MathemaTriX ⋅ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Die Lageparameter

Lageparameter

1. 1. $D\approx 57{,}86\ kg\qquad Med=54\ kg\qquad Mod=65\ kg$
2. 1. $D=58{,}75\ kg\qquad Med=58{,}5\ kg\qquad Mod=45\ und\ 65\ kg$
3. 1. $D=11{,}{\dot {7}}\qquad Med=5{,}5\qquad Mod=2\ und\ 7$
4. 1. DE: $D=36\qquad Med=10\qquad Mod=1\ \&\ 10\quad$
      GR: $D=16\qquad Med=10\qquad Mod=1$
5. 1. $D=6\ {\text{bzw.}}\ 21\qquad Med=1\qquad Mod=1$
6. 1. $D=2{,}875\qquad Med=3{,}5\qquad Mod=2\ und\ 5$
7. 1. AT: $D=35{,}6\qquad Med=9\qquad Mod=2\ \&\ 10\quad$
      PO: $D=16\qquad Med=11\qquad Mod=1\&\ 11$
8. 1. $D=12\ {\text{bzw.}}\ 42\qquad Med=2\qquad Mod=2$

Durchschnitt

Median

Modus

Vergleichen von Mittelwerten

1. • Verteilung möglicherweise gleichmäßig
2. • Verteilung möglicherweise gleichmäßig
3. • Verteilung eher ungleichmäßig (?)
4. • DE: Verteilung ungleichmäßig
     GR: Verteilung möglicherweise gleichmäßig
5. • Verteilung ungleichmäßig
6. • Verteilung eher ungleichmäßig (?)
7. • AT: Verteilung ungleichmäßig
     PO: Verteilung möglicherweise gleichmäßig
8. • Verteilung ungleichmäßig

Mittelwerte Argumentationsaufgaben

1. • Was die Familien betrifft wird die Verteilung eindeutig gleichmäßig, sogar gleich verteilt. Was die einzelnen Personen betrifft, ist es nicht unbedingt so. Es kann sein, dass eine Familie viel mehr Personen hat als eine andere. Dann bekommt jede Person viel weniger.
     Beim CO₂ Ausstoß soll der Ausstoß pro Kopf verglichen werden. Manche Bedingungen, wie das Wetter, sollten auch berücksichtigt werden.
2. • Um die Frage zu beantworten brauchen wir auch die Größe des jeweiligen Schülers.
3. • Die Mischung aus positiven und negativen Werten kann sogar bei einer sehr stark ungleichmäßigen Verteilung den Unterschied zwischen Durchschnitt und Median sogar sehr stark schwächen. Der Vergleich verliert dadurch seine Aussagekraft.
4. • Beide Verteilungen sind ziemlich ungleichmäßig, allerdings ist der Median in Griechenland nicht so weit vom Durchschnitt. In den Zeitungen wurde der Median verglichen (der ist in GR größer), was völlig daneben ist (der Durchschnitt in DE ist viel höher als in GR). "Griechen" sind nicht "reicher" als "Deutsche", sondern das Vermögen in Deutschland wird ziemlich ungleichmäßiger als in Griechenland verteilt.
     Das (allerdings geliehene) Geld gelangt zu den Geldgebern in Deutschland. Das führt zu einer Verstärkung der Ungleichmäßigkeit in DE (und allerdings auch in GR).
5. • Obwohl in beiden Verteilungen alle Werte 1 sind und nur eine ca. 100, ist der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nur in der Verteilung mit der kleinen Anzahl groß. Die Ungleichmäßigkeit der Verteilung wird mit steigender Anzahl der Werte weniger sichtbar, zumindest was den Vergleich von Median und Durchschnitt betrifft.
6. • Die Mischung aus positiven und negativen Werten kann sogar bei einer sehr stark ungleichmäßigen Verteilung den Unterschied zwischen Durchschnitt und Median sogar sehr stark schwächen. Der Vergleich verliert dadurch seine Aussagekraft.
7. • Beide Verteilungen sind ziemlich ungleichmäßig, allerdings ist der Median in Portugal nicht so weit vom Durchschnitt. In den Zeitungen wurde der Median verglichen (der ist in PO größer), was völlig daneben ist (der Durchschnitt in AT ist viel höher als in PO). "Portugiesen" sind nicht "reicher" als "Österreicher", sondern das Vermögen in Österreich wird ziemlich ungleichmäßiger als in Protugal verteilt.
     Das (allerdings geliehene) Geld gelangt zu den Geldgebern in Österreich. Das führt zu einer Verstärkung der Ungleichmäßigkeit in AT (und allerdings auch in PO).
8. • Obwohl in beiden Verteilungen alle Werte 0,5 sind und nur eine ca. 55, ist der Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nur in der Verteilung mit der kleinen Anzahl groß. Die Ungleichmäßigkeit der Verteilung wird mit steigender Anzahl der Werte weniger sichtbar, zumindest was den Vergleich von Median und Durchschnitt betrifft.

