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# MathemaTriX ⋅ Trigonometrische Funktionen

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### Definition von Sinus Kosinus und Tangens

1. ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {3}{5}}\quad \cos \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {4}{5}}\quad \tan \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {3}{4}}}$
2. ${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{f}}={\frac {8}{17}}\quad \cos \gamma ={\frac {g}{f}}={\frac {15}{17}}\quad \tan \gamma ={\frac {c}{g}}={\frac {8}{15}}}$
3. ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \theta ={\frac {y}{x}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
4. ${\displaystyle \sin \varepsilon ={\frac {e}{m}}={\frac {1}{2}}\quad \cos \varepsilon ={\frac {f}{m}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\quad \tan \varepsilon ={\frac {e}{f}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$

### Trigonometrische Umkehrfunktionen

1. ${\displaystyle \cos ={\frac {12}{13}}}$
2. ${\displaystyle \theta \approx 22{,}62^{\circ }}$
3. ${\displaystyle 23{,}4\ cm}$
4. ${\displaystyle \omega =\arccos \left({\tfrac {c}{b}}\right)\approx 57{,}28^{\circ }}$
5. ${\displaystyle ca.\ 66{,}5^{\circ }}$
1. ${\displaystyle \cos ={\frac {20}{29}}}$
2. ${\displaystyle \theta \approx 46{,}40^{\circ }}$
3. ${\displaystyle 17{\frac {20}{21}}\,cm\approx 17{,}95\ cm}$
4. ${\displaystyle \theta =\arctan \left({\tfrac {y}{x}}\right)\approx 28{,}39^{\circ }}$
5. ${\displaystyle ca.\ 1{,}72^{\circ }}$
1. ${\displaystyle \cos ={\frac {72}{97}}}$
2. ${\displaystyle \theta \approx 42{,}08^{\circ }}$
3. ${\displaystyle 19{,}4\ cm}$
4. ${\displaystyle \epsilon =\arctan \left({\tfrac {e}{f}}\right)\approx 39{,}04^{\circ }}$
5. ${\displaystyle ca.\ 59{,}53^{\circ }}$
1. ${\displaystyle \cos ={\frac {36}{85}}}$
2. ${\displaystyle \theta \approx 64{,}94^{\circ }}$
3. ${\displaystyle {\tfrac {85}{7}}\approx 12{,}14\ cm}$
4. ${\displaystyle \phi =\arccos \left({\tfrac {e}{m}}\right)\approx 35{,}82^{\circ }}$
5. ${\displaystyle ca.\ 11{,}31^{\circ }}$

### Trigonometrische Satz von Pythagoras

#### Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

1. a, b: Katheten, c: Hypotenuse.
${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \ }$
${\displaystyle c^{2}\ (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )=c^{2}\ \rightarrow \ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$
2. ${\displaystyle \textstyle \tan x={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\quad {\overset {erweitern}{=}}\quad {\frac {\quad {\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\quad }{\quad {\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\quad }}={\frac {\sin x}{\cos x}}}$
3. ${\displaystyle \textstyle \tan ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1}$
4. hier klicken

#### Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

1. ${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {20}{21}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {20}{29}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {21}{29}}}$
${\displaystyle \alpha \approx 43{,}60^{\circ }\quad \beta \approx 46{,}40^{\circ }}$
2. ${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {26}{69}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {69}{269}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {260}{269}}}$
${\displaystyle \alpha \approx 14{,}86^{\circ }\quad \beta \approx 75{,}14^{\circ }}$
3. ${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {2}{3}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {2}{\sqrt {13}}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {3}{\sqrt {13}}}}$
${\displaystyle \alpha \approx 33{,}69^{\circ }\quad \beta \approx 56{,}31^{\circ }}$
4. ${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {11{,}9}{12}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {119}{169}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {120}{169}}}$
${\displaystyle \alpha \approx 44{,}76^{\circ }\quad \beta \approx 45{,}24^{\circ }}$

