MathemaTriX ⋅ Exponential und Logarithmus Funktion

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AUFGABEN KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$ Wachstums- und Zerfallsprozessen Wachstum $\approx 1{,}73\ 10^{14}\ {\text{Personen!}}$ $\approx 9{,}22\ 10^{18}\ {\text{Körner!}}$ $\approx 75{,}7\approx 75\ {\text{Bakterien}}$ $\approx 340\ {\text{Millionen bzw. }}2{,}00\ {\text{Billionen Personen!}}$ $\approx 328\ {\text{Bakterien}}$ $\approx 318\ {\text{Menschen}}$ $\approx 20636\ {\text{Bakterien}}$ $\approx 9{,}8\ {\text{bzw. }}59\ {\text{Millionen Menschen}}$ Zerfall $\approx 40522\ {\text{Atome}}$ $\approx 4488601\ {\text{Personen}}$ $\approx 3{,}147\ {\text{Ampere}}$ $\approx 47847\ {\text{Atome}}$ $\approx 117686\ {\text{Bakterien}}$ $\approx 34{,}2{\text{°C}}$ $\approx 21700000\ {\text{Personen}}$ $\approx 136{,}12\ {\text{V}}$ Zinseszins $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$ $G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$ $G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$ $G_{106}\approx 242069{,}28\ {\text{€}}$ Exponentialfunktion Logarithmus Exponentialfunktion Etwas leichter Mavrit 100 (%) $M(t)=100\cdot 0{,}9481^{t}$ ca. 39,8 min $97{,}15\%$ das 2. und das 6. 2,5 Prozenteinheiten pro Minute $0<a<1,\quad t>0,\quad 0<M<M_{0}$ $38{,}3\%$ 3 min Grün 1,5 (Millionen) $M(t)=2\cdot 1{,}0140^{t}$ ca. 116,1 Jahre $3{,}616\%$ das 4. das 5. und das 6. 20000 Menschen pro Jahr $r>1,\quad z>0,\quad w>w_{0}$ $0{,}3\%$ ca. 28 Jahre ca. 48 Jahre, ca. 5 Millionen Biotoxac 100 (%) $M(t)=100\cdot 0{,}92587^{t}$ ca. 25,53 h $ca.94{,}56\%$ das 5. 2 Prozenteinheiten pro Stunde $0<c<1,\quad n>0,\quad 0<A<a$ $15{,}97\%$ 2 h Schwarz 3 (Millionen) $M(t)=3\cdot 1{,}00696^{t}$ ca. 158,4 Jahre ca. $8{,}21\%$ das 2. das 5. und das 6. 10000 Menschen pro Jahr $N>v,\quad b>0,\quad r>1$ $0{,}23\%$ 100 Jahre ca. 72 Jahre, ca 5,2 Millionen Etwas schwieriger Halbwertszeit Die Zeit, nachdem 30% des Schmutzes übrig bleibt ca.11,5 min $ca.\ N(t)=100\cdot 0{,}7937^{t}$ $ca.\ N(t)=100\cdot 0{,}9032^{t}$ ca. 409 s ca. 24,04%, also ja, das Modell könnte stimmen. Wissenschaft ist empirisch, man kann nicht die Realität an die Theorie anpassen... Einerseits wird diese Funktion nie null (die Hälfte von irgendwas außer null ist nie null). Andererseits haben wir Moleküle und die Funktion wird sicher unter 1 sein. das 4. 100(%) Untere Grenze für den Schmutzprozentsatz ca. 0,705 Prozenteinheiten pro Minute ca. 4,5 Prozenteinheiten pro Minute ca. 45,06% Verdoppelungszeit nach so viel Zeit wird die Bevölkerung das 7-fache sein ca. 45 Jahre $A(j)=1{,}5\cdot 1{,}0247^{j}\quad$A:Bevölkerung in Millionen, j:Zeit in Jahren $N(t)=0{,}8\cdot 1{,}0179^{t}\quad$N:Bevölkerung in Millionen, t:Zeit in Jahren ca. 3,9 Jahrzehnten $N(17)=0{,}8\cdot 1{,}0179^{1}7\approx 1{,}08\ Millionen,/$also passt, das Modell Das Wachstum der Bevölkerung ist nach z.B 1000 Jahren enorm Das 2. und das 5. 