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# MathemaTriX ⋅ Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

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### Zahlenmengen

1.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {5}{13}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {26}{13}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {\sqrt {5}}{13}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle -{\sqrt {196}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {-4}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle {\sqrt {169}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {26}{13}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔

2.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {0{,}25}}{13}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {33}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {441}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {-9}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle 6}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {11}}{13}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {65}{13}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {8}{4}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔

3.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {144}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle +{\frac {39}{3}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {13}{6{,}5}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {\sqrt {81}}{13}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {8}}{13}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {289}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle -{\sqrt {-6}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔

4.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {0{,}5}{\sqrt {0{,}0625}}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {38}{3}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {52}{1{,}3}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {169}}{13}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {-9}}{13}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle 28}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle -{\sqrt {(-25)(-4)}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {18}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔

5.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {11}{7}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {28}{7}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {\sqrt {7}}{15}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {15}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle -{\sqrt {625}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {-121}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle {\sqrt {256}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {45}{15}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔

6.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {0{,}09}}{11}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {70}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {1600}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {-25}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle 6}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {33}}{33}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {60}{12}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {33}{11}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔

7.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {81}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle +{\frac {70}{5}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {23}{11{,}5}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {\sqrt {144}}{12}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {27}}{9}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {324}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle -{\sqrt {-35}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle {\sqrt {49}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔

8.  Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? ${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ }$ ${\displaystyle \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ }$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {0{,}2}{\sqrt {0{,}01}}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {45}{6}}}$ ✘ ✘ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {42}{1{,}4}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {289}}{17}}}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {-16}}{4}}}$ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ${\displaystyle 41}$ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle -{\sqrt {(-16)(-9)}}}$ ✘ ✔ ✔ ✘ ✔ ${\displaystyle {\sqrt {12}}}$ ✘ ✘ ✘ ✔ ✔

### Mengenlehre

#### Mengenlehre Aufgabebeispiel

1. ${\displaystyle C=S1\bigcap S2\bigcap S3\ }$also 13 Personen.
2. ${\displaystyle G\bigcup B\bigcup A=\left(S1\bigcup S3\right)\setminus S2\ }$also 16 Personen.
3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Fächer Analysis und lineare Algebra aber doch nicht Zahlentheorie gewählt haben, also ${\displaystyle G\bigcup F\bigcup E}$. Das sind 54 Personen.
4. Das sind die Personen, die gleichzeitig Analysis und Zahlentheorie aber nicht lineare Algebra gewählt haben, also die Menge ${\displaystyle B}$. Das sind 9 Personen.
5. ${\displaystyle \left(S3\bigcap S2\right)\setminus S1\ }$

6. a=8, b=3
c=4, d=4
7. ca. 15,79%

1. A=8, B=43
C=37, D=27
E=35, F=0
U=S1, V=S2, W=S3
2. keine:177, eine:80
3. ${\displaystyle \left(S\bigcup P\right)\setminus M\ }$
4. Personen die kaum trainieren und viel rauchen aber nicht so viel Fett oder Fleisch essen
5. Die Grüne Fläche
6. Die gelbe Fläche
7. Die Personen die viel Fett oder Fleisch essen ohne die Personen, die viel rauchen oder kaum trainieren
1. ${\displaystyle S1\bigcap S2\bigcap S3\ =\emptyset \ =A\bigcap B\ }$ oder jede zufällige Schnittmenge der Mengen A bis F, also keine Person.
2. ${\displaystyle A\bigcup D=S1\setminus S2\ }$also 27 Personen.
3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Parteien Lila oder Blau mögen aber die Grüne Partei doch nicht, also ${\displaystyle A\bigcup B\bigcup C}$. Das sind 67 Personen.
4. Das sind die Personen, die sowohl die grüne und als auch die lila Partei mögen, allerdings ohne die blaue Partei zu mögen, also die Menge ${\displaystyle D}$. Das sind 7 Personen.
5. ${\displaystyle \left(S3\bigcap S2\right)\setminus S1\ }$