### Einheitskreis

#### Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

1. i) 17,46°+n·360° oder 162,54°+n·360°
ii) 72,54°+n·360° oder 287,46°+n·360°
2. i) −17,46°+n·360° oder 197,46°+n·360°
ii) 107,46°+n·360° oder 252,54°+n·360°
3. i) 53,13°+n·360° oder 126,87°+n·360°
ii) 143,13°+n·360° oder 216,87°+n·360°
4. i) 315°+n·360° oder 225°+n·360°
ii) 45°+n·360° oder 315°+n·360°

1. A)${\displaystyle \ 540^{\circ },\quad }$ B)${\displaystyle \ 100^{\circ },\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 11{,}5^{\circ },\quad }$D)${\displaystyle \ ca.\ 10{,}1^{\circ },\quad }$E)${\displaystyle \ ca.\ 20626^{\circ }\quad }$
2. A)${\displaystyle \ ca.\ 5{,}24\ rad,\quad }$B)${\displaystyle \ ca.\ 0{,}0035\ rad,\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 0{,}164\ rad,\quad }$D)${\displaystyle \ 0{,}105\ rad,\quad }$E)${\displaystyle \textstyle \ {\frac {3\pi }{4}}\ rad\quad }$
3. A) 4.Q${\displaystyle \quad }$B) 2.Q${\displaystyle \quad }$C) 2.Q${\displaystyle \quad }$D) 1.Q${\displaystyle \quad }$E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!
1. A)${\displaystyle \ 900^{\circ },\quad }$ B)${\displaystyle \ ca.\ 231^{\circ },\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 34{,}4^{\circ },\quad }$D)${\displaystyle \ ca.\ 14{,}6^{\circ },\quad }$E)${\displaystyle \ ca.\ 15470^{\circ }\quad }$
2. A)${\displaystyle \ ca.\ 3{,}49\ rad,\quad }$B)${\displaystyle \ ca.\ 0{,}0087\ rad,\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 0{,}274\ rad,\quad }$D)${\displaystyle \ 0{,}361\ rad,\quad }$E)${\displaystyle \textstyle \ {\frac {19\pi }{10}}\ rad\quad }$
3. A) 3.Q${\displaystyle \quad }$B) 4.Q${\displaystyle \quad }$C) 4.Q${\displaystyle \quad }$D) 1.Q${\displaystyle \quad }$E) 1.Q
1. A)${\displaystyle \ 720^{\circ },\quad }$ B)${\displaystyle \ 252^{\circ },\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 28{,}6^{\circ },\quad }$D)${\displaystyle \ ca.\ 11{,}4^{\circ },\quad }$E)${\displaystyle \ ca.\ 18048^{\circ }\quad }$
2. A)${\displaystyle \ 1{,}3{\dot {8}}\pi \ rad,\quad }$B)${\displaystyle \ ca.\ 0{,}0070\ rad,\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 0{,}246\ rad,\quad }$D)${\displaystyle \ 0{,}361\ rad,\quad }$E)${\displaystyle \textstyle \ ca.\ 3{,}80\ rad\quad }$
3. A) 2.Q${\displaystyle \quad }$B) 3.Q${\displaystyle \quad }$C) 4.Q${\displaystyle \quad }$D) 1.Q${\displaystyle \quad }$E) 2.Q aber mehr als Halbkreis!
1. A)${\displaystyle \ 1260^{\circ },\quad }$ B)${\displaystyle \ 210^{\circ },\quad }$C)${\displaystyle \ ca.\ 85{,}9^{\circ },\quad }$D)${\displaystyle \ ca.\ 14{,}2^{\circ },\quad }$E)${\displaystyle \ ca.\ 24100^{\circ }\quad }$
2. A)${\displaystyle \ {\tfrac {\pi }{12}}\ rad,\quad }$B)${\displaystyle \ \ {\tfrac {\pi }{225}}rad,\quad }$C)${\displaystyle \ {\tfrac {7\pi ^{2}}{360}}\ rad,\quad }$D)${\displaystyle \ {\tfrac {43}{252}}\ rad,\quad }$E)${\displaystyle {\tfrac {14\pi }{9}}\ rad\quad }$
3. A) 1.Q${\displaystyle \quad }$B) zwischen 2. und 3. Q${\displaystyle \quad }$C) 1.Q${\displaystyle \quad }$D) 1.Q aber mehr als Halbkreis!${\displaystyle \quad }$E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