Die Streumaßen

Streumaßen

1. 1. 69,3 bzw. 10,3
   2. Wie viel jede Person wiegen würde, wenn alle das gleiche wiegen würden; Wie viel das Gewicht von diesem Durchschnitt in etwa durchschnittlich abweicht

   3. 2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      $\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {2}{36}}\$	$\ {\tfrac {3}{36}}\$	$\ {\tfrac {4}{36}}\$	$\ {\tfrac {5}{36}}\$	$\ {\tfrac {6}{36}}\$	$\ {\tfrac {5}{36}}\$	$\ {\tfrac {4}{36}}\$	$\ {\tfrac {3}{36}}\$	$\ {\tfrac {2}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$

   4. 7 bzw. 7
   5. Erwartungswert: der Durchschnitt der Augensumme, wenn ich unendlich viele Male würfle
      Wahrscheinlichster Wert: die Augensumme, die nach ein mal (beide Würfel) Würfeln am wahrscheinlichsten ist
   6. $\ {\tfrac {1}{6}}\$
2. 1. Rot: Med=6,5 Sp=0; Schwarz: Med=8, Sp=8,5; Grün: Med=5, Sp=11
   2. Gleich
   3. $\sigma \approx 3{,}23$

   4. 1	2	3	4	5	6
      $\ {\tfrac {4}{9}}\$	$\ {\tfrac {5}{18}}\$	$\ {\tfrac {10}{63}}\$	$\ {\tfrac {5}{63}}\$	$\ {\tfrac {2}{63}}\$	$\ {\tfrac {1}{126}}\$

   5. 2
   6. Nach 2 mal durchschnittlich wird eine schwarze Kugel zum ersten Mal gezogen, wenn wir den Versuch unendlich oft wiederholen
3. 1. das 3.
   2. 2,8
   3. $0{,}15\cdot 1+0{,}2\cdot 2+0{,}4\cdot 3+0{,}2\cdot 4+0{,}05\cdot 5$

   4. 3	4	5	6	7
      $\ {\tfrac {1}{35}}\$	$\ {\tfrac {3}{35}}\$	$\ {\tfrac {6}{35}}\$	$\ {\tfrac {10}{35}}\$	$\ {\tfrac {15}{35}}\$

   5. $E(x)={\tfrac {210}{35}}=6;\ bzw.7$
   6. E(x): wie oft es durchschnittlich gezogen wird, wenn der Versuch unendlich oft wiederholt wird; Wahrscheinlichster Wert: wie oft ich am wahrscheinlichsten ziehen muss, wenn ich den Versuch ein mal mache
4. 1. das 3.
   2. 21,93
   3. ${\tfrac {2\cdot 18+4\cdot 23+1\cdot 21+2\cdot 19+5\cdot 24}{14}}$

   4. Gewicht G:	60 g	70 g	80 g
      P(G)	68,57%	0%	31,43%

   5. 2	3
      $\ {\tfrac {5}{7}}\$	$\ {\tfrac {2}{7}}\$

   6. $E(x)={\tfrac {16}{7}}\approx 2{,}3$, Wahrscheinlichster: 2
5. 1. Rot: Med=6,5 Sp=0; Schwarz: Med=7,5, Sp=8,8; Grün: Med=5, Sp=10
   2. rot
   3. $\sigma =0$

   4. Summe S:	6	7	8	9	10	11
      P(S)	26,2%	39,3%	9,5%	9,5%	15,5%	0%

   5. Züge Z:	2	3	4
      P(Z)	58,33%	21,43%	20,24%

   6. ca. 2,62 bzw. 2 Züge

Streuungsmaßen um den Durchschnitt (um das arithmetische Mittel)

Streuungsmaßen um den Median (den Zentralwert)