6. a=2, b=3
c=4, d=8
7. ca. 23,53%

1. A=14, B=1
C=24, D=3
E=36, F=19, G=22
U=S1, V=S2, W=S3
2. 72
3. ${\displaystyle \left(M\bigcup P\right)\setminus \left(S\bigcap M\right)\ }$
4. Personen die kaum trainieren und viel rauchen ohne die Personen die sowohl kaum trainieren als auch so viel Fett oder Fleisch essen
5. Entsprechend rot, gelb und grün
6. Die Grüne Fläche
7. Die Personen die viel Fett oder Fleisch essen und viel rauchen aber doch trainieren
1. ${\displaystyle B=S1\bigcap S2\bigcap S3\ =S3}$also 29 Personen.
2. ${\displaystyle C\bigcup A=\left(S1\bigcup S3\right)\setminus S2\ }$also 72 Personen.
3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Fächer Analysis und lineare Algebra gewählt haben allerdings ohne Zahlentheorie gewählt zu haben, also ${\displaystyle A\bigcup C\bigcup D}$ (${\displaystyle C}$ ist im Bild ohne ${\displaystyle B}$ gemeint). Das sind 125 Personen.
4. Das sind die Personen, die gleichzeitig Analysis und Zahlentheorie aber nicht lineare Algebra gewählt haben. Das ist die leere Menge: ${\displaystyle \left(S3\bigcap S1\right)\setminus S2=\emptyset }$, also keine Person.
5. ${\displaystyle S2\setminus S1\ }$
6. ja, z.B. : ${\displaystyle \Omega _{2}=S1,\ \Omega =S2,\ \Omega _{1}=S3}$
1. ${\displaystyle C=S1\bigcap S2\bigcap S3\ }$also 21 Personen.
2. ${\displaystyle G\bigcup B\bigcup A=\left(S1\bigcup S3\right)\setminus S2\ }$also 17 Personen.
3. Das sind die Personen, die zumindest eine der beiden Eigenschaften "Fleischesser" oder "oft fliegen" aufweisen aber doch nicht mit dem Auto zur Arbeit fahren, also ${\displaystyle G\bigcup F\bigcup E}$. Das sind 55 Personen.
4. Das sind die Personen, die gleichzeitig die Eigenschaften "Fleischesser" und "zur Arbeit mit dem Auto" aufweisen aber nicht so oft fliegen, also die Menge ${\displaystyle B}$. Das sind 9 Personen.
5. ${\displaystyle \left(S3\bigcap S2\right)\setminus S1\ }$
6. 12 Personen

### Aussagenlogik

#### Mengenlehre und Aussagenlogik

1. ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(x|(x\in A\lor x\in B)\land x\notin C}$
1. ${\displaystyle (A\cap B)\cup C=(x|(x\in A\land x\in B)\lor x\notin C}$
1. ${\displaystyle (C\cup B)\setminus A=(x|(x\in C\lor x\in B)\land x\notin A}$
1. ${\displaystyle (A\cup B)\cap C=(x|(x\in A\lor x\in B)\land x\in C}$
1. ${\displaystyle (A\setminus B)\cap C=(x|(x\in A\land x\notin B)\land x\in C}$
1. ${\displaystyle A\cup (B\setminus C)=(x|x\in A\lor (x\in B\land x\notin C)}$

#### Wahrheitstabellen

1. Belegung ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ Untersuchung w w f f f f w f w f f f w w f w f w w f w w f w
1. Belegung ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ Untersuchung w f w f w f w f w f w f f f w w f w w f w w f w
1. Belegung ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ Untersuchung w f w w f w w w f w f w w f w f f f w w f f f f
1. Belegung ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ Untersuchung w w w w f w w f w w f w f w f w f w f f w w f w
1. Belegung ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ Untersuchung f w f w f f f f f w w w w w w f f f w f f f w f
1. Belegung ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ Untersuchung f w f w f f f f w w f f w w w f f w w f f f f w

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