MathemaTriX ⋅ Geometrie der Ebene

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$

Definitionen der ebenen Geometrie

Grundbegriffe der Geometrie

Figuren

Beweise von Formeln mancher ebenen Figuren

Anwendung der Formeln

Variablen in der Geometrie

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

1. 1. $\ u\approx 175{,}9\ cm\quad A\approx 2463\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=9{,}6cm\quad A\approx 4{,}43\ cm^{2}\qquad$
2. 1. $\ u=112\ cm\quad A=784\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=10{,}1cm\quad A\approx 8{,}04\ cm^{2}\qquad$
3. 1. $\ u\approx 25{,}1\ cm\quad A\approx 50{,}3\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=10\ dm\quad A=6\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=14{,}8\ dm\quad A=13{,}44\ dm^{2}\qquad$
4. 1. $\ u=58{,}4\ dm\quad A=165{,}55\ dm^{2}\qquad$
   2. $\ u=8{,}80\ dm\quad A=6{,}16\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=114\ cm\quad A=306\ cm^{2}\qquad$
5. 1. $\ u\approx 88\ cm\quad A\approx 616\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=8{,}2\ dm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=4{,}8\ cm\quad A\approx 1{,}11\ cm^{2}\qquad$
6. 1. $\ u=56\ cm\quad A=196\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=82\ cm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u\approx 5{,}1\ cm\quad A\approx 2\ cm^{2}\qquad$
7. 1. $\ u\approx 12{,}55\ cm\quad A\approx 12{,}58\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=5\ dm\quad A=1{,}5\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=7{,}4\ dm\quad A=3{,}36\ dm^{2}\qquad$
8. 1. $\ u=29{,}2\ dm\quad A\approx 41{,}4\ dm^{2}\qquad$
   2. $\ u=4{,}4\ dm\quad A=1{,}54\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=57\ cm\quad A=76.5\ cm^{2}\qquad$

Umformen in der ebenen Geometrie konkret

1. $A=9\ cm^{2}$
2. $u\approx 12{,}23\ cm\qquad$
3. $A=90\ cm^{2}\qquad$
4. $A\approx 11{,}46\ cm^{2}\qquad$
5. $u=96\ cm\qquad$
6. $u=18\ dm\qquad$
7. $u=7{,}95\ dm\qquad$
8. $A\approx 6{,}93\ cm^{2}\qquad$

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt

Grundaufgaben

2. $r={\sqrt {\tfrac {A}{\pi }}}$
4. $a={\tfrac {u-2\cdot b}{2}}={\tfrac {u}{2}}-b$
6. $b={\sqrt {d^{2}-a^{2}}}$
8. $a={\sqrt {\tfrac {4A}{\sqrt {3}}}}\left(=2{\sqrt {\tfrac {A}{\sqrt {3}}}}={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\ }}\right)$
10. $b={\tfrac {u-2\cdot a}{2}}={\tfrac {u}{2}}-a$
12. $d={\frac {u}{\pi }}$
14. $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$
16. $d={\sqrt {\tfrac {4\,A}{\pi }}}$

Multiple choice

1. die vierte
2. keine
3. die dritte
4. die zweite
5. die vierte
6. die dritte
7. die dritte
8. die zweite

Trigonometrische Aufgaben

2. $b=H\cdot {\tfrac {\ \sin \alpha }{1+\sin \alpha }}$
3. 1. $AM={\tfrac {5\cdot h}{\sin \alpha }}\$
   2. $h={\tfrac {\sqrt {AL^{2}-(5\cdot d)^{2}\ }}{5}}$
5. ja, weil $h_{a}=m\cdot \sin \alpha \$(Skizze auch machen)
7. $\gamma =\arctan {\tfrac {EF}{AF}}$
8. 1. $A=AE^{2}\cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$
   2. $AE={\sqrt {{\tfrac {A}{\sin \beta \cdot \cos \beta }}\ }}$
   3. 4 dm
10. $EH=AH\cdot (\cos \beta \tan \alpha -\sin \beta )$

Ähnlichkeit von Figuren

1. $b'\approx 32\ mm\qquad k'\approx 36\ mm$
2. $g\approx 199\ mm\qquad a\approx 35\ mm$
3. $g'\approx 69\ dm\qquad k'\approx 84\ dm$
4. $g\approx 239\ mm\qquad a\approx 56\ mm$
5. $b'=11\ cm\qquad k'=13{,}75\ cm$
6. $g=12\ cm\qquad a=6\ cm$
7. $g'=12\ m\qquad k=15\ dm$
8. $g=64\ mm\qquad a=45\ mm$

Zusammengesetzte Figuren

Formel

1. 1. $A=a^{2}-{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-2\pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$
2. 1. $A=a^{2}-2\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}+\pi \left({\tfrac {a}{4}}\right)^{2}$
3. 1. $A=\ a^{2}-9\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$
4. 1. $A=\ {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$
5. 1. $A=2\ b\ r+\pi \ r^{2}$
   2. $A=a\cdot (b+2c)-(2\ b\ r+\pi \ r^{2})$
6. 1. $A=\ a^{2}\$
7. 1. $A=\ (20-3\ \pi )\ r^{2}$
8. 1. $A=\ 3\ \pi \ a^{2}$

Einheiten

2. $A=(19{,}75+2{,}25\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 26{,}82\ {\text{Einheiten}}$
4. $A=\ (3\ \pi \ 2{,}5^{2})\ \ {\text{Einheiten}}\approx 58{,}9\ {\text{Einheiten}}$
6. $A=(108+\pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 111{,}14\ \ {\text{Einheiten}}$
8. $A=25\ {\text{Einheiten}}$
10. $A=(36-9{\sqrt {3}}-2\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 14{,}13\ {\text{Einheiten}}$
12. $A=(67+11{,}875\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 104{,}3\ {\text{Einheiten}}$
14. $A=\ 9\ (20-3\ \pi )\ {\text{Einheiten}}\approx 95{,}2\ {\text{Einheiten}}$
16. $A=(47{,}5-4\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 35\ {\text{Einheiten}}$

Satz von Pythagoras

A

1. $145\ {\text{mm}}$
2. $112\ \ {\text{dm}}$
3. $18541\ \ {\text{cm}}$
4. $119\ \ {\text{mm}}$

B

1. $105\ {\text{cm}}^{2}$
2. ${\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}$
3. $90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}$
4. $221\ \ {\text{cm}}$
5. $90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}$
6. ${\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}$
7. $105\ {\text{cm}}^{2}$
8. $221\ \ {\text{cm}}$

Geometrie Beweise

1. hier
2. hier
3. hier
4. hier
5. Höhe auf einer Seite ziehen
6. Formel für Diagonale in Bezug auf die Seite
   beweisen und in die Fläche einsetzen
7. 
   

+

=

8. 
   

   $-$

   =