1. 1. 
   2. 1. Med=11 , Q1=10 , Q3=13 , IQR=3 , Ausr.=1 und 18 , Span=12 , Max=5,5 , Min=17,5 .
      2. Med=11 , Q1=9 , Q3=13 , IQR=4 , Ausr.= keiner , Span=16 , Max=3 , Min=19.
2. 1. 
   2. 1. Med=2,7 , Q1=1,2 , Q3=4 , IQR=2,8 , Ausr.=keiner , Span=5,6 , Max=5,6 , Min=0.
      2. Med= , Q1= , Q3= , IQR= , Ausr.= , Span= , Max= , Min= .
3. 1. 
   2. 1. Med=15 , Q1=12 , Q3=17 , IQR=5 , Ausr.=keiner , Span=11 , Max=20 , Min=9 .
      2. Med=15 , Q1=14,5 , Q3=16 , IQR=1,5 , Ausr.=keiner , Span=8 , Max=18 , Min=10 .
4. 1. 
   2. 1. Med=29 , Q1=26 , Q3=30 , IQR=4 , Ausr.=39 und 42 , Span=14 , Max=38 , Min=24 .
      2. Med=24 , Q1=22 , Q3=27 , IQR=3 , Ausr.=38 , Span=13 , Max=33 , Min=20 .
5. 1. 
   2. 1. Med=0,7 , Q1=0,2 , Q3=1,4 , IQR=1,2 , Ausr.=keiner , Span=3,6 , Max=2 , Min=−1,6 .
      2. Med=0,6 , Q1=0,1 , Q3=1,3 , IQR=1,2 , Ausr.=keiner , Span=5 , Max=3,3 , Min=−1,7 .
6. 1. 
   2. 1. Med=45 , Q1=41,5 , Q3=47 , IQR=5,5 , Ausr.=keiner , Span=13,5 , Max=49,5 , Min=36 .
      2. Med=39 , Q1=37 , Q3=42 , IQR=5 , Ausr.=keiner , Span=16 , Max=48 , Min=32 .

Baumdiagramm

Urne

1. 1. $\ {\frac {1}{21}}\quad$
   2. $\ {\frac {10}{63}}\quad$
   3. $\ {\frac {10}{21}}\quad$
   4. $\ {\frac {5}{14}}\quad$
   5. $\ {\frac {240}{729}}\quad$
2. 1. $\ {\frac {5}{182}}\quad$
   2. $\ {\frac {15}{91}}\quad$
   3. $\ {\frac {45}{91}}\quad$
   4. $\ {\frac {45}{182}}\quad$
   5. $\ {\frac {675}{2744}}\quad$
3. 1. $\ {\frac {15}{26}}\quad$
   2. $\ 0\quad$
   3. $\ {\frac {1}{78}}\quad$
   4. $\ {\frac {1}{26}}\quad$
   5. $\ {\frac {5}{13}}\quad$
   6. $\ {\frac {726}{2197}}\quad$
   7. $\ {\frac {8}{2197}}\quad$
4. 1. $\ {\frac {7}{33}}\quad$
   2. $\ {\frac {4}{165}}\quad$
   3. $\ {\frac {14}{165}}\quad$
   4. $\ {\frac {14}{55}}\quad$
   5. $\ {\frac {28}{55}}\quad$
   6. $\ {\frac {588}{1331}}\quad$
   7. $\ {\frac {64}{1331}}\quad$

Matura

1. 1. 
   2. Gruppe 0, R-
   3. R-
   4. B oder 0 R-
   5. 97,48%

   6. 1	2	3	5	6	7	8	9	10
      $\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {7}{36}}\$	$\ {\tfrac {7}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$

   7. $\ 4{,}08{\dot {3}}$ vorgerückte Felder durchschnittlich
3. 1. ${\text{P}}(''{\text{Kugel nicht rot}}'')={\tfrac {c-5}{c}}$
   2. 
      
