MathemaTriX ⋅ Differentialrechnung

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AUFGABEN KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-\frac{\cdot +}{:}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen ${𝕏}^2$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik $\begin{array}{c}ℝ:=\\ \mathbb{Q}\cup 𝕀\end{array}$ Einheiten $c{m}^2$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme $\begin{array}{c}{a}_1{b}_2\\ a_2{b}_2\end{array}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung ${}^{dy}{/}_{dx}$ Integralrechnung ${\int }_a^{b}dx$ Folgen $a_n$ Beweise $a\to b$ Differenzenquotient Grenzwerte Die Ableitung einer Funktion Die Ableitung als Steigung einer Funktion Die entsprechenden Antworten auf Potenzfunktion werden benutzt, die Vorlagen von dort benutzen Ableitung und Geradlinige Bewegung A4N, B1K, C5N, D2L, E3N A2K, B3N, C5N, D4M, E1N A4K, B5L, C2J, D1J, E3J A5L, B1L, C4K, D2L, E3J Einheiten der Ableitung Ableitung und Grenzwerten hier klicken hier klicken hier klicken Ableitung von Potenzfunktionen $35u^4$ $9y^8$ $5x^{11}$ $3n{g}^{n-1}$ $y^4$ $x^{\mathrm{5,5}}$ $4d{v}^4$ $\sqrt{2}{y}^{\sqrt{2}-1}$ $5b^{w-1}$ $4n^6$ $\pi y^{\pi -1}$ $2g^4$ Ableitung von Potenzfunktionen komplex $-bd{c}^{-(d+1)}$ $\frac{3}{4}{t}^{-\frac{1}{4}}(=\frac{3}{4}\sqrt[4]{t})$ $-25x^{-6}(=-\frac{25}{x^6})$ $-bt{c}^{-(t+1)}$ $\frac{v}{w}{t}^{\frac{v}{w}-1}(=\frac{v}{w}\sqrt[w]{t^{v-1}})$ $-98a^{-8}(=-\frac{98}{a^8})$ $-5c^{-(\sqrt{5}+1)}$ $\frac{5}{7}{t}^{-\frac{2}{7}}(=\frac{5}{7\sqrt[7]{t^2}})$ $-33x^{-4}(=-\frac{33}{x^4})$ $c^{-(\sqrt{b^{-1}}-1)}(=\frac{1}{c^{\sqrt{\frac{1}{b}}-1}})$ $\frac{3}{k}{t}^{\frac{3-k}{k}}(=\frac{3}{k\sqrt[k]{t^{k-3}}})$ $-7t{x}^{t-1}(=-\frac{7t}{x^{1-t}})$ Ableitung von Potenzfunktionen schwierig $-\frac{5}{4}{h}^{-\frac{9}{4}}(=-\frac{5}{4}\sqrt[4]{h^9})$ $-7x^{-\frac{10}{3}}(=-\frac{7}{\sqrt[3]{x^{10}}})$ $-15n^{-4}(=-\frac{15}{n^4})$ $-\frac{5}{4}{h}^{-\frac{9}{4}}(=-\frac{5}{4}\sqrt[4]{h^9})$ $-2\frac{n}{b}{x}^{-(\frac{n}{b}+1)}(=-\frac{2n}{b\sqrt[b]{x^{\frac{n}{b}+1}}})$ $\frac{6}{5}{n}^{-\frac{2}{5}}(=\frac{6}{5\sqrt[5]{n^2}})$ $-\frac{w}{d}{h}^{\frac{w-d}{d}}$ $-20x^3$ $-\frac{24^2}{s}{n}^{-\frac{24+s}{s}}(=-\frac{576}{\sqrt[s]{s{n}^{24+s}}})$ $-\frac{6}{u}{h}^{\frac{6-u}{u}}(=\frac{6}{u\sqrt[u]{h^{6-u}}})$ $-\frac{77}{3}{x}^{-\frac{14}{3}}(=-\frac{77}{3\sqrt[3]{x^{14}}})$ $-\frac{5^2}{t}{n}^{-\frac{5+t}{t}}(=-\frac{25}{t\sqrt[t]{n^{5+t}}})$ Ableitungen von weiteren Funktionen $b^{\prime }(v)=7\cos v-\frac{1}{v}-\frac{9}{5}{v}^{-4}$$b(\mathrm{2,4})\approx \mathrm{6,90}{b}^{\prime }(\mathrm{2,4})\approx -\mathrm{2,45}$ $v^{\prime }(t)=-\frac{15}{4}{t}^{-\frac{7}{4}}+\sin t+1+3t^{-4}$$v(\mathrm{2,4})\approx \mathrm{5,66}{v}^{\prime }(\mathrm{2,4})\approx \mathrm{0,956}$ $t^{\prime }(b)=5e^b+7b^{-\frac{10}{3}}+\frac{1}{{\cos }^{2}b}$$t(\mathrm{2,4})\approx \mathrm{53,8}{t}^{\prime }(\mathrm{2,4})\approx \mathrm{57,3}$ $b^{\prime }(v)=-7\sin v-\frac{1}{v}-\frac{25}{3}{v}^{-6}$$b(\mathrm{0,7})\approx \mathrm{22,63}{b}^{\prime }(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{76,77}$ $v^{\prime }(t)=-8t^{-\frac{7}{3}}-\cos t+9t^8+t^{-2}$$v(\mathrm{0,7})\approx \mathrm{7,62}{v}^{\prime }(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{16,59}$ $t^{\prime }(b)=5e^b-3b+\frac{1}{{\cos }^{2}b}$$t(\mathrm{0,7})\approx \mathrm{8,16}{t}^{\prime }(\mathrm{0,7})\approx \mathrm{7,66}$ $b^{\prime }(v)=\frac{7}{{\cos }^{2}v}-\frac{1}{v}+7v^{-12}-3$$b(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{28,0}{b}^{\prime }(\mathrm{0,7})\approx 513$ $v^{\prime }(t)=t^{-\frac{12}{5}}-\cos t+t^5+t^{-2}$$v(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{0,778}{v}^{\prime }(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{0,0694}$ $t^{\prime }(b)=5e^b+\frac{16}{5}\sqrt[5]{b}-\sin b$$t(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{0,228}{t}^{\prime }(\mathrm{0,7})\approx -\mathrm{2,07}$ $b^{\prime }(v)=5\cos d-\frac{1}{d}-\frac{16}{5}{d}^{-5}$$b(-2)=\mathrm{\varnothing }{b}^{\prime }(-2)\approx \mathrm{1,48}$ $v^{\prime }(y)=-\frac{3}{4}{y}^{-\frac{10}{7}}+\sin y+1+5t^{-6}$$v(-2)\approx -\mathrm{6,75}{v}^{\prime }(-2)\approx -\mathrm{0,946}$ $t^{\prime }(x)=5e^x+x^{-3}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$t(-2)\approx -\mathrm{0,621}{t}^{\prime }(-2)\approx -\mathrm{0,467}$ Weitere Ableitungsregeln Die Kettenregel Die Produktregel Die Quotientenregel Ableitungsregeln $2x\sqrt[4]{{\cos }^{3}x}-\frac{3}{4}{x}^2\sin x{\cos }^{-\frac{1}{4}}x$ $-\frac{2x{\cos }^{\frac{3}{4}}x+\mathrm{0,75}{x}^2\sin x{\cos }^{-\frac{1}{4}}x}{x^4}$ $\ln 44^{\sin x\cos x}\cos 2x$ $x{3}^{-x}(2-\ln 3x)\cos (3^{-x}{x}^2)$ $\frac{\cos x\cos 3^x+\ln 33^x\sin x\sin 3^x}{{\cos }^2{3}^x}$ $2^x(\ln 2{\cos }^{\frac{4}{3}}x-\frac{4}{3}{x}^3\sin x^4{\cos }^{\frac{2}{3}}{x}^4)$ Kurvendiskussion