MathemaTriX ⋅ Exponential und Logarithmus Funktion

Hoch

STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT ${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Wachstums- und Zerfallsprozessen

Wachstum

1. $\approx 1{,}73\ 10^{14}\ {\text{Personen!}}$
2. $\approx 9{,}22\ 10^{18}\ {\text{Körner!}}$
3. $\approx 75{,}7\approx 75\ {\text{Bakterien}}$
4. $\approx 340\ {\text{Millionen bzw. }}2{,}00\ {\text{Billionen Personen!}}$
5. $\approx 328\ {\text{Bakterien}}$
6. $\approx 318\ {\text{Menschen}}$
7. $\approx 20636\ {\text{Bakterien}}$
8. $\approx 9{,}8\ {\text{bzw. }}59\ {\text{Millionen Menschen}}$

Zerfall

1. $\approx 40522\ {\text{Atome}}$
2. $\approx 4488601\ {\text{Personen}}$
3. $\approx 3{,}147\ {\text{Ampere}}$
4. $\approx 47847\ {\text{Atome}}$
5. $\approx 117686\ {\text{Bakterien}}$
6. $\approx 34{,}2{\text{°C}}$
7. $\approx 21700000\ {\text{Personen}}$
8. $\approx 136{,}12\ {\text{V}}$

Zinseszins

1. $G_{45}\approx 7794{,}47\ {\text{€}}$
2. $G_{15}\approx 11124{,}11\ {\text{€}}$
3. $G_{158}\approx 52989{,}79\ {\text{€}}$
4. $G_{106}\approx 242069{,}28\ {\text{€}}$

Exponentialfunktion Logarithmus

Exponentialfunktion

Etwas leichter

1. 1. Mavrit
   2. 100 (%)
   3. $M(t)=100\cdot 0{,}9481^{t}$
   4. ca. 39,8 min
   5. 
   6. $97{,}15\%$
   7. das 2. und das 6.
   8. 2,5 Prozenteinheiten pro Minute
   9. $0<a<1,\quad t>0,\quad 0<M<M_{0}$
   10. $38{,}3\%$
   11. 3 min
2. 1. Grün
   2. 1,5 (Millionen)
   3. $M(t)=2\cdot 1{,}0140^{t}$
   4. ca. 116,1 Jahre
   5. 
   6. $3{,}616\%$
   7. das 4. das 5. und das 6.
   8. 20000 Menschen pro Jahr
   9. $r>1,\quad z>0,\quad w>w_{0}$
   10. $0{,}3\%$
   11. ca. 28 Jahre
   12. ca. 48 Jahre, ca. 5 Millionen
3. 1. Biotoxac
   2. 100 (%)
   3. $M(t)=100\cdot 0{,}92587^{t}$
   4. ca. 25,53 h
   5. 
   6. $ca.94{,}56\%$
   7. das 5.
   8. 2 Prozenteinheiten pro Stunde
   9. $0<c<1,\quad n>0,\quad 0<A<a$
   10. $15{,}97\%$
   11. 2 h
4. 1. Schwarz
   2. 3 (Millionen)
   3. $M(t)=3\cdot 1{,}00696^{t}$
   4. ca. 158,4 Jahre
   5. 
   6. ca. $8{,}21\%$
   7. das 2. das 5. und das 6.
   8. 10000 Menschen pro Jahr
   9. $N>v,\quad b>0,\quad r>1$
   10. $0{,}23\%$
   11. 100 Jahre
   12. ca. 72 Jahre, ca 5,2 Millionen

Etwas schwieriger

1. 1. 
   2. Halbwertszeit
   3. Die Zeit, nachdem 30% des Schmutzes übrig bleibt
   4. ca.11,5 min
   5. $ca.\ N(t)=100\cdot 0{,}7937^{t}$
   6. $ca.\ N(t)=100\cdot 0{,}9032^{t}$
   7. ca. 409 s
   8. ca. 24,04%, also ja, das Modell könnte stimmen. Wissenschaft ist empirisch, man kann nicht die Realität an die Theorie anpassen...
   9. Einerseits wird diese Funktion nie null (die Hälfte von irgendwas außer null ist nie null). Andererseits haben wir Moleküle und die Funktion wird sicher unter 1 sein.
   10. das 4.
   11. 100(%)
   12. Untere Grenze für den Schmutzprozentsatz
   13. ca. 0,705 Prozenteinheiten pro Minute
   15. ca. 4,5 Prozenteinheiten pro Minute
   16. ca. 45,06%
2. 1. 
   2. Verdoppelungszeit
   3. nach so viel Zeit wird die Bevölkerung das 7-fache sein
   4. ca. 45 Jahre
   5. $A(j)=1{,}5\cdot 1{,}0247^{j}\quad$A:Bevölkerung in Millionen, j:Zeit in Jahren
   6. $N(t)=0{,}8\cdot 1{,}0179^{t}\quad$N:Bevölkerung in Millionen, t:Zeit in Jahren
   7. ca. 3,9 Jahrzehnten
   8. $N(17)=0{,}8\cdot 1{,}0179^{1}7\approx 1{,}08\ Millionen,/$also passt, das Modell
   9. Das Wachstum der Bevölkerung ist nach z.B 1000 Jahren enorm
   10. Das 2. und das 5.
   11. 8 (Millionen)
   12. Untere Grenze der Einwohnerzahl in Millionen
   13. ca. 6592 Einwohner pro Jahr
   14. ca. 61200 Einwohner pro Jahr
   15. ca. 49,86%
3. 1. 
   2. Halbwertszeit
   3. Nach t Stunden bleiben 30% der Bakterien übrig
   4. ca. 5,4 h
   5. $P(t)=100\cdot 0{,}7071^{t}\quad$P: Prozentsatz, t Zeit in h
   6. $P(t)=100\cdot 0{,}9146^{t}$
   7. $ca.7{,}77\ h$
   8. 76,51%, also ja
   9. Einerseits wird diese Funktion nie null (die Hälfte von irgendwas außer null ist nie null). Andererseits haben wir Bakterien und die Funktion wird sicher unter 1 sein.
   10. das 2., das 3. und das 4.
   11. 100(%)
   12. untere Grenze der Anzahl der Bakterien
   13. ca. 3,4 Prozenteinheiten pro Stunde
   14. ca. 4,06 Prozenteinheiten pro Stunde
   15. ca. $15{,}35\%$
4. 1. 
   2. Verdoppelungszeit
   3. nach so viel Zeit wird die Bevölkerung das 5-fache sein
   4. nach ca. 27 Jahren
   5. $B(z)=1{,}0234^{z}\quad$B: Bevölk.(Millionen), z:Zeit (Jahre)
   6. $E(x)=1{,}01948^{x}\quad$E:Einwohner (Millionen), x:Zeit (Jahre)
   7. ca. 3,593 Jahrzehnten
   8. Ja, das Modell
   9. Das Wachstum der Bevölkerung ist nach z.B 1000 Jahren enorm
   10. das 1. und das 4.
   11. 7 (Millionen)
   12. Untere Grenze der Einwohnerzahl in Millionen
   13. ca. 262800 Menschen pro Jahr
   14. ca. 68900 Menschen pro Jahr
   15. ca. $47{,}78\%$

Exponentialfunktion und Logarithmus

1. 1. $\lambda =\ln 2\approx 0{,}693\quad$
   2. $a=e^{-1}\approx 0{,}368\quad$
   3. $u=7^{7}=823543\quad$
   4. $b=\log _{5}0{,}5\approx -0{,}431$
   5. $\lambda =\ln 5\approx 1{,}609$
2. 1. $\lambda =\ln 6\approx 1{,}79\quad$
   2. $a=e^{-2}\approx 0{,}135\quad$
   3. $u=5\quad$
   4. $\theta =\log _{7}3{,}5\approx 0{,}644$
   5. $\lambda =\ln 6\approx 1{,}792$
3. 1. $\lambda =\ln 20\approx 3{,}00\quad$
   2. $m=e^{0}=1\quad$
   3. $v=2^{-1}={\tfrac {1}{2}}=0{,}5\quad$
   4. $2^{-4}=0{,}0001$
   5. $\lambda =\ln 3\approx 1{,}0986$
4. 1. $\lambda =\ln 0{,}5\approx -0{,}693\quad$
   2. $m=e^{-3}=0{,}0498\quad$
   3. $v=3^{0}=1\quad$
   4. $\alpha =\log _{7}27=1{,}694$
   5. $\lambda =\ln 9\approx 2{,}19$

Arbeiten mit Logarithmen

1. 1. $\ v(3\log _{b}a+\log _{b}(b+c)-m)\qquad$
   2. $\ \ln {\tfrac {c^{4}e^{5}}{6^{d}}}$
   
   
   
2. 1. $\ -{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\right)-{\tfrac {7}{15}}\qquad$
   2. $\ \ln {\tfrac {q^{d}e^{5d}}{6^{d}}}$
   
   
   
3. 1. $\ v(3+\log _{a}(b+c)-m\log _{a}b)\qquad$
   2. $\ \ln {c^{\sqrt[{5}]{7}}e^{6}}{6^{-{\frac {5}{7}}}}$
   
   
   
4. 1. $\ {\sqrt {2}}(e+c\ln b-\ln(b+m))\qquad$
   2. $\ \log _{v}{\tfrac {v^{4}e^{4}}{6^{d}}}$
   
   
   
5. 1. $\ 2{,}4(\lg 3+\lg(10+c)-\lg b^{\tfrac {m}{7}})\qquad$
   2. $\ \ln {\tfrac {c^{w}10^{n}}{6^{5}}}$
   
   
   
6. 1. $\ 11(3+\log _{6}(13+c)-m\log _{6}b)\qquad$
   2. $\ \log _{4}{\tfrac {4^{c}g^{g}}{g^{3}}}$
   
   
   

Exponentialfunktion Diagramm

1. $c=1{,}4,\ a=-1,\ P(-1|1)\Rightarrow b\approx \ln {\tfrac {3}{5}}\approx 0{,}5$
   $f(x)=-\ e^{0{,}5x}+1{,}6$
2. $c=1{,}4,\ a=-1{,}6,\ P(0{,}6|-2{,}2)\Rightarrow b\approx -1{,}5$
   $f(x)=-1{,}6\ e^{1{,}5x}+1{,}6$
3. $c=-2,\ a=0{,}4,\ P(3{,}2|0)\Rightarrow b\approx {\tfrac {5}{16}}\ln 5\approx 0{,}5$
   $f(x)=0{,}4\ e^{0{,}5x}-2$
4. $c=-0{,}8,\ a=0{,}4,\ P(2|1)\Rightarrow b\approx {\tfrac {5}{7}}\ln 2\approx 0{,}75$
   $f(x)=0{,}4\ e^{0{,}75x}-0{,}8$
5. $c=0{,}4,\ a=1,\ P(1{,}4|2{,}4)\Rightarrow b\approx {\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {3}{5}}\approx 0{,}5$
   $f(x)=\ e^{0{,}5x}+0{,}4$
6. $c=-1,\ a=-1,\ P(0{,}2|-2{,}2)\Rightarrow b\approx 5\ln {\tfrac {6}{5}}\approx 0{,}9$
   $f(x)=-\ e^{0{,}9x}-1$

Logarithmus Textaufgaben

1. 1. $491{,}7\$Jahre
   2. $247{,}1\$Jahre
   3. $165{,}5\$Jahre
2. 1. $\approx 1{,}5\%$
   2. $\approx 1202\$Jahre
3. 2. $3{,}63\$Tage
   3. $15{,}0\$Tage
   4. $33{,}5\$Tage
4. 1. $\approx 361\$Jahre nach 2010
   2. $574\cdot 10^{18}=505\cdot 10^{18}\cdot a^{4}$
      Auf a umformen und berechnen!