   3. ohne
   4. 2 oder 10

   5. 2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      $\ {\tfrac {1}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{18}}\$	$\ {\tfrac {1}{12}}\$	$\ {\tfrac {1}{9}}\$	$\ {\tfrac {5}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{6}}\$	$\ {\tfrac {5}{36}}\$	$\ {\tfrac {1}{9}}\$	$\ {\tfrac {1}{12}}\$	$\ {\tfrac {1}{18}}\$	$\ {\tfrac {1}{36}}\$

   6. mindestens 5 und höchstens 8
   7. ca. 61,59%
4. 1. in einem Gerät funktioniert nur das Element B nicht
   2. ca. 5,89%
   3. ca. 99,8897%
   4. ca. 99,9994%
   5. ca. 94,11%, Gegenereignisse
   6. 1
   7. ca. 92,32%

5. 1. $20\ \left({\tfrac {4}{7}}\right)\$	$\ \ 40\ \left({\tfrac {3}{7}}\right)\$
      $\swarrow \ \searrow$	$\swarrow \ \searrow$
      $20\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\quad 40\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\$	egal
      $\swarrow \ \searrow \qquad \qquad$
      egal$\qquad \qquad$

   2. 2	3
      $\ {\tfrac {5}{7}}\$	$\ {\tfrac {2}{7}}\$

   3. $\ {\tfrac {16}{7}}\approx 2{,}29$

   4. $A=1\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\$	$A=2\ \left({\tfrac {1}{6}}\right)\$	$A>2\ \left({\tfrac {2}{3}}\right)\$
      $\swarrow \ \searrow$	$\swarrow \ \searrow$
      $A\leq 3\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\quad A>3\ \left({\tfrac {1}{2}}\right)\$	$A\leq 2\ \left({\tfrac {1}{3}}\right)\quad A>2\ \left({\tfrac {2}{3}}\right)\$

   5. $\ {\tfrac {5}{36}}\$
   6. ca. 2,15%
   7. $\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot \left({\tfrac {31}{36}}\right)^{n}\cdot {\tfrac {5}{36}}\approx 7{,}2$

6. 1. $K\ 0{,}255\$	$\ \ G\ 0{,}745\$
      $\swarrow \ \searrow$	$\swarrow \ \searrow$
      $+\ 0{,}996\quad -\ 0{,}004\$	$+\ 0{,}2\quad -\ 0{,}8\$

   2. 14,9%
   3. positives Testergebnis
   4. Kranke Person
   5. ca. 63,03%

   6. 1	2	3	4	5
      $\ {\tfrac {1}{2}}\$	$\ {\tfrac {2}{7}}\$	$\ {\tfrac {1}{7}}\$	$\ {\tfrac {2}{35}}\$	$\ {\tfrac {1}{70}}\$

   7. 1,8 bzw. 1
   8. $\ {\tfrac {13}{14}}\$
   9. 0,5

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomialverteilung

Grundaufgaben Binomial

1. 1. $E(x)=4{,}4\quad \sigma \approx 1{,}4$
      $P(X=3)\approx 17{,}2\%,\$
      4 weibliche Tiere
   2. $E(x)=6{,}05\quad \sigma \approx 1{,}65\$
      $P(X=3)\approx 5{,}1\%,$
      6 weibliche Tiere
   3. $P(X\leq 10)\approx 99{,}86\%$
   4. $P(X\geq 8)\approx 19{,}11\%$
2. 1. $E(x)=6{,}8\quad \sigma \approx 1{,}0\$
      $P(X=3)\approx 0{,}26\%,$
      7 mal belegte Seite
   2. $E(x)=9{,}35\quad \sigma \approx 1{,}18\$
      $P(X=9)\approx 28{,}66\%,$
      10 mal belegte Seite
   3. $P(X\leq 2)\approx 0{,}00\%$
   4. $P(X\geq 3)\approx 100{,}00\%$
3. 1. $E(x)=2{,}{\dot {2}}(rot)\quad \sigma \approx 1{,}{\dot {1}}\$
      $P(X=3)\approx 27{,}10\%,$
      2 rote Kugeln
   2. $E(x)=7{,}{\dot {1}}(rot)\quad \sigma \approx 1{,}99\$
      $P(X=12)\approx 6{,}14\%,$
      9 blaue Kugeln
   3. $P(X\geq 10)\approx 1{,}84\%$
   4. $P(X\leq 5)\approx 15{,}80\%$
4. 1. $E(x)=1{,}89\quad \sigma \approx 1{,}28\$
      $P(X=12)\approx 0\%,$
      2 Personen (ca. 29,1%)
   2. $E(x)=1{,}22\quad \sigma \approx 1{,}03\$
      $P(X=5)\approx 0{,}32\%,$
      1 Person (ca. 38,1%)
   3. $P(X\leq 4)\approx 97{,}75\%$
   4. $P(X\geq 4)\approx 1{,}48\%$

