=38$
   
   
   
   4. $x=1208\qquad$
   5. $\textstyle m={\tfrac {214}{23}}\approx 9{,}3\qquad$
   6. $w=19{,}{\overline {45}}$
   
   
   
6. 1. $c=1992\qquad$
   2. $k=52\qquad$
   3. $f=45$
   
   
   
   4. $x=3983\qquad$
   5. $\textstyle m=22\qquad$
   6. $w={\tfrac {214}{13}}=16{,}{\overline {461538}}\approx 16{,}46$
   
   
   
7. 1. $c=-4011\qquad$
   2. $k=60\qquad$
   3. $f=56$
   
   
   
   4. $x=-3654\qquad$
   5. $\textstyle m={\tfrac {72}{11}}=6{,}{\overline {54}}\qquad$
   6. $w=12{\tfrac {10}{17}}\approx 12{,}59$
   
   
   
8. 1. $c=-2603\qquad$
   2. $k=91\qquad$
   3. $f=28$
   
   
   
   4. $x=-5514\qquad$
   5. $\textstyle m={\tfrac {493}{29}}=17\qquad$
   6. $w=17{\tfrac {11}{17}}\approx 17{,}65$
   
   
   

Umformen einfache Kombinationen

Typ A

1. $x=5$
2. $b=-2$
3. $m=0{,}4$
4. $z=-2$
5. $z=2{,}5$
6. $z=-{\frac {1}{3}}$
7. $z=5$
8. $z=-1$

Typ B

1. 8
2. −3
3. −1
4. −1
5. 2
6. −1
7. −2
8. 1

Das Gleichheitszeichen in Umformungen

Komplexe Umformungen

1. • $\quad z=w-{\frac {(t-s)\cdot {2\cdot k_{B}\cdot T}}{{\sqrt {p}}\cdot {2\cdot k_{B}\cdot T}+c_{L}\cdot {m\cdot v^{2}}-4{,}4\cdot {k_{B}\cdot T}}}$
   • $\quad m=\left(2,2-{\sqrt {p}}+{\frac {t-s}{w-z}}\right)\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{c_{L}\cdot v^{2}}}$
   • $\quad v={\sqrt {\left(2,2-{\sqrt {p}}+{\frac {t-s}{w-z}}\right)\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{c_{L}\cdot m}}\ \ }}$
   • $\quad {T}={\frac {w-z}{\left(2,2\cdot (w-z)-{\sqrt {p}}\cdot (w-z)+{t-s}\right)}}\cdot {\frac {2\cdot k_{B}}{v^{2}\cdot c_{L}\cdot m}}$
   • $\quad p=\left(2,2-c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}+{\frac {t-s}{w-z}}\ \right)^{2}$
   • $\quad {t}=\left({\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-2,2\right)\cdot {w-z}+s$
   • $\quad {s}=t-\left({\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-2,2\right)\cdot {w-z}$
   • $\quad {k_{B}}={\frac {w-z}{\left(2,2\cdot (w-z)-{\sqrt {p}}\cdot (w-z)+{t-s}\right)}}\cdot {\frac {2\cdot T}{v^{2}\cdot c_{L}\cdot m}}$
   • $\quad c_{L}=\left(2,2-{\sqrt {p}}+{\frac {t-s}{w-z}}\right)\cdot {\frac {2\cdot k_{B}\cdot T}{m\cdot v^{2}}}$
2. • $\textstyle a=m-b\cdot c\cdot m+(n-3)^{2}-b\cdot {\sqrt {d-w}}+{\frac {f}{k}}$
   • $\textstyle b={\frac {(m-a+(n-3)^{2})\cdot k+{f}}{(c\cdot m+{\sqrt {d-w}})\cdot k}}$
   • $\textstyle c={\frac {(m-a+(n-3)^{2}-b\cdot {\sqrt {d-w}})\cdot k+{f}}{b\cdot m\cdot k}}$
   • $\textstyle f=(a+b\cdot c\cdot m-(n-3)^{2}+b\cdot {\sqrt {d-w}}-m)\cdot k$
   • $\textstyle m={\frac {(a-(n-3)^{2}+b\cdot {\sqrt {d-w}})\cdot k-{f}}{(1-b\cdot c)\cdot k}}$
   • $\textstyle n={\sqrt {a+b\cdot c\cdot m-m++b\cdot {\sqrt {d-w}}+{\frac {f}{k}}\ \ }}\ +3$
   • $\textstyle {k}={\frac {f}{a+b\cdot c\cdot m-(n-3)^{2}+b\cdot {\sqrt {d-w}}-m}}$
   • $\textstyle {w}=d-{\left({\frac {\left(m-a-b\cdot c\cdot m+(n-3)^{2}\right)\cdot {k}+{f}}{b\cdot k}}\right)}^{2}$
3. • $\textstyle a=b^{2}\cdot k-{\frac {f}{\sqrt {d-w}}}-m+6\cdot n-b^{2}\cdot c+(n-3)^{2}$
   • $\textstyle b={\sqrt {\frac {[(n-3)^{2}-a-m+6\cdot n]\cdot {\sqrt {d-w}}-{f}}{(c-k){\sqrt {d-w}}}}}$
   • $\textstyle c={\frac {[(n-3)^{2}-a+b^{2}\cdot k-m+6\cdot n]{\sqrt {d-w}}-{f}}{b^{2}{\sqrt {d-w}}}}$
   • $\textstyle {f}=[(n-3)^{2}-a-b^{2}\cdot c+b^{2}\cdot k-m+6\cdot n]{\sqrt {d-w}}$
   • $\textstyle m=b^{2}\cdot k-{\frac {f}{\sqrt {d-w}}}+6\cdot n-a-b^{2}\cdot c+(n-3)^{2}$
   • $\textstyle n={\sqrt {a+b^{2}\cdot c-b^{2}\cdot k+{\frac {f}{\sqrt {d-w}}}+m-9}}$
   • $\textstyle k={\frac {(a+b^{2}\cdot c-(n-3)^{2}+m-6\cdot n){\sqrt {d-w}}+{f}}{b^{2}{\sqrt {d-w}}}}$
   • $\textstyle w=d-\left({\frac {f}{b^{2}\cdot k-m+6\cdot n-a-b^{2}\cdot c+(n-3)^{2}}}\right)^{2}$

