MathemaTriX ⋅ Beweise

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Erklärungen und Beweise

Potenzzahleneigenschaften

1. ${\frac {z^{n}}{z^{m}}}=z^{n-m}\ {\text{daher bspw.}}\ {\frac {z^{3}}{z^{3}}}={\frac {z\cdot z\cdot z}{z\cdot z\cdot z}}={\frac {{\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}}{{\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}}}\ _{({\text{kürzen}})}=$
   ${\text{...}}=1\quad {\text{aber auch ...}}=z^{3-3}=z^{0}\quad {\text{also}}\quad z^{0}=1$
2. ${\frac {z^{7}}{z^{4}}}={\frac {z\cdot z\cdot z\cdot z\cdot z\cdot z\cdot z}{z\cdot z\cdot z\cdot z}}=$
   ${\frac {{\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot z\cdot z}{{\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {z\cdot z\cdot z}{1}}=z^{3}\quad _{=(z^{7-4})}$
3. $w^{7}\cdot w^{4}=\underbrace {w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w} _{7\ mal}\cdot \underbrace {w\cdot w\cdot w\cdot w} _{4\ mal}=$
   $\underbrace {w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w\cdot w} _{11\ mal}=w^{1}1\quad _{(=w^{7+4})}$
4. ${\frac {z^{n}}{z^{m}}}=z^{n-m}\ {\text{daher bspw.}}\ {\frac {z^{3}}{z^{4}}}={\frac {z\cdot z\cdot z}{z\cdot z\cdot z\cdot z}}=$
   $={\frac {{\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}}{{\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot {\cancel {z}}\cdot z}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {1}{z}}=z^{-1}\quad _{=(z^{3-4})}$

Geometrische Erklärungen und Beweise

1. Das Ganze ist die
   Summe seiner Teilen
   $\textstyle A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_{D}$
   $\textstyle (a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}$
   $\textstyle a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2ab$
   $\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\$
2. Das Ganze ist die
   Summe seiner Teilen
   $\ \ \textstyle A_{gQ}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}$
   $\ \ \textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+a\ b+b\ a+b^{2}$
   $\ \ \textstyle (a+b)^{2}=a^{2}+2\ a\ b+b^{2}$
3. Das Ganze ist die
   Summe seiner Teilen
   $\ \ \textstyle A_{gQ}=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}$
   $\ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+(a-b)\cdot b+(a-b)\cdot b+b^{2}$
   $\ \ \textstyle a^{2}=(a-b)^{2}+a\cdot b-b^{2}+a\cdot b-b^{2}+b^{2}$
   $\ \ \textstyle (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$
4. Das Ganze ist die
   Summe seiner Teilen
   $\textstyle A_{gQ}=A_{kQ}+4\cdot A_{D}$
   $\textstyle c^{2}=(a-b)^{2}+4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}$
   $\textstyle c^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}+2ab$
   $\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\$
5. 
   

   

   Rechteck
6. 
   

   

   Parallelogramm
7. 
   

+

=

8. 
   

   $-$

   =

Direkte und indirekte Beweise

1. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_MA_TER/_Theorie/_Funktionen#Beweis_der_Formel_der_Steigung_einer_linearen_Funktion
2. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Aufgabenbeispiele/_Direkte_und_indirekte_Beweise#Gleichseitiges_Dreieck
3. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Aufgabenbeispiele/_Direkte_und_indirekte_Beweise#Quadratensummenformel
4. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Aufgabenbeispiele/_Direkte_und_indirekte_Beweise#Wurzel_3_Irrationalität
5. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_MA_TER/_Theorie/_Funktionen#Zusammenhang_linearer_Funktion_und_direkter_Proportionalität
6. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Aufgabenbeispiele/_Direkte_und_indirekte_Beweise#Goldener_Schnitt
7. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Aufgabenbeispiele/_Direkte_und_indirekte_Beweise#Summenformel_ungerader_Quadrate
8. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Aufgabenbeispiele/_Direkte_und_indirekte_Beweise#Minus_Punkt_Minus

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