#### Einheitskreis wichtige Punkte

1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
2. ${\displaystyle \sin x=0\Leftrightarrow x=n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sin x=1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sin x=-1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi -\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }-90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
2. ${\displaystyle \sin x=cosx>0\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{4}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \textstyle \cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }\pm 60^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
2. ${\displaystyle \cos x=1\Leftrightarrow x=2\,n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 360^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow x=\left(n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 180^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos x=-1\Leftrightarrow x=(2\,n+1)\cdot \pi \ rad=(2\,n+1)\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
1. Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
2. ${\displaystyle \cos x={\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=\left(2\ n\cdot \pi \pm {\tfrac {\pi }{4}}\right)\ rad=2\ n\cdot \ 360^{\circ }\pm 45^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos x=-{\tfrac {1}{2}}\Leftrightarrow x=(2\,n+1\pm {\tfrac {\pi }{4}})\cdot \pi \ rad=(2\,n+1\pm {\tfrac {1}{4}})\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z} }$

### Trigonometrische Funktionen Diagramm

#### Parameter im Diagramm der Sinusfunktion

1. blau 1,1; rot 0,6
2. rot, ?
3. Blau sin, Orange cos, grün tan
4. ${\displaystyle A0=2{,}4,\ \omega =3,\ c=0{,}4,\ \phi =0}$
1. blau −1,4; rot 2,4
2. rot, ${\displaystyle \pm \pi }$
3. Blau sin, Orange cos, grün tan
4. ${\displaystyle A0=0{,}6,\ \omega =2,\ c=0,\ \phi =-{\tfrac {\pi }{4}}}$
1. blau 3; rot 1
2. keine, beide ${\displaystyle \pm \pi }$
3. Blau sin, Orange cos, grün tan
4. ${\displaystyle A0=1,\ \omega =1,\ c=1,\ \phi =-{\tfrac {\pi }{4}}}$
1. blau 0; rot 1,6
2. keine, blau ${\displaystyle \pm \pi }$, rot ${\displaystyle -{\tfrac {3\pi }{4}}}$
3. Blau sin, Orange cos, grün tan
4. ${\displaystyle A0=2,\ \omega =1,\ c=-0{,}8,\ \phi ={\tfrac {\pi }{2}}}$
1. blau 2,6; rot 1,2
2. rot, blau ${\displaystyle \pm \pi }$
3. Blau sin, Orange cos, grün tan
4. ${\displaystyle A0=3{,}4,\ \omega ={\tfrac {1}{2}},\ c=0,\ \phi =$\pm \pi }$$
1. blau 0,6; rot 3,2
2. keine, blau ${\displaystyle \pm \pi }$, rot ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{4}}}$
3. Blau sin, Orange cos, grün tan
4. ${\displaystyle A0=0{,}6,\ \omega ={\tfrac {1}{4}},\ c=-1{,}4,\ \phi =[itex]\pm \pi }$

### Sinus und Kosinussatz

#### Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

1. ${\displaystyle 125{,}93^{\circ }}$
1. ${\displaystyle d_{2}\approx 4{,}3\ cm}$
1. ${\displaystyle a\approx 3{,}94\ cm}$
1. ${\displaystyle d_{2}\approx 3{,}53\ cm}$
1. ${\displaystyle d\approx 3{,}95\ cm}$
1. ${\displaystyle d_{2}\approx 9{,}24\ cm}$

#### Vermessungsaufgaben

1. ${\displaystyle h\approx 7{,}56\ m,\quad d\approx 2{,}47\ m}$
2. ${\displaystyle d\approx 1037\ m}$
3. ${\displaystyle h\approx 13{,}54,\quad d\approx 2{,}84}$
4. ${\displaystyle d\approx 2826\ m}$
5. ${\displaystyle h\approx 11{,}55,\quad d\approx 3{,}86}$
6. ${\displaystyle d\approx 1719\ m}$

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