8 (Millionen) Untere Grenze der Einwohnerzahl in Millionen ca. 6592 Einwohner pro Jahr ca. 61200 Einwohner pro Jahr ca. 49,86% Halbwertszeit Nach t Stunden bleiben 30% der Bakterien übrig ca. 5,4 h $P(t)=100\cdot 0{,}7071^{t}\quad$P: Prozentsatz, t Zeit in h $P(t)=100\cdot 0{,}9146^{t}$ $ca.7{,}77\ h$ 76,51%, also ja Einerseits wird diese Funktion nie null (die Hälfte von irgendwas außer null ist nie null). Andererseits haben wir Bakterien und die Funktion wird sicher unter 1 sein. das 2., das 3. und das 4. 100(%) untere Grenze der Anzahl der Bakterien ca. 3,4 Prozenteinheiten pro Stunde ca. 4,06 Prozenteinheiten pro Stunde ca. $15{,}35\%$ Verdoppelungszeit nach so viel Zeit wird die Bevölkerung das 5-fache sein nach ca. 27 Jahren $B(z)=1{,}0234^{z}\quad$B: Bevölk.(Millionen), z:Zeit (Jahre) $E(x)=1{,}01948^{x}\quad$E:Einwohner (Millionen), x:Zeit (Jahre) ca. 3,593 Jahrzehnten Ja, das Modell Das Wachstum der Bevölkerung ist nach z.B 1000 Jahren enorm das 1. und das 4. 7 (Millionen) Untere Grenze der Einwohnerzahl in Millionen ca. 262800 Menschen pro Jahr ca. 68900 Menschen pro Jahr ca. $47{,}78\%$ Exponentialfunktion und Logarithmus $\lambda =\ln 2\approx 0{,}693\quad$ $a=e^{-1}\approx 0{,}368\quad$ $u=7^{7}=823543\quad$ $b=\log _{5}0{,}5\approx -0{,}431$ $\lambda =\ln 5\approx 1{,}609$ $\lambda =\ln 6\approx 1{,}79\quad$ $a=e^{-2}\approx 0{,}135\quad$ $u=5\quad$ $\theta =\log _{7}3{,}5\approx 0{,}644$ $\lambda =\ln 6\approx 1{,}792$ $\lambda =\ln 20\approx 3{,}00\quad$ $m=e^{0}=1\quad$ $v=2^{-1}={\tfrac {1}{2}}=0{,}5\quad$ $2^{-4}=0{,}0001$ $\lambda =\ln 3\approx 1{,}0986$ $\lambda =\ln 0{,}5\approx -0{,}693\quad$ $m=e^{-3}=0{,}0498\quad$ $v=3^{0}=1\quad$ $\alpha =\log _{7}27=1{,}694$ $\lambda =\ln 9\approx 2{,}19$ Arbeiten mit Logarithmen $\ v(3\log _{b}a+\log _{b}(b+c)-m)\qquad$ $\ \ln {\tfrac {c^{4}e^{5}}{6^{d}}}$ $\ -{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\right)-{\tfrac {7}{15}}\qquad$ $\ \ln {\tfrac {q^{d}e^{5d}}{6^{d}}}$ $\ v(3+\log _{a}(b+c)-m\log _{a}b)\qquad$ $\ \ln {c^{\sqrt[{5}]{7}}e^{6}}{6^{-{\frac {5}{7}}}}$ $\ {\sqrt {2}}(e+c\ln b-\ln(b+m))\qquad$ $\ \log _{v}{\tfrac {v^{4}e^{4}}{6^{d}}}$ $\ 2{,}4(\lg 3+\lg(10+c)-\lg b^{\tfrac {m}{7}})\qquad$ $\ \ln {\tfrac {c^{w}10^{n}}{6^{5}}}$ $\ 11(3+\log _{6}(13+c)-m\log _{6}b)\qquad$ $\ \log _{4}{\tfrac {4^{c}g^{g}}{g^{3}}}$ Exponentialfunktion Diagramm $c=1{,}4,\ a=-1,\ P(-1|1)\Rightarrow b\approx \ln {\tfrac {3}{5}}\approx 0{,}5$ $f(x)=-\ e^{0{,}5x}+1{,}6$ $c=1{,}4,\ a=-1{,}6,\ P(0{,}6|-2{,}2)\Rightarrow b\approx -1{,}5$ $f(x)=-1{,}6\ e^{1{,}5x}+1{,}6$ $c=-2,\ a=0{,}4,\ P(3{,}2|0)\Rightarrow b\approx {\tfrac {5}{16}}\ln 5\approx 0{,}5$ $f(x)=0{,}4\ e^{0{,}5x}-2$ $c=-0{,}8,\ a=0{,}4,\ P(2|1)\Rightarrow b\approx {\tfrac {5}{7}}\ln 2\approx 0{,}75$ $f(x)=0{,}4\ e^{0{,}75x}-0{,}8$ $c=0{,}4,\ a=1,\ P(1{,}4|2{,}4)\Rightarrow b\approx {\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {3}{5}}\approx 0{,}5$ $f(x)=\ e^{0{,}5x}+0{,}4$ $c=-1,\ a=-1,\ P(0{,}2|-2{,}2)\Rightarrow b\approx 5\ln {\tfrac {6}{5}}\approx 0{,}9$ $f(x)=-\ e^{0{,}9x}-1$ Logarithmus Textaufgaben $491{,}7\$Jahre $247{,}1\$Jahre $165{,}5\$Jahre $\approx 1{,}5\%$ $\approx 1202\$Jahre $3{,}63\$Tage $15{,}0\$Tage $33{,}5\$Tage $\approx 361\$Jahre nach 2010 $574\cdot 10^{18}=505\cdot 10^{18}\cdot a^{4}$ Auf a umformen und berechnen!