Matura Binomial

1. 1. $H(x)=1\quad E(x)\approx 1{,}65$
   2. Der Wahrscheinlichste Wert ist der am öfters vorkommende, der Erwartungswert ist ein Durchschnitt nach unendliche Wiederholungen
   3. E(x) bzw. σ(x)
   4. das 3.
   5. $p\approx 38{,}68\%\quad b\approx 324$
   6. Nein, p ist keine konstante Zahl
   7. $p\approx 11{,}93\%$
   8. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 48 Geräte genau 4 einen defekten A Teil haben
2. 1. $P(X=4)\approx 5{,}04\%\quad P(X\leq 4)\approx 98{,}41\%$
   2. $P(X\geq 7)\approx 8{,}43\%$
   3. A das 1., B das 4., C das 2.
   4. $P(X\leq 5)\approx 12{,}66\%\quad P(X\leq 5)\approx 88{,}47\%$
   5. $P(X=3)\approx 1{,}23\%\quad P(X\geq 3)\approx 99{,}82\%$
   6. A1-B3, A2-B2, A3-B1
   7. $P(X\leq 2)\approx 65{,}5\%$
   8. $P(X=5)\approx 3{,}95\%\quad P(X\leq 5)\approx 98{,}2\%$
3. 1. Laut Unternehmen 30,65%, laut Studie 96,92% dass eine Frau irgendwann Schwanger wird, wenn sie nur Kondom als Verhütungsmittel benutzt
   2. $H(x)=3\quad E(x)\approx 3{,}25$
   3. Der Wahrscheinlichste Wert ist der am öfters vorkommende, der Erwartungswert ist ein Durchschnitt nach unendliche Wiederholungen
   4. E(x) bzw. σ(x)
   5. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr unter 13 Frauen genau 4 schwanger werden, wenn sie ein Verhütungsmittel mit Pearl-Index 6 benutzen
   6. das 5.
   7. $p\approx 64{,}51\%\quad z\approx 42Frauen$
   8. $p\approx 5{,}63\%$ also Pearl-Index 5,63
   9. Eher nicht, da die Wahrscheinlichkeit einer Schwangerschaft dadurch von anderen Verhütungsmitteln möglicherweise auch beeinflusst wird.
4. 1. $P(X\leq 2)\approx 59{,}21\%$
   2. $P(X=6)\approx 0{,}13\%\quad P(X\geq 6)\approx 0{,}15\%$
   3. A das 2., B das 3.
   4. $P(X\leq 4)\approx 100\%\quad P(X\leq 4)\approx 81{,}84\%$
   5. $P(X=3)\approx 28{,}10\%\quad P(X\geq 3)\approx 60{,}42\%$
   6. A2-B1, A3-B1
   7. $P(X\leq 1)\approx 8{,}67\%$
   8. $P(X=5)\approx 15{,}99\%\quad P(X\leq 5)\approx 78{,}98\%$

Normalverteilung

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung

1. 1. $z\approx 67\%\$
   2. ca. 85,4 Jahre
   3. 72,5 80,2 bzw 87,9 Jahre
   4. Höhepunkt (Erwartungswert, Median, Modus)
   5. 
      die lila links im Vergleich zur grünen
   6. Die Fläche links vom Wert 89 Jahre schraffieren (fängt ein bisschen rechts von rechten Kästchen an)
   7. $z\approx 91{,}92\%$
   8. $z\approx 83{,}84\%$
   9. Geogebra benutzen und aufschreiben!
2. 1. $z\approx 4{,}648\%$
   2. ca. zwischen 4,76 und 5,64 m
   3. 4,70 m, 5,20 m, 5,70 m
   4. Wendepunkt (Stelle mit einer $\sigma$ Abstand von $\mu$
   5. Bei $\mu$ 5,20 m, jede Einheit $0{,}08{\dot {3}}$ m
   6. 
      die ganz spitze im Vergleich zur lila links
   7. Fläche links von 4,8 schraffieren (fängt ein bisschen links vom rechten Kästchen an)
   8. Auch 2,5
   9. Auf der x-Achse, 8 kleine Einheiten links und rechts von $\mu$
3. 1. $z\approx 29{,}9\%\$
   2. ca. 89,7 mg
   3. 82,8 86,2 bzw 89,6 mg
   4. Höhepunkt (Erwartungswert, Median, Modus)
   5. 
      eine der zwei Kurven (grün, blau) unterhalb der spitzen (rot)
   6. Die Fläche oberhalb des Wertes 89 mg schraffieren (fängt ein bisschen links dem rechten Kästchen an)
   7. $z\approx 8{,}08\%$
   8. $z\approx 91{,}92\%$
   9. Geogebra benutzen und aufschreiben!
4. 1. $z\approx 0{,}2\%$
   2. ca. zwischen 116,3 und 122,1 mmHg
   3. 111,8 119,2 bzw. 126,6 mmHg
   4. Wendepunkt (Stelle mit einer $\sigma$ Abstand von $\mu$
   5. Bei $\mu$ 119,2 mmHg, jede Einheit $2{,}4{\dot {6}}$ m
   6. 
      die ganz flache (blaue) im Vergleich zur lila links
   7. Fläche links von 114,8 schraffieren (fängt ein bisschen links von der Mitte an)
   8. Auch 12,5
   9. Auf der x-Achse, 8 kleine Einheiten links und rechts von $\mu$

