MathemaTriX ⋅ Trigonometrische Funktionen

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

1. $\sin \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {3}{5}}\quad \cos \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {4}{5}}\quad \tan \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {3}{4}}$
2. $\sin \gamma ={\frac {c}{f}}={\frac {8}{17}}\quad \cos \gamma ={\frac {g}{f}}={\frac {15}{17}}\quad \tan \gamma ={\frac {c}{g}}={\frac {8}{15}}$
3. $\sin \theta ={\frac {y}{r}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$
4. $\sin \varepsilon ={\frac {e}{m}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \varepsilon ={\frac {f}{m}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \varepsilon ={\frac {e}{f}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Trigonometrische Umkehrfunktionen

1. 1. $\cos ={\frac {12}{13}}$
   2. $\theta \approx 22{,}62^{\circ }$
   3. $23{,}4\ cm$
   4. $\omega =\arccos \left({\tfrac {c}{b}}\right)\approx 57{,}28^{\circ }$
   5. $ca.\ 66{,}5^{\circ }$
2. 1. $\cos ={\frac {20}{29}}$
   2. $\theta \approx 46{,}40^{\circ }$
   3. $17{\frac {20}{21}}\,cm\approx 17{,}95\ cm$
   4. $\theta =\arctan \left({\tfrac {y}{x}}\right)\approx 28{,}39^{\circ }$
   6. $ca.\ 1{,}72^{\circ }$
3. 1. $\cos ={\frac {72}{97}}$
   2. $\theta \approx 42{,}08^{\circ }$
   3. $19{,}4\ cm$
   4. $\epsilon =\arctan \left({\tfrac {e}{f}}\right)\approx 39{,}04^{\circ }$
   6. $ca.\ 59{,}53^{\circ }$
4. 1. $\cos ={\frac {36}{85}}$
   2. $\theta \approx 64{,}94^{\circ }$
   3. ${\tfrac {85}{7}}\approx 12{,}14\ cm$
   4. $\phi =\arccos \left({\tfrac {e}{m}}\right)\approx 35{,}82^{\circ }$
   6. $ca.\ 11{,}31^{\circ }$

Trigonometrische Satz von Pythagoras

Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

1. a, b: Katheten, c: Hypotenuse.
   $a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \$
   $c^{2}\ (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )=c^{2}\ \rightarrow \ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$
2. $\textstyle \tan x={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\quad {\overset {erweitern}{=}}\quad {\frac {\quad {\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\quad }{\quad {\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\quad }}={\frac {\sin x}{\cos x}}$
3. $\textstyle \tan ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1$
4. hier klicken

Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

1. $\tan \alpha ={\tfrac {20}{21}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {20}{29}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {21}{29}}$
   $\alpha \approx 43{,}60^{\circ }\quad \beta \approx 46{,}40^{\circ }$
2. $\tan \alpha ={\tfrac {26}{69}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {69}{269}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {260}{269}}$
   $\alpha \approx 14{,}86^{\circ }\quad \beta \approx 75{,}14^{\circ }$
3. $\tan \alpha ={\tfrac {2}{3}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {2}{\sqrt {13}}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {3}{\sqrt {13}}}$
   $\alpha \approx 33{,}69^{\circ }\quad \beta \approx 56{,}31^{\circ }$
4. $\tan \alpha ={\tfrac {11{,}9}{12}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {119}{169}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {120}{169}}$
   $\alpha \approx 44{,}76^{\circ }\quad \beta \approx 45{,}24^{\circ }$

Einheitskreis

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

1. i) 17,46°+n·360° oder 162,54°+n·360°
   ii) 72,54°+n·360° oder 287,46°+n·360°
2. i) −17,46°+n·360° oder 197,46°+n·360°
   ii) 107,46°+n·360° oder 252,54°+n·360°
3. i) 53,13°+n·360° oder 126,87°+n·360°
   ii) 143,13°+n·360° oder 216,87°+n·360°
4. i) 315°+n·360° oder 225°+n·360°
   ii) 45°+n·360° oder 315°+n·360°

