MathemaTriX ⋅ Geometrie der Ebene

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Definitionen der ebenen Geometrie

Grundbegriffe der Geometrie

Figuren

Beweise von Formeln mancher ebenen Figuren

Anwendung der Formeln

Variablen in der Geometrie

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

1. 1. $\ u\approx 175{,}9\ cm\quad A\approx 2463\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=9{,}6cm\quad A\approx 4{,}43\ cm^{2}\qquad$
2. 1. $\ u=112\ cm\quad A=784\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=164\ cm\quad A=16\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=10{,}1cm\quad A\approx 8{,}04\ cm^{2}\qquad$
3. 1. $\ u\approx 25{,}1\ cm\quad A\approx 50{,}3\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=10\ dm\quad A=6\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=14{,}8\ dm\quad A=13{,}44\ dm^{2}\qquad$
4. 1. $\ u=58{,}4\ dm\quad A=165{,}55\ dm^{2}\qquad$
   2. $\ u=8{,}80\ dm\quad A=6{,}16\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=114\ cm\quad A=306\ cm^{2}\qquad$
5. 1. $\ u\approx 88\ cm\quad A\approx 616\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=8{,}2\ dm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=4{,}8\ cm\quad A\approx 1{,}11\ cm^{2}\qquad$
6. 1. $\ u=56\ cm\quad A=196\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=82\ cm\quad A=4\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u\approx 5{,}1\ cm\quad A\approx 2\ cm^{2}\qquad$
7. 1. $\ u\approx 12{,}55\ cm\quad A\approx 12{,}58\ cm^{2}\qquad$
   2. $\ u=5\ dm\quad A=1{,}5\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=7{,}4\ dm\quad A=3{,}36\ dm^{2}\qquad$
8. 1. $\ u=29{,}2\ dm\quad A\approx 41{,}4\ dm^{2}\qquad$
   2. $\ u=4{,}4\ dm\quad A=1{,}54\ dm^{2}\qquad$
   3. $\ u=57\ cm\quad A=76.5\ cm^{2}\qquad$

Umformen in der ebenen Geometrie konkret

1. $A=9\ cm^{2}$
2. $u\approx 12{,}23\ cm\qquad$
3. $A=90\ cm^{2}\qquad$
4. $A\approx 11{,}46\ cm^{2}\qquad$
5. $u=96\ cm\qquad$
6. $u=18\ dm\qquad$
7. $u=7{,}95\ dm\qquad$
8. $A\approx 6{,}93\ cm^{2}\qquad$

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt

Grundaufgaben

2. $r={\sqrt {\tfrac {A}{\pi }}}$
4. $a={\tfrac {u-2\cdot b}{2}}={\tfrac {u}{2}}-b$
6. $b={\sqrt {d^{2}-a^{2}}}$
8. $a={\sqrt {\tfrac {4A}{\sqrt {3}}}}\left(=2{\sqrt {\tfrac {A}{\sqrt {3}}}}={\sqrt {A\cdot {\tfrac {4}{\sqrt {3}}}\ }}\right)$
10. $b={\tfrac {u-2\cdot a}{2}}={\tfrac {u}{2}}-a$
12. $d={\frac {u}{\pi }}$
14. $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$
16. $d={\sqrt {\tfrac {4\,A}{\pi }}}$

Multiple choice

1. die vierte
2. keine
3. die dritte
4. die zweite
5. die vierte
6. die dritte
7. die dritte
8. die zweite

Trigonometrische Aufgaben

2. $b=H\cdot {\tfrac {\ \sin \alpha }{1+\sin \alpha }}$
3. 1. $AM={\tfrac {5\cdot h}{\sin \alpha }}\$
   2. $h={\tfrac {\sqrt {AL^{2}-(5\cdot d)^{2}\ }}{5}}$
5. ja, weil $h_{a}=m\cdot \sin \alpha \$(Skizze auch machen)
7. $\gamma =\arctan {\tfrac {EF}{AF}}$
8. 1. $A=AE^{2}\cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$
   2. $AE={\sqrt {{\tfrac {A}{\sin \beta \cdot \cos \beta }}\ }}$
   3. 4 dm
10. $EH=AH\cdot (\cos \beta \tan \alpha -\sin \beta )$

Ähnlichkeit von Figuren

1. $b'\approx 32\ mm\qquad k'\approx 36\ mm$
2. $g\approx 199\ mm\qquad a\approx 35\ mm$
3. $g'\approx 69\ dm\qquad k'\approx 84\ dm$
4. $g\approx 239\ mm\qquad a\approx 56\ mm$
5. $b'=11\ cm\qquad k'=13{,}75\ cm$
6. $g=12\ cm\qquad a=6\ cm$
7. $g'=12\ m\qquad k=15\ dm$
8. $g=64\ mm\qquad a=45\ mm$

Zusammengesetzte Figuren

Formel

1. 1. $A=a^{2}-{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-2\pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$
2. 1. $A=a^{2}-2\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}+\pi \left({\tfrac {a}{4}}\right)^{2}$
3. 1. $A=\ a^{2}-9\ \pi \left({\tfrac {a}{6}}\right)^{2}$
4. 1. $A=\ {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}$
5. 1. $A=2\ b\ r+\pi \ r^{2}$
   2. $A=a\cdot (b+2c)-(2\ b\ r+\pi \ r^{2})$
6. 1. $A=\ a^{2}\$
7. 1. $A=\ (20-3\ \pi )\ r^{2}$
8. 1. $A=\ 3\ \pi \ a^{2}$

Einheiten

2. $A=(19{,}75+2{,}25\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 26{,}82\ {\text{Einheiten}}$
4. $A=\ (3\ \pi \ 2{,}5^{2})\ \ {\text{Einheiten}}\approx 58{,}9\ {\text{Einheiten}}$
6. $A=(108+\pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 111{,}14\ \ {\text{Einheiten}}$
8. $A=25\ {\text{Einheiten}}$
10. $A=(36-9{\sqrt {3}}-2\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 14{,}13\ {\text{Einheiten}}$
12. $A=(67+11{,}875\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 104{,}3\ {\text{Einheiten}}$
14. $A=\ 9\ (20-3\ \pi )\ {\text{Einheiten}}\approx 95{,}2\ {\text{Einheiten}}$
16. $A=(47{,}5-4\ \pi )\ \ {\text{Einheiten}}\approx 35\ {\text{Einheiten}}$

Satz von Pythagoras

A

1. $145\ {\text{mm}}$
2. $112\ \ {\text{dm}}$
3. $18541\ \ {\text{cm}}$
4. $119\ \ {\text{mm}}$

B

1. $105\ {\text{cm}}^{2}$
2. ${\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}$
3. $90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}$
4. $221\ \ {\text{cm}}$
5. $90{\sqrt {2}}\ \ {\text{mm}}\approx 127{,}3\ {\text{mm}}$
6. ${\sqrt {3362}}\ \ {\text{cm}}\approx 58{,}0\ {\text{cm}}$
7. $105\ {\text{cm}}^{2}$
8. $221\ \ {\text{cm}}$

Geometrie Beweise

1. siehe Theorie
2. siehe Theorie
3. siehe Theorie
4. siehe Theorie
5. siehe Theorie
6. siehe Theorie
7. 
   

+

=

8. 
   

   $-$

   =