Ermittlung einer quadratischen Funktion $Q(x)=\frac{2}{3}{x}^2-\frac{8}{3}x+7$ $Q(x)=-\frac{4}{15}{x}^2+\frac{17}{3}x-1$ $Q(x)=-\frac{13}{10}{x}^2+\frac{28}{5}x-1$ $Q(x)=\frac{-4x^2+32x-42}{3}$ Kurvendiskussion Anwendung Extrempunkte: $(-\mathrm{2,29}|-\mathrm{2,95}),(\mathrm{2,29}|\mathrm{4,95})$ Sattelpunkte: $(0|1)$ Weitere Wendepunkte: $(-\mathrm{4,0}|\mathrm{13,0}),(-\mathrm{1,5}|-\mathrm{1,31}),(\mathrm{1,5}|\mathrm{3,3}),(\mathrm{4,0}|\mathrm{11,0})$ Nullstellen: $-\mathrm{3,03};-\mathrm{1,07};\mathrm{3,24}$ $v(\mathrm{1,2})=\mathrm{2,34}{v}^{\prime }(\mathrm{1,2})=\mathrm{2,76}$ $]-4;-\mathrm{2,29}[\to fallend,$$]-\mathrm{2,29};0[\to steigend,$ $]0;\mathrm{2,29}[\to steigend,$ $]\mathrm{2,29};4[\to fallend$ Extrempunkte: $(-\mathrm{1,81}|\mathrm{1,79}),(-\mathrm{0,81}|-\mathrm{0,64}),(\mathrm{0,81}|\mathrm{0,64}),(\mathrm{1,81}|-\mathrm{1,79})$ Sattelpunkte: keiner Wendepunkte: $(-\mathrm{1,47}|\mathrm{0,82}),(0|0),(\mathrm{1,47}|-\mathrm{0,82})$ Nullstellen: $-\mathrm{1,25};0;\mathrm{1,25};\mathrm{2,17}$ $b(\mathrm{1,2})=\mathrm{0,16}{b}^{\prime }(\mathrm{1,2})=-\mathrm{2,73}$ $]-2;-\mathrm{1,81}[\to steigend,$ $]-\mathrm{1,81};-\mathrm{0,81}[\to fallend$$]-\mathrm{0,81};\mathrm{0,81}[\to steigend,$ $]\mathrm{0,81};\mathrm{1,81}[\to fallend,$$]\mathrm{1,81};\mathrm{2,5}[\to steigend$ Extrempunkte: $(\mathrm{0,35}|-\mathrm{0,39}),(\mathrm{2,12}|\mathrm{0,90}),(\mathrm{4,84}|-\mathrm{0,79})$ Sattelpunkte: keiner Wendepunkte: $(\mathrm{0,19}|\mathrm{0,39}),(\mathrm{1,40}|\mathrm{0,27})$ Nullstellen: $0;1;\pi ;2\pi$ $b(\mathrm{1,2})=\mathrm{0,19}{b}^{\prime }(\mathrm{1,2})=\mathrm{1,00}$ $]-\mathrm{\infty };0[\to nichtdefinierbar,$$]0;\mathrm{0,35}[\to fallend,$$]\mathrm{0,35}|\mathrm{2,12}[\to steigend,$ $]\mathrm{2,12};\mathrm{4,84}[\to fallend,$ $]\mathrm{4,84};7[\to steigend$ Extrempunkte: $(-\mathrm{1,01}|\mathrm{2,20}),(\mathrm{0,90}|\mathrm{0,17})$ Sattelpunkte: Keiner Wendepunkte: $(-\mathrm{0,56}|\mathrm{1,72}),(\mathrm{0,07}|\mathrm{0,93}),(\mathrm{0,46}|\mathrm{0,52})$ Nullstellen: $-\mathrm{1,56}$ $b(\mathrm{1,2})=\mathrm{0,56}{b}^{\prime }(\mathrm{1,2})=\mathrm{3,12}$ $]-\mathrm{\infty };-\mathrm{1,01}[\to steigend,$ $]-\mathrm{1,01};\mathrm{0,90}[\to fallend,$ $]-\mathrm{0,90};+\mathrm{\infty }[\to steigend$ Extrempunkte: $(\mathrm{1,25}|-\mathrm{0,69})$ Sattelpunkte: keiner Wendepunkte: $(\mathrm{0,28}|-\mathrm{0,44})$ Nullstellen: $\mathrm{2,47}$ $b(\mathrm{1,2})=-\mathrm{0,69}{b}^{\prime }(\mathrm{1,2})=-\mathrm{0,04}$ $]-\mathrm{\infty };0[\to nichtdefinierbar,$ $]0;\mathrm{1,25}[\to fallend,$ $]\mathrm{1,25};+\mathrm{\infty }[\to steigend$ Extrempunkte: $(0|0)$ Sattelpunkte: keiner Wendepunkte: $(-\mathrm{2,53}|-\mathrm{0,54}),(-\mathrm{1,79}|-\mathrm{0,58}),(\mathrm{1,79}|-\mathrm{0,58}),(\mathrm{2,53}|-\mathrm{0,54})$ Nullstellen: $-\mathrm{3,17};-\mathrm{2,62};-\mathrm{1,94};-\mathrm{0,78};\mathrm{0,78};\mathrm{1,94};\mathrm{2,62}$ $b(\mathrm{1,2})=\mathrm{3,08}{b}^{\prime }(\mathrm{1,2})=\mathrm{33,16}$ $]-\mathrm{\infty };0[\to fallend,$ $]0;+\mathrm{\infty }[\to steigend.$Die Funktion hat allerdings zahlreiche nicht definierbare Stellen. Kurvendiskussion Maturaaufgaben Die Vagina-Temperatur am Anfang des Geschlechsverkehrs (ca.) nach 1,28 und nach 6,46 min ca. 42,23°C $T^{\prime }(t)=0$setzen, also $-\frac{3}{8}{t}^2+\frac{5}{3}t=0,$dadurch bekommen wir eine Zeit $t_1,$diesen Wert in die Gleichung $T(t_1)=-\frac{1}{8}{t}_1^3+\frac{5}{6}{t}_1^2+\mathrm{36,9}$einsetzen, dadurch berechnen wir die gefragte Temperatur: ca. 42,39°C 2, da die Ableitung der Funktion höchstens 2 Nullstellen haben kann Erste Ableitung: wie schnell sich die Temperatur in Bezug auf die Zeit ändert (Einheiten: °C/min) Mittlere Änderungsrate der Temperatur in Bezug auf die Zeit in den ersten 3 Minuten ca. 53,81°, Mittlere Änderungsrate der Temperatur in Bezug auf die Zeit in den ersten 3 Minuten das 4. $-\frac{20}{9}h,$Die erste Ableitung zeigt uns wie schnell sich die Temperatur ändert, um ihre Extremstellen zu finden, müssen wir ihre Ableitung (also die Ableitung der Ableitung, d.h. die 2. Ableitung) gleich Null setzen: $g^{″}(t)=0\to$$-\frac{3}{4}t+-\frac{5}{3}=0$ (ca.) [−3,72;5,09], also 1,37 s Wie schnell sich die Temperatur in °C in Bezug auf die Zeit in h nach 0,7 h ändert Zeitpunkt, an dem die Temperatur sich lokal am schnellsten oder langsamsten ändert 4. Grad 3, da ihre Ableitung höchstens 3 Nullstellen haben kann ca. 31,77 Schusshöhe ca. 1,55 m nach 3 m ca. 36,9° ja, $\arctan \left(\frac{\mathrm{1,55}-\frac{3}{7}}{3}\right)\approx \mathrm{20,}{5}^{\circ }$ das 3. Die Kettenregel: $P^{\prime }(t)=-100\cdot b\cdot e^{-b\cdot t}$ Prozentsatz der Kugel, die gleich am Anfang geschossen wurden Gerade parallel zur x-Achse bei y=−0,5 Höhenpegel in cm bei 0°C Temperatur 2 cm $-\mathrm{1,62}0\mathrm{0,62}{}^{\circ }C$ erst $H^{\prime }(T)=0$setzen, also $3T^2+2T-1,$dadurch bekommen wir eine Temperatur $T_1,$diesen Wert in die Gleichung $H(T_1)=T_1^3+T_1^2-T_1+1$einsetzen, dadurch berechnen wir den gefragten Pegel: 2 cm 2, da die Ableitung der Funktion höchstens 2 Nullstellen haben kann Erste Ableitung: wie schnell sich der Pegel in Bezug auf die Temperatur ändert (Einheiten: cm/°C) Mittlere Änderungsrate des Pegels in Bezug auf die Temperatur zwischen −1 und 1°C 45°, Mittlere Änderungsrate des Pegels in Bezug auf die Temperatur zwischen 0 und 1°C das 2. $-\frac{1}{3}s,$Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit (g'(t)), um ihre Extremstellen zu finden, müssen wir ihre Ableitung (also die Ableitung der Ableitung, d.h. die 2. Ableitung der Geschwindigkeit) gleich Null setzen: $g^{″}(t)=0\to$$6t+2=0$ (ca.) [−1,84;1], also 2,84 s Beschleunigung am 0,7-te Sekunde Zeitpunkt mit der kleinsten Beschleunigung 5. Grad 4, da ihre Ableitung höchstens 4 Nullstellen haben kann −15,5 Wert der Aktie in €, wenn niemand gekündigt wird 100: ca. 2 oder ca. 398 Kündigungen, 1000: ca. 21 oder ca. 379 Kündigungen 200 Kündigungen, 5017 € ca. 1,4°, wenn die Einheiten der Achsen 1:1 verhalten ja, ca. 87,7° das 4. Die Multiplikationsregel: $w^{\prime }(t)=-\frac{10t}{t+1}-10\ln (t+1)$ Wert am Anfang der Sitzung Gerade parallel zur x-Achse bei y=2 Kurvendiskussion Umkehraufgaben $|\begin{array}{c}\circ 4=a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d\\ \circ 5=a\cdot \mathrm{3,}{4}^3+b\cdot \mathrm{3,}{4}^2+c\cdot \mathrm{3,4}+d\\ \circ 1=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d\\ \circ 0=3\cdot a\cdot \mathrm{3,}{4}^2+2\cdot b\cdot \mathrm{3,4}+c\end{array}$ $a\approx -\mathrm{1,968}b\approx \mathrm{13,0}c\approx -\mathrm{20,4}d=1$ $s(x)=-x^2+12x-32$ $|\begin{array}{c}\circ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\ \circ 0=a\cdot 5^2+b\cdot 5+c\\ \circ 0=2\cdot a\cdot 2+b\end{array}$ $a=-\mathrm{0,6}b=\mathrm{2,4}c=3$ $f(x)=-\frac{2}{27}{x}^3+\frac{4}{9}{x}^2-\frac{7}{18}x+\frac{16}{27}$ $|\begin{array}{c}\circ 0=a\cdot 0^4+b\cdot 0^3+c\cdot 0^2+d\cdot 0+e\\ \circ 0=a\cdot 155^4+b\cdot 155^3+c\cdot 155^2+d\cdot 155+e\\ \circ 9=a\cdot \mathrm{77,}{5}^4+b\cdot \mathrm{77,}{5}^3+c\cdot \mathrm{77,}{5}^2+d\cdot \mathrm{77,5}+e\\ \circ \mathrm{7,5}=a\cdot 39^4+b\cdot 39^3+c\cdot 39^2+d\cdot 39+e\\ \circ 0=4\cdot a\cdot \mathrm{77,}{5}^3+3\cdot b\cdot \mathrm{77,}{5}^2+2\cdot c\cdot \mathrm{77,5}+d\end{array}$ $a\approx \mathrm{1,0753}\cdot 10^{-7}b\approx \mathrm{0,00003}c\approx -\mathrm{0,00473}d\approx \mathrm{0,3324}e=0$ $s(x)=\frac{15}{64}{x}^2-\mathrm{1,35}$ $|\begin{array}{c}\circ 4=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\\ \circ 1=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\ \circ 5=a\cdot \mathrm{3,}{4}^2+b\cdot \mathrm{3,4}+c\end{array}$ $a=\frac{15}{34}b=-\frac{11}{34}c=1$ $r(x)=-\frac{1}{8}{x}^3+\frac{3}{4}{x}^2$ $|\begin{array}{c}\circ \mathrm{36,8}=a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d\\ \circ 41=a\cdot 3^3+b\cdot 3^2+c\cdot 3+d\\ \circ 0=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\ \circ 0=3\cdot a\cdot \mathrm{4,}{4}^2+2\cdot b\cdot \mathrm{4,4}+c\end{array}$ $a=-\frac{7}{54}\approx \mathrm{0,130}b=\frac{77}{90}=\mathrm{0,8}\dot{5}c\approx 0d=\mathrm{36,8}$ $h(x)\approx -\mathrm{0,4125}{x}^2+\mathrm{5,45}x-\mathrm{14,85}$ $|\begin{array}{c}\circ 0=a\cdot 3000^2+b\cdot 3000+c\\ \circ 900=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\ \circ 0=2\cdot a\cdot 900+b\end{array}$ $a=-\mathrm{0,00025}b=\mathrm{0,45}c=900$ $s(x)=-\frac{25}{14}{x}^4+\frac{16}{7}{x}^2-\mathrm{0,5}$ eine von zwei Möglichkeiten Antwort für diese Variante Alte Aufgaben $a\approx -\mathrm{1,66},b\approx \mathrm{13,13},c\approx -\mathrm{28,39},d\approx -\mathrm{0,85},e\approx \mathrm{42,33}$ $f(x)\approx -\mathrm{1,66}{x}^4+\mathrm{13,13}{x}^3-\mathrm{28,39}{x}^2-\mathrm{0,85}x+\mathrm{42,33}$ $a\approx -\mathrm{0,0083}b\approx \mathrm{0,85},c\approx -\mathrm{5,39},d\approx \mathrm{9,94},e\approx -\mathrm{2,26},f\approx -\mathrm{1,72}$ $f(x)\approx -\mathrm{0,0083}{x}^5+\mathrm{0,85}{x}^4-\mathrm{5,39}{x}^3+\mathrm{9,94}{x}^2-\mathrm{2,26}x-\mathrm{1,72}$ $a=-\frac{1}{18},b=\frac{2}{9},c=\frac{1}{6},d=1$ $f(x)=-\frac{1}{18}{x}^3+\frac{2}{9}{x}^2+\frac{1}{6}x+1$ $a\approx \mathrm{0,0047},b=-\mathrm{0,03125},c=-\mathrm{0,0375},d=\mathrm{0,375},e=\mathrm{1,575}$ $f(x)\approx \mathrm{0,0047}{x}^4-\mathrm{0,03125}{x}^3-\mathrm{0,0375}{x}^2+\mathrm{0,375}x+\mathrm{1,575}$ $a\approx \mathrm{0,159},b\approx -\mathrm{0,251},c\approx -\mathrm{2,41},d\approx -\mathrm{1,545}$ $f(x)\approx \mathrm{0,159}{x}^3-\mathrm{0,251}{x}^2-\mathrm{2,41}x-\mathrm{1,545}$ $a\approx \mathrm{0,14},b\approx -\mathrm{0,64},c=0,d\approx \mathrm{0,50},e=0$ $f(x)\approx \mathrm{0,14}{x}^4-\mathrm{0,64}{x}^3+\mathrm{0,50}x$