Formel anwenden

1. 1. $94{,}0\ mg/d\ell$
   2. $158{,}1\ mg/d\ell$
   3. $8{,}62\ cm^{3}$
   4. $2{,}59\ g$

Formeln aus der Physik

1. 1. $ca.7{,}58\ cm$
   2. $ca.51{,}58\ g/\ell$
   3. $ca.9550\ km$
   4. $ca.2850\ km$
   5. Zurückgelegte Strecke zwischen 2. und 5. Stunde
   6. Durchschnittliche Beschleunigung zwischen $t_{1}$ und $t_{2}$
   7. ca. am Anfang und am am 3,2-te Stunde
   8. ca. 4 km
   9. $ca.\ 1{,}5\ km/h=0{,}41{\dot {6}}\ m/s$
   10. $(4{,}7|2{,}7),\ 2{,}7\ km/h=0{,}75\ m/s$

Formel erstellen

1. 1. $\textstyle M=0{,}28\cdot a\cdot t$
   2. $\textstyle M={\frac {500}{0{,}32\cdot 60\cdot a}}\cdot t$
2. 1. $s(t)=300-8t\$(Gerade a im Diagramm)
   2. 5,5 km/h (Gerade a')
   3. 12:00
   4. 6 h 20 min, also um 16:20 Uhr
   5. 
      
3. 1. $P(m)=800+3m$
   2. $\textstyle {\frac {800}{340}}\approx 2{,}35cm/t$
   3. Die Änderung der Pegel in cm in Abhängigkeit von der Masse in T, also die Steigung in der entsprechenden Funktion
   4. nach der Tagesenrnte
   5. Form des Silos
4. 1. $0{,}920\ m$
   2. $\textstyle 10{\sqrt[{3}]{\frac {0{,}02835\cdot A}{\rho }}}$

Bruchterme kürzen

1. $\textstyle {\frac {3}{2(3x-1)}}$
2. $\textstyle {\frac {3(5b-2)}{c\ b(5b+2)}}$
3. $\textstyle {\frac {c\ y(3y-7)}{2(3y+7)}}$
4. $\textstyle (3x-1)$
5. $\textstyle {\frac {5b(5b+2)}{(5b-2)}}$
6. $\textstyle {\frac {c^{2}\ y(3y-7)}{3(3y+7)}}$
7. $\textstyle {\frac {3}{2(3x-1)}}$
8. $\textstyle {\frac {3(5b-2)}{c\ b(5b+2)}}$

Bruchterme in Brüchen mit gemeinsamen Nenner umwandeln

Bruchtermegleichungen

1. $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\}\quad \mathbb {L} =\{\ 2{\frac {3}{8}}\},\ 2\notin \mathbb {D}$
2. $w\neq \{-1,\ 0\}\quad \mathbb {L} =\{4\}$
3. $y\neq \{0,\ 2\}\quad \mathbb {L} =\{\ 12\}$
4. $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}\quad \mathbb {L} =\{-2\}$
5. $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{\pm 2\}\quad \mathbb {L} =\{\ \},\ 2\notin \mathbb {D}$
6. $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{\pm 2\}\quad \mathbb {L} =\{0{,}25\}$
7. $a\neq \{-1,\ 0,\ 1\}\quad \mathbb {L} =\{\ \},\ -1\notin \mathbb {D}$
8. $w\neq \{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}\quad \mathbb {L} =\{4{\frac {1}{2}}\}$

Polynomdivision

Definitionsmenge