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Grenzwerten

1. $\mu \approx 472\quad -/-\quad \sigma \approx 19$
2. $\mu \approx 976\quad -/-\quad \sigma \approx 20$
3. $\mu \approx 255{,}4\quad -/-\quad \sigma \approx 3{,}9$
4. $\sigma \approx 9{,}51\ {\text{g/l}}\quad -/-\quad \mu \approx 139{,}9,\$${\text{Grenzen: }}130{,}7-149{,}1\ {\text{g/l}}$

Normalverteilung und Funktionen

1. $\mu \approx 469{,}1\ \ \sigma \approx 10{,}4$
2. $\mu \approx 84{,}4\ \ \sigma \approx 3{,}6$
3. $\mu \approx 92{,}4\ \ \sigma \approx 9{,}1$
4. $\mu \approx 78{,}4\ \ \sigma \approx 5{,}7$

Satz von Bayes

Satz von Bayes konkretes Beispiel

1. $\ 42{,}{87}\%\quad$bzw. $\ 99{,}{21}\%\quad$
2. ${\frac {7}{16}}=43{,}75\%$
3. ${\frac {83}{148}}\approx 56{,}08\%$
4. ${\frac {4}{11}}=36{,}{\overline {36}}\%$

Satz von Bayes abstraktes Beispiel

1. ca. $\ 42{,}87\%$
2. ca. $\ 32{,}31\%$
3. ca. $\ 63{,}03\%$
4. $\ 21{,}{\dot {1}}\%$

Regression Korrelation

Regression und Korrelation

1. • Regression $T(H)=0{,}30\ H+78{,}27\$, y-Achsenabschnitt: Todesalter beim Zölibat
   • Korrelation $r=0{,}693$, das Modell ist für den Zusammenhang geeignet für Männer, einem Studium nach, sterben sie früher mit geringerer Sexhäufigkeit. Die Korrelation ist allerdings nicht so stark. Für Frauen gibt es noch nicht ausreichende Studien.
2. • Regression $T(t)=-1{,}06\ t+80{,}84\$, y-Achsenabschnitt: Todesalter der nicht-Raucher, Steigung: wie viele Jahre früher pro Zigarette man stirbt.
   • Korrelation $r=-0{,}837$, das Modell ist nicht schlecht, tatsächlich stirbt man früher, je mehr man raucht und die Korrelation ist tatsächlich ziemlich stark
3. • Regression $T(t)=0{,}62\ t+57{,}97\$, der y-Achsenabschnitt ist in diesem Fall sinnlos
   • Korrelation $r=0{,}439$, das Modell ist für den Zusammenhang nicht geeignet, man stirbt früher sowohl bei einem extrem hohen als auch bei einem extrem niedrigen BMI, eine quadratische Funktion ist besser, in diesem Fall ist die Regressionsparabel: T(t)=-0{,}11x^2+5{,}85x-0{,}84
4. • Regression $T(t)=-0{,}73\ t+78{,}66\$, y-Achsenabschnitt: Todesalter der nicht-Raucher, Steigung: wie viele Jahre früher pro Zigarette man stirbt.
   • Korrelation $r=-0{,}596$, das Modell ist nicht schlecht, tatsächlich stirbt man früher, je mehr man raucht und die Korrelation ist allerdings ziemlich stärker.