Radiant

1. 1. A)$\ 540^{\circ },\quad$ B)$\ 100^{\circ },\quad$C)$\ ca.\ 11{,}5^{\circ },\quad$D)$\ ca.\ 10{,}1^{\circ },\quad$E)$\ ca.\ 20626^{\circ }\quad$
   2. A)$\ ca.\ 5{,}24\ rad,\quad$B)$\ ca.\ 0{,}0035\ rad,\quad$C)$\ ca.\ 0{,}164\ rad,\quad$D)$\ 0{,}105\ rad,\quad$E)$\textstyle \ {\frac {3\pi }{4}}\ rad\quad$
   3. A) 4.Q$\quad$B) 2.Q$\quad$C) 2.Q$\quad$D) 1.Q$\quad$E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!
2. 1. A)$\ 900^{\circ },\quad$ B)$\ ca.\ 231^{\circ },\quad$C)$\ ca.\ 34{,}4^{\circ },\quad$D)$\ ca.\ 14{,}6^{\circ },\quad$E)$\ ca.\ 15470^{\circ }\quad$
   2. A)$\ ca.\ 3{,}49\ rad,\quad$B)$\ ca.\ 0{,}0087\ rad,\quad$C)$\ ca.\ 0{,}274\ rad,\quad$D)$\ 0{,}361\ rad,\quad$E)$\textstyle \ {\frac {19\pi }{10}}\ rad\quad$
   3. A) 3.Q$\quad$B) 4.Q$\quad$C) 4.Q$\quad$D) 1.Q$\quad$E) 1.Q
3. 1. A)$\ 720^{\circ },\quad$ B)$\ 252^{\circ },\quad$C)$\ ca.\ 28{,}6^{\circ },\quad$D)$\ ca.\ 11{,}4^{\circ },\quad$E)$\ ca.\ 18048^{\circ }\quad$
   2. A)$\ 1{,}3{\dot {8}}\pi \ rad,\quad$B)$\ ca.\ 0{,}0070\ rad,\quad$C)$\ ca.\ 0{,}246\ rad,\quad$D)$\ 0{,}361\ rad,\quad$E)$\textstyle \ ca.\ 3{,}80\ rad\quad$
   3. A) 2.Q$\quad$B) 3.Q$\quad$C) 4.Q$\quad$D) 1.Q$\quad$E) 2.Q aber mehr als Halbkreis!
4. 1. A)$\ 1260^{\circ },\quad$ B)$\ 210^{\circ },\quad$C)$\ ca.\ 85{,}9^{\circ },\quad$D)$\ ca.\ 14{,}2^{\circ },\quad$E)$\ ca.\ 24100^{\circ }\quad$
   2. A)$\ {\tfrac {\pi }{12}}\ rad,\quad$B)$\ \ {\tfrac {\pi }{225}}rad,\quad$C)$\ {\tfrac {7\pi ^{2}}{360}}\ rad,\quad$D)$\ {\tfrac {43}{252}}\ rad,\quad$E)${\tfrac {14\pi }{9}}\ rad\quad$
   3. A) 1.Q$\quad$B) zwischen 2. und 3. Q$\quad$C) 1.Q$\quad$D) 1.Q aber mehr als Halbkreis!$\quad$E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

Einheitskreis wichtige Punkte

1. 1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\sin x=0\Leftrightarrow x=n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
      $\sin x=1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
      $\sin x=-1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi -\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }-90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
2. 1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\sin x=cosx>0\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{4}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
      $\textstyle \cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }\pm 60^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
3. 1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\cos x=1\Leftrightarrow x=2\,n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
      $\cos x=0\Leftrightarrow x=\left(n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 180^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
      $\cos x=-1\Leftrightarrow x=(2\,n+1)\cdot \pi \ rad=(2\,n+1)\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
4. 1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
   2. $\cos x={\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\ n\cdot \pi \pm {\tfrac {\pi }{4}}\right)\ rad=2\ n\cdot \ 360^{\circ }\pm 45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
      $\cos x=-{\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=(2\,n+1\pm {\tfrac {\pi }{4}})\cdot \pi \ rad=(2\,n+1\pm {\tfrac {1}{4}})\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

Trigonometrische Funktionen Diagramm

Parameter im Diagramm der Sinusfunktion

1. 1. blau 1,1; rot 0,6
   2. rot, ?
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=2{,}4,\ \omega =3,\ c=0{,}4,\ \phi =0$
2. 1. blau −1,4; rot 2,4
   2. rot, $\pm \pi$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=0{,}6,\ \omega =2,\ c=0,\ \phi =-{\tfrac {\pi }{4}}$
3. 1. blau 3; rot 1
   2. keine, beide $\pm \pi$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=1,\ \omega =1,\ c=1,\ \phi =-{\tfrac {\pi }{4}}$
4. 1. blau 0; rot 1,6
   2. keine, blau $\pm \pi$, rot $-{\tfrac {3\pi }{4}}$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=2,\ \omega =1,\ c=-0{,}8,\ \phi ={\tfrac {\pi }{2}}$
5. 1. blau 2,6; rot 1,2
   2. rot, blau $\pm \pi$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=3{,}4,\ \omega ={\tfrac {1}{2}},\ c=0,\ \phi =<math>\pm \pi$</math>
6. 1. blau 0,6; rot 3,2
   2. keine, blau $\pm \pi$, rot $-{\tfrac {\pi }{4}}$
   3. Blau sin, Orange cos, grün tan
   4. $A0=0{,}6,\ \omega ={\tfrac {1}{4}},\ c=-1{,}4,\ \phi =<math>\pm \pi$

Sinus und Kosinussatz

Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

1. $125{,}93^{\circ }$
2. $d_{2}\approx 4{,}3\ cm$
3. $a\approx 3{,}94\ cm$
4. $d_{2}\approx 3{,}53\ cm$
5. $d\approx 3{,}95\ cm$
6. $d_{2}\approx 9{,}24\ cm$

Vermessungsaufgaben

1. $h\approx 7{,}56\ m,\quad d\approx 2{,}47\ m$
   

   
2. $d\approx 1037\ m$
   

   
3. $h\approx 13{,}54,\quad d\approx 2{,}84$
   

   
4. $d\approx 2826\ m$
   

   
5. $h\approx 11{,}55,\quad d\approx 3{,}86$
   

   
6. $d\approx 1719\ m$