Untervektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Definition und Motivation[Bearbeiten]

Wie wir im Zusammenhang mit allgemeinen algebraischen Strukturen wie Gruppen oder Körper schon gesehen haben, spielen Unterstrukturen in der Mathematik eine große Rolle. Zur Wiederholung: Bei Unterstrukturen handelt es sich um Teilmengen eines Grundraumes, welche die gleichen Eigenschaften erfüllen wie dieser Grundraum. Eine Untergruppe ist zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Genauso ist ein Unterkörper eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist.

Die Gründe für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, weitere algebraische Strukturen zu definieren. Prominente Beispiele sind so genannte Quotientenräume. Ein anderer Nutzen von Unterstrukturen ist es, bestimmte algebraische Zusammenhänge zu erkennen. Eine algebraische Unterstruktur kann so als Spezialfall einer größeren Struktur aufgefasst werden. Ein Beispiel hiefür sind die ganzen Zahlen , die eine Untergruppe beziehungsweise einen Unterring von darstellen. Es lohnt sich also, solche Strukturen genauer zu untersuchen.

In der linearen Algebra betrachten wir eine neue algebraische Struktur: den Vektorraum. Wie vorher können wir auch hier die entsprechende Unterstruktur betrachten. Wir befassen uns also mit Teilmengen eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum bilden. Diese Teilmengen eines Vektorraums nennen wir Untervektorraum:

Definition (Untervektorraum)

Sei ein -Vektorraum. Dann heißt eine Teilmenge Untervektorraum von , falls selbst ein -Vektorraum ist.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Definition ändern, damit klar wird, dass auf die gleichen Verknüpfungen wie auf verwendet werden. Dabei die Einschränkung von Verknüpfungen auf erklären.

neuer Inhaltsplan[Bearbeiten]

Herleitung des Untervektorraumkriteriums[Bearbeiten]

  • Bei einem Beispiel beweisen wir mit den Vektorraumaxiomen, dass es ein UVR U vom VR V ist (am besten im )
  • Wir sehen, dass einige Axiome direkt folgen, ohne dass wir besondere Eigenschaften des UVRs benutzt haben.
  • Diese Eigenschaften folgen zum Teil direkt daraus, dass V ein Vektorraum
  • andere Eigenschaften kann man aus anderen herleiten (Existenz von Inverse)
  • Welche Eigenschaften fallen weg? Welche müssen wir speziell für U zeigen?
  • Das sollte auch im allgemeinen Fall für beliebiges V und V gelten
  • Jetzt benutzen wir die Beispiele für Nicht-Untervektorräume von unten, um zu sehen, dass wir die anderen Eigenschaften wirklich brauchen
  • Wir sehen ohne die übrigen Eigenschaft sind es keine UVR
  • Unsere Bedingungen sind also notwendig und hinreichend
  • Jetzt kommt der Satz vom Untervektorraumkriterium

Untervektorraumkriterium[Bearbeiten]

Was müssen wir nachprüfen, damit bei einem gegebenen Vektorraum eine Teilmenge ein Untervektorraum ist? Damit ein Vektorraum ist, müssen alle Vektorraumaxiome für gelten. Alle Axiome nachzuprüfen ist natürlich sehr zeitaufwendig. Es wäre schön, wenn wir ausnutzen können, dass schon ein Vektorraum ist. Vielleicht können wir damit die vielen Eigenschaften in der Vektorraumdefinition auf ein paar wenige herunterzubrechen. Zuerst fragen wir uns, was sind die notwendigen Eigenschaften?

