Aufgaben zu Integralen – Mathe für Nicht-Freaks

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten]

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Aufgabe (HDI 1)

  1. Berechne und für , .
  2. Bestätige mit einfachen Ober- und Untersummen: und
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Lösung (HDI 1)

Teilaufgabe 1:

Da stetig ist, gilt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Weiter ist differenzierbar, und mit der Kettenregel folgt

Teilaufgabe 2:

1. Abschätzung: Da auf monoton fällt, gilt mit der Monotonie des Integrals:

sowie

2. Abschätzung: Ebenso ist auf monoton fallend, und mit der Linearität des Integrals folgt

Schließlich ist

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Aufgabe (HDI 2)

Gegeben sei .

  1. Bestimme den Definitionsbereich von .
  2. Untersuche das Monotonieverhalten von und bestimme gegebenenfalls Extrema.
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Lösung (HDI 2)

Teilaufgabe 1:

ist genau für alle reellen Zahlen definiert, für die der Integrand definiert und stetig ist. Dies ist zunächst auf als Komposition stetiger Funktionen der Fall. Weiter gilt

Siehe dazu die Anwendungsbeispiele zur Regel von L'Hospital. Somit ist in stetig fortsetzbar, und daher auf definiert.

Teilaufgabe 2:

Monotonie: Nach dem Monotoniekriterium ist genau dann streng monoton steigend bzw. fallend, wenn bzw. ist.

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nun für alle :

Weiter ist für :

Damit ist in streng monoton steigend und in streng monoton fallend.

Extrema: Es gilt:

Da rechts von monoton fällt, besitzt die Funktion dort eine lokale (Rand-)Extremstelle. Schließlich fällt links von und steigt rechts davon. Somit ist eine lokale Minimalstelle.

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To-Do:

konvexes und konkaves Verhalten

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Aufgabe (HDI 3)

Für sei die Funktion definiert durch .

  1. Begründe: hat im Nullpunkt ein globales Minimum.
  2. Berechne die Ableitung für .
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Lösung (HDI 3)

Teilaufgabe 1:

Zunächst ist

Für den Integranden gilt weiter auf :

Aus der Monotonie des Integrals folgt für alle :

Somit hat im Nullpunkt ein lokales und sogar globales Minimum.

Teilaufgabe 2:

Für die Hilfsfunktion

gilt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für alle :

Weiter ist

Mit der Kettenregel folgt damit für alle :

Substitutionsregel[Bearbeiten]

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Aufgabe (Substitutionsregel 1)

Berechne die unbestimmten Integrale

  1. für
  2. für
  3. für
  4. für
  5. für
  6. für
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Lösung (Substitutionsregel 1)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 4:

Teilaufgabe 5:

Teilaufgabe 6:

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Aufgabe (Substitutionsregel 2)

Berechne die bestimmten/unbestimmten Integrale

  1. für
  2. für
  3. für
  4. für
  5. für
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Lösung (Substitutionsregel 2)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 4:

Teilaufgabe 5:

1.Möglichkeit:

2.Möglichkeit:

3.Möglichkeit:

Teilaufgabe 6:

Teilaufgabe 7:

Teilaufgabe 8:

Partielle Integration[Bearbeiten]

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Aufgabe (Rekursionsformeln für Integrale)

Bestimme Rekursionsformeln für

  1. mit
  2. für und und berechne damit den Wert des Integrals.

Hinweis: Beim zweiten Integral dürft ihr verwenden, dass der Integrand im Nullpunkt stetig fortsetzbar ist, und dort den Wert null hat.

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Lösung (Rekursionsformeln für Integrale)

Teilaufgabe 1:

Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir

Ersetzen wir noch durch , so erhalten wir schließlich

Für und erhalten wir noch

und

Teilaufgabe 2:

Wiederholen wir die analoge Rechnung -Mal, so erhalten wir

Substitution und partielle Integration[Bearbeiten]

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Aufgabe

Bestimme die Integrale

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Lösung

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2: Aus der Teilaufgabe zuvor wissen wir, dass eine Stammfunktion von ist. Nun können wir partielle Integration verwenden. Wir haben also

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Aufgabe

Berechne für die Integrale

Hinweis: Unterscheide jeweils die Fälle und .

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Lösung

Teilaufgabe 1:

Fall 1:

Fall 2:

Subtrahieren wir nun das Integral auf der rechtenen Seite, so ist die gesamte Gleichung äquivalent zu

Daraus folgt schließlich

Teilaufgabe 2:

Fall 1:

Fall 2:

Subtrahieren wir nun das Integral auf der rechtenen Seite, so ist die gesamte Gleichung äquivalent zu

Daraus ergibt sich

Teilaufgabe 3:

Fall 1:

Fall 2:

Beispiele von Stammfunktionen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Stammfunktionen der hyperbolischen Funktionen)

Zeige:

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Aufgabe (Stammfunktionen der Area Funktionen)

Zeige:

Konvergenz von Integralen[Bearbeiten]

Die Funktionen haben jeweils das Integral und konvergieren punktweise gegen die Nullfunktion
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Aufgabe

Finde integrierbare Funktionen für alle , so dass

  1. Für alle gilt .
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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir machen eine Vorüberlegung. Angenommen, wir haben Funktionen gefunden, die die geforderten Eigenschaften erfüllen. Für alle betrachten wir die Funktion . Dann gilt:

  1. Für alle gilt .

Es reicht also, dass wir Funktionen suchen, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren, für die aber gilt.

Für alle ist eine reelle Zahl und die Folge dieser reelle Zahlen soll nicht gegen konvergieren. Wir versuchen, die so zu wählen, dass für alle gilt . Dann ist die zweite Bedingung erfüllt. Gleichzeitig müssen wir darauf achten, dass die erste Bedingung erfüllt wird.

Wie können wir sicherstellen, dass die erste Bedingung erfüllt ist? Für alle wählen wir so, dass für alle gilt .

Wir zeigen nun, dass dann die Folge der punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. Sei . Dann gibt es ein , so dass . Für alle gilt dann .

Jetzt müssen wir nur noch die Funktionswerte von im Intervall festlegen. Wir wählen sie so, dass die Funktionen jeweils konstant auf diesem Intervall sind, also für .

Dann ist auch die zweite Bedingung erfüllt, denn und wir sind fertig.

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Lösung

Wir setzen für alle

Für alle gibt es eine natürliche Zahl , so dass . Dann gilt für alle , dass . Somit konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.

Weiter gilt

Folglich sind beide Bedinungen erfüllt.