Lineare Funktion und Regression

1. 
   

   1. 

      $G(a)\approx 4{,}47\ a-8{,}1\$ (a in Jahre G in Kg)
   2. Gewicht bei Geburt, $ca.\ -8{,}1,\$sinnlos
   3. EXP: $R^{2}\approx 0{,}99,\$linear $R^{2}\approx 0{,}96\$

   4. 

      $G(g)\approx 0{,}49\ g-16{,}9\$ (g in cm G in Kg)
   5. Wie viel kg mehr pro cm mehr eine Person wiegt
   6. $56{,}7\ -\ 61{,}6$
   7. $r\approx 0{,}9956,\$fast vollständige Korrelation, die Änderung des Gewichts ist fast ausschließlich durch die Änderung der Größe zu erklären, Kausalität möglich
   8. nein
   9. 2,4 dm, 4 dm, 11,2 dm
   10. 2,4 dm
2. 
   
   1. $5\ {\text{W. mit 40 S.}}\qquad \ 8\ {\text{W. mit 65 S.}}\qquad$

   2. 

      $Z(t)\approx 805{,}7\ t+1657{,}4\$ (t in Jahre seit 2001, Z Anzahl der AbsolventInnen)
   3. Wie viel mehr AbsolventInnen es jedes Jahr gibt
   4. $r\approx 0{,}997,\$fast vollständige Korrelation, in der Vergangenheit gab es weniger AbsolventInnen und das Wachstum ihre Anzahl hängt extrem mit dem Verlauf der Jahren zusammen, Kausalität ist allerdings nicht vorstellbar
   5. Anzahl der AbsolventInnen im Jahr 2001, ca. 1657, sinnvoll(das wäre y-Achsenabshnitt)
      1999, dann hatte die Uni ihre ersten Absolventinnen
   6. ca. 2025
   7. nein
   8. ja
   9. 1800, 3000 bzw. 8400 AbsolventInnen
   10. 1800 AbsolventInnen
3. 
   

   1. 

      $T(h)\approx 0{,}302\ h-78{,}27\$ (h für Häufigkeit, T in Jahren)
   2. Todesalter bei Zölibat, $ca.\ 78{,}27,\$möglich
   3. EXP: $R^{2}\approx 0{,}477,\$linear $R^{2}\approx 0{,}480\$

   4. 

      $B(h)\approx -0{,}17\ g+5{,}13\$ (h für Häufigkeit, B Bierflaschen pro Woche)
   5. Wie viel Flaschen weniger getrunken werden, wenn ein mal mehr Sex gemacht wird (pro Woche)
   6. $5{,}47\ mal$
   7. $r\approx 0{,}9956,\$mittlere Korrelation, schwache Zusammenhang, die Kausalität könnte lauten: Je mehr Sex, desto weniger (Lust auf) Bier, sie könnte auch vekehrt sein: je mehr Bier, desto weniger Sex (Alkohol beeinflüsst die Sexualität tatsächlich negativ)
   8. nein
   9. 4,5, 10,5 bzw. 21 Gläser pro Woche
   10. 4,5 Gläser pro Woche
4. 
   
   1. $11\ {\text{F. mit 130 P.}}\qquad \ 15\ {\text{F. mit 150 P.}}\qquad$

   2. 

      $Z(t)\approx -1{,}67\ t+35{,}2\$ (t in Jahre seit 2001, Z Anzahl der Zigaretten)
   3. Wie viele Zigaretten mehr durchschnittlich täglich geraucht werden, wenn jemand ein Jahr früher stirbt
   4. $r\approx 0{,}9998,\$fast vollständige Korrelation, die Änderung des Todesjahres ist fast ausschließlich durch die Änderung der täglichen Zigarettenanzahl zu erklären, Kausalität möglich
   5. Wann ein nicht Raucher durchschnittlich stirbt, ca. 21, also im Jahr 2022, sinnvoll
   6. ca. 1998
   7. ja
   8. ja
   9. 6%, 14%, 28%
   10. 6%

Epidemiologie

Grundaufgaben Binomial

1. 1. ca. 1,27%
   2. ca. 32 Tage
   3. mehr als 3000%(!)
   4. Weniger als 15 Tage(!)