Betrachtung der Ebene als Beispielvektorraum[Bearbeiten]

Um diese Frage zu beantworten, wählen wir uns den mit der klassischen Vektorraumaddition und Skalarmultiplikation als ein naheliegendes Beispiel für einen -Vektorraum. Das ist vorteilhaft, da der sehr einfach mit einer Ebene identifiziert und veranschaulicht werden kann. Damit sind auch Teilmengen des sehr gut darstellbar:

Die Ebene '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' und darin enthaltene Teilmengen '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' und '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'

Wichtig ist allerdings im Hinterkopf zu behalten, dass wir die Vektoren aus dem nicht als Pfeile, sondern als Punkte im darstellen. Dies widerspricht der eigentlichen Vorstellung eines Vektorraums, ist aber trotzdem sinnvoll, da jeder Vektorpfeil mit einem Punkt aus der Ebene identifiziert werden kann.

Die im oberen Abschnitt aufgeworfene Frage lautet: Welche Teilmengen sind Untervektorräume des ? Zur Lösung des Problems gehen wir in zwei Schritten vor. Als erstes betrachten wir drei verschiedene Gegenbeispiele von Teilmengen im , die jeweils keinen Untervektorraum darstellen, da sie gegen eine oder mehrere Vektorraumaxiome verstoßen. Anschließend leiten wir daraus 3 Kriterien ab, an denen wir in einem beliebigen Vektorraum nachprüfen können, ob eine gegebene Teilmenge eines Vektorraumes ein Untervektorraum ist.

Gegenbeispiel: Geraden ohne Ursprung[Bearbeiten]

Als Erstes betrachten wir die Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen. Wir betrachten also die Teilmengen der Form , wobei zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren und ein Skalar ist. Das kann analog wie die Geraden in aus der Oberstufe verstanden werden, bloß befinden wir uns diesmal im , also in der Ebene und nicht im Raum. Stellen wir nun mit den beiden Vektoren und in der Ebene dar:

Gerade U und die beiden Vektoren u und v

Ist nun ein Vektorraum? Die Antwort lautet „Nein“, denn das neutrale Element der Vektorraumaddition, der Nullvektor , ist in nicht enthalten. Dies ist sofort aus der obigen Skizze ersichtlich. Somit erfüllt nicht alle Vektorraumaxiome und kann damit nach unserer Definition kein Untervektorraum sein. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass jeder Untervektorraum des den Nullvektor enthalten muss.

Gegenbeispiel: Ganzzahlige Vektoren[Bearbeiten]

Kommen wir nun zu unserem zweiten Beispiel, nämlich die Menge der ganzzahligen Vektoren . Wenn wir die Vektoren wieder mit Punkten im identifizieren, so erhalten wir:

'"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' als Teilmenge des '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'

Diese Menge ist offensichtlich eine Teilmenge von und es stellt sich wieder die Frage, ob sie ein Untervektorraum ist. Im Unterschied zum ersten Beispiel ist nun der Nullvektor enthalten, schließlich ist dieser ganzzahlig. Auch alle anderen Axiome der Vektoraddtion sind gültig. Die Summe zweier Vektoren aus ist wieder in , zu jedem existiert auch ein Inverses in . Auch gelten, wie man leicht nachweisen kann, das Assioziativ- und Kommutativgesetz.

Dennoch ist der kein Untervektorraum, denn der Raum ist nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation. Sei beispielsweise und . Dann ist nicht in enthalten. Somit erfüllt nicht alle Vektorraumaxiome und ist daher auch kein Untervektorraum. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass ein Untervektorraum abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation sein muss. Für jedes des Untervektorraums und für jeden Skalar muss auch sein.

Gegenbeispiel: Unendliches Kreuz[Bearbeiten]

Wir haben in beiden Beispielen von oben bereits gesehen, dass jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und abgeschlossen ist unter der Skalarmultiplikation. Zum Schluss wollen wir noch ein drittes und letztes Beispiel anschauen, das obige beiden Bedingungen erfüllt, aber trotzdem nicht alle Vektoraumaxiome erfüllt. Dazu wählen wir uns das unendliche Kreuz, die Menge die durch Vereinigung der beiden Ursprungsgeraden und entsteht. Wir betrachten also die Teilmenge . In der Ebene als Punkte veranschaulicht sieht die Menge so aus:

Das unendliche Kreuz

Zentrale Frage: Handelt es sich bei um einen Untervektorraum? Offenbar ist der Nullvektor enthalten. Außerdem gilt für ein beliebiges und , dass auch Element von ist. Somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation. Trotzdem handelt es sich bei um keinen Untervektorraum. Um das zu sehen, wähle die Vektoren und . Dann gilt , aber für die Summe gilt . Unsere gewählte Teilmenge ist also ebenfalls kein Untervektorraum, da sie nicht abgeschlossen unter der Vektorraumaddition ist.

Definition des Untervektorraumkriteriums[Bearbeiten]

Nun haben wir in den drei vorangegangenen Beispielen drei notwendige Kriterien kennengelernt, die für einen Untervektorraum zwingend gelten müssen. Notwendig bedeutet dabei, dass die Verletzung einer der drei Bedingungen schon dazu führt, dass eine Menge kein Untervektorraum mehr sein kann. Die drei Bedingungen lauten gemäß unseren Ausführungen von oben wie folgt:

  1. Der Nullvektor ist immer in enthalten, d. h. .
  2. ist abgeschlossen unter der Skalarmultplikation. Für alle und ist .
  3. ist abgeschlossen unter der Vektorraumaddition. Die Summe zweier Vektoren liegt also wieder in , d. h. .

Die drei Bedingungen sind wie wir gesehen haben notwendig. Aber sind sie auch hinreichend? Das heißt, wenn wir eine Teilmenge haben, die obige drei Bedingungen erfüllt, ist sie dann auch schon ein Untervektorraum? Die Antwort lautet ja, wie der kommende Satz beweist.

Da wir uns nicht auf unser Beispiel des -Vektorraumes beschränken wollen, formulieren wir den Satz allgemein für einen beliebigen -Vektorraum .

Satz (Untervektorraumkriterium)

Eine Teilmenge eines -Vektorraums mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist genau dann ein Untervektorraum, wenn folgende drei Bedingungen gelten:

  1. .
  2. Für alle gilt .
  3. Für alle und für alle gilt .

Anders formuliert: Eine Teilmenge eines Vektorraums, die das Nullelement enthält, ist ein Untervektorraum, wenn sie bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Beweis (Untervektorraumkriterium)

Der Satz enthält ein "genau dann ... wenn", was bedeutet, dass wir zwei Richtungen zeigen müssen. Die eine Richtung lautet: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3). Die andere Richtung kann wie folgt formuliert werden: Eine beliebige Teilmenge des Vektorraumes, welche die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt, ist bereits ein Untervektorraum.

Beweisschritt: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3).

Sei ein beliebiger Untervektorraum von . Dann ist per Definition auch ein Vektorraum. Damit gelten für alle Axiome aus der Definition eines Vektorraumes.

Das heißt insbesondere auch, dass die auf eingeschränkten Verknüpfungsabbildungen und wohldefiniert sind. Dies ist aber nur eine andere Formulierung der Bedingungen 2) und 3).

Da U außerdem zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet, enthält das neutrale Element . Das heißt, es gilt auch Bedingung 1).

Beweisschritt: Wenn die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt sind, so ist die betrachtete Menge ein Untervektorraum.

Sei nun eine Teilmenge von , in der die drei Bedingungen gelten. Wir müssen zeigen, dass ein Vektorraum ist. Dazu zeigen wir, dass alle Eigenschaften aus der Definition eines Vektorraumes erfüllt.

Aus der Bedingung 1) folgt, dass eine nicht-leere Menge ist. Aus den Bedingungen 2) und 3) können wir ableiten, dass die von auf eingeschränkten Verknüpfungen und wohldefiniert sind. Wir haben also eine nicht-leere Menge mit einer inneren Verknüpfung (Vektoraddtion) und einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation).

Nun ist noch nachzuweisen, dass zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet und die Axiome der skalaren Multiplikation gelten. Jetzt können wir verwenden, dass ein Vektorraum ist. Daraus folgt wegen bereits:

  • Assioziativgesetz: Für alle gilt:
  • Kommutativgesetz: Für alle gilt:
  • Skalares Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Vektorielles Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Assoziativgesetz für Skalare: Für alle und alle gilt:
  • Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle und für (das neutrale Element der Multiplikation in ) gilt: . 1 heißt neutrales Element der skalaren Multiplikation.

Es bleiben noch die Axiome Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements übrig. Ersteres ist aber wegen Bedingung 1 klar. Es genügt also zu zeigen, dass zu jedem ein existiert, so dass . Für ein beliebiges gilt aber wegen Bedingung 3:

Also ist das in enthaltene inverse Element von .

Hinweis

Anstelle von wird in einigen mathematischen Texten auch gefordert. Beide Forderungen sind (wenn man die anderen beiden Bedingungen hinzunimmt) äquivalent. Wenn es nämlich ein gibt, so muss wegen der Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation auch in enthalten sein.

Einführende Beispiele für Untervektorräume[Bearbeiten]

Im Folgenden schauen wir uns erste Beispiele an, um unsere Vorstellung von Untervektorräumen zu festigen und Fehlinterpretationen vorzubeugen. Dabei werden wir zur Überprüfung insbesondere auch den Satz aus dem vorherigen Abschnitt anwenden.

Triviale Untervektorräume[Bearbeiten]

Es gibt Teilmengen, die in jedem beliebigen vorgegebenen Vektorraum Untervektorräume sind:

Beispiel (Triviale Untervektorräume)

Sei ein Vektorraum. Zum einen ist stets der Nullvektorraum ein Untervektorraum von . Dieser ist nämlich ein Vektorraum und da ist, ist auch .

Auf der anderen Seite ist auch der komplette Vektorraum ein Untervektorraum von , schließlich gilt .

Da und stets Untervektorräume für jeden Vektorraum sind, werden sie triviale Untervektorräume genannt.

Folgendes Beispiel mit zeigt, dass die trivialen Untervektorräume sogar die einzigen sein können:

Beispiel (Untervektorräume von )

aufgefasst als -Vektorraum besitzt nur die trivialen Untervektorräume und selbst.

Angenommen es gäbe einen weiteren - nichttrivialen - Untervektorraum . Dann existiert eine reelle Zahl . Aus dem dritten Kriterium von Untervektorräumen folgt nun, dass auch für alle in enthalten sein muss. Da ein Körper ist, heißt das aber, dass alle reelle Zahlen in liegen. Es gilt also .

Hinweis

Obwohl ein Unterkörper von ist, ist kein Untervektorraum des -Vektorraums . Falls nämlich , dann ist das skalare Vielfache .

Untervektorräume des [Bearbeiten]

Bei unserem nächsten Beispiel wollen wir alle Untervektorräume des -Vektorraumes klassifizieren, welches wir schon im vorangegangen Abschnitt zur Herleitung der drei Bedingungen betrachtet haben. Wir wissen schon, dass und die trivialen Untervektorräume sind. Doch welche gibt es noch?

Als einführendes Beispiel zeigen wir, dass die -Achse ein Untervektorraum ist:

Beispiel (y-Achse ist Untervektorraum)

Sei der zweidimensionale -Vektorraum über . Dann ist die -Achse ein Untervektorraum des Vektorraums über . Wir weisen dazu die drei Bedingungen für den Untervektorraum nach.

  • Es gilt offenbar .
  • Seien und . Dann ist
  • Sei und . Dann ist

Damit ist ein Untervektorraum von .

Wir können dies nun auch noch verallgemeinern und zeigen, dass alle Geraden, die den Nullvektor enthalten, Untervektorräume des sind:

Beispiel (Geraden mit Nullvektor sind Untervektorraum)

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To-Do:

Zeigen, dass Geraden mit Nullvektor Untervektorraum sind

Hinweis

Geraden des , die nicht durch den Ursprung gehen, sind keine Untervektorräume. Dies ist offensichtlich, da das erste Untervektorraum-Kriterium nicht erfüllt ist.

Nun wollen wir noch zeigen, dass die Geraden durch den Ursprung die einzigen nichttrivialen Untervektorräume sind:

Beispiel (Alle Untervektorräume sind Geraden)

Sei ein beliebiger Untervektorraum von . Falls , so gibt es nichts zu zeigen und ist trivialer Untervektorraum. Andernfalls existiert ein . Aus dem dritten Untervektorraum-Kriterium folgt nun, dass für alle

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To-Do:

zeige, dass alle nichttrivialen Untervektorräume in der Ebene Geraden durch den Ursprung sind.

Untervektorräume des Polynomvektorraumes[Bearbeiten]

Wenden wir uns nun einem etwas abstrakteren Beispiel zu, nämlich dem Polynomvektorraum. Genauer

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Weiteres Beispiel: Polynomvektorraum mit kleinerem Grad oder ein abstraktes Beispiel

Beweise zum Untervektorraum führen[Bearbeiten]

Im Folgenden Abschnitt wollen wir uns eine Strategie erarbeiten, um Beweise zu Untervektorräumen zu führen. Das Rahmenmodell sieht dabei meist folgendermaßen aus: Wir haben einen -Vektorraum vorliegen und eine Teilmenge davon und sollen nun mit Beweis entscheiden, ob ein Untervektorraum ist oder nicht.

Wir wollen nun anhand konkreter Beispiele die allgemeine Vorgehensweise demonstrieren:

Beispiel (Untervektorräume Beispiel 1)

Sei der dreidimensionale Standardvektorraum. Wir betrachten folgende Teilmengen von :

Frage: Sind und Untervektorräume von ?

Beispiel (Untervektorräume Beispiel 2)

Als abstrakteres Beispiel betrachten wir nun auch noch den -Vektorraum mit beliebigen Körper . Zur Erinnerung: ist die Menge aller Polynome in der Variablen über den Körper , welcher mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement ein Vektorraum bildet.

Sind folgende Teilmengen von Untervektorräume?:

Wie kommt man auf den Beweis?[Bearbeiten]

Was ist nun die beste Herangehensweise an das Problem? Als erstes wäre es sinnvoll eine Vermutung zu finden. Um zu einer solchen Vermutung zu kommen, können uns die drei Kriterien für Untervektorräume weiterhelfen. Wir erinnern uns: Eine Teilmenge eines Vektorraums ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie das Nullelement enthält (Kriterium 1) und bezüglich der Vektoraddition (Kriterium 2) und der skalaren Multiplikation (Kriterium 3) abgeschlossen ist. So gesehen lauten die Fragen, die wir uns stellen müssen, folgendermaßen:

  • Ist der Nullvektor in enthalten?
  • Kann es Vektoren geben, deren Summe eventuell nicht in enthalten ist?
  • Ist die Streckung oder Stauchung für ein und immer Element von ?

Ein ergänzendes Hilfsmittel zu den Fragen wäre eine Skizze, die aber nur bei entsprechend anschaulichen Vektorräumen hilft. Anhand der Skizze lässt es sich oftmals leichter einsehen, ob ein Untervektorraum-Kriterium verletzt ist.

Wir wollen die Vorgehensweise an unseren Beispielen illustrieren:

Beispiel (Untervektorräume Beispiel 1)

Betrachte zunächst die Teilmenge des -Vektorraumes . Frage: Ist ein Untervektorraum? Gehen wir dazu unsere drei Fragen von oben der Reihe nach durch:

  1. Liegt der Nullvektor in ? Offenbar ja, denn .
  2. Ist die Summe von zwei Vektoren wieder in ? Es wäre nach erster Überlegung durchaus vorstellbar, dass es zwei Vektoren gibt, dessen Betragsquadrat kleiner als ist, deren Summe aber ein größeres Betragsquadrat hat. Wir könnten dazu einen Vektor suchen, der gerade noch die Bedingung erfüllt und anschließend mit sich selbst addieren. Der addierte Vektor sollte dann ein größeres Betragsquadrat als haben. Damit würde er nicht in liegen.

Wir können an dieser Stelle abbrechen, denn wir haben unsere Entscheidung gefällt. Die Teilmenge ist wahrscheinlich kein Untervektorraum, da sie nicht abgeschlossen unter der Addition ist. Das letzte Kriterium brauchen wir daher nicht mehr überprüfen.

Die zweite Teilmenge überlassen wir als Übungsaufgabe:

Aufgabe (Aufgabe)

Überlege dir analog wie bei der Teilmenge : Ist ein Untervektorraum?

Beispiel (Untervektorräume Beispiel 2)

Betrachten wir als nächstes die Teilmenge des Polynomvektorraumes . Handelt es sich bei um einen Untervektorraum? Um die Frage zu beantworten, stellen wir uns wieder nacheinander die drei Fragen:

  1. Ist das Nullpolynom Element von ? Nun enthält alle Polynome mit Grad , also alle Polynome der Form mit . Das Nullpolynom hat aber Grad . Es ist also offenbar kein Element von .

Wir brechen wieder ab. Offenbar liegt das Nullpolynom nicht in , womit folgt, dass kein Untervektorraum von ist. Die anderen beiden Kriterien erübrigen sich somit.

Als letztes sehen wir uns die Teilmenge an. Wir überprüfen die drei Kriterien:

  1. Ist das Nullpolynom Element von ? Im Unterschied zu sind nun alle Polynome enthalten, die einen Grad kleiner gleich haben. Da das Nullpolynom den Grad hat und kleiner ist als , liegt auch das Nullpolynom in .
  2. Liegt die Summe zweier Polynome mit Grad kleiner gleich wieder in ? Auch das sollte erfüllt sein. Für zwei Polynome gilt nämlich immer . Falls also einen Grad kleiner gleich haben, so auch .
  3. Hat das skalare Vielfache eines Polynoms mit Grad kleiner gleich wieder Grad kleiner gleich ? Wenn wir ein Polynom mit einem Skalar aus dem Grundkörper multiplizieren, so ändert sich der Grad nicht. Falls wir mit dem Nullelement vom Körper multiplizieren, so entsteht das Nullpolynom. In beiden Fällen hat das Resultat einen Grad kleiner gleich .

Aus diesen Überlegungen können wir nun schließen, dass die Teilmenge ein Untervektorraum von ist.

Sind wir die drei Kriterien durchgegangen, so sollten wir jetzt zumindest eine Vermutung und eine dazugehörige Beweisidee haben. Entweder wir haben einen Widerspruch zu mindestens einem der drei Untervektorraum-Kriterien gefunden oder wir vermuten, dass alle Kriterien erfüllt sind. Im nächsten Schritt versuchen wir daher, unsere Vermutung formal korrekt zu beweisen.

Vermutung zu einem Beweis ausformulieren[Bearbeiten]

Falls wir einen Widerspruch zu einem der Kriterien entdeckt haben, so können wir die Aufgabe direkt abschließen. Die Menge ist kein Untervektorraum und der Beweis dafür ist ein konkretes Gegenbeispiel zum entsprechenden Untervektorraum-Kriterium. An unserem Beispiel angewendet:

Beispiel (Untervektorraum Gegenbeweis)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis ausformulieren

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Aufgabe zu den anderen beiden Untervektorräumen

Falls wir keinen Widerspruch zu den drei Kriterien gefunden haben, so liegt der Schluss nahe, dass es sich tatsächlich um einen Untervektorraum handelt. Wir können also auch hier die Aufgabe abschließen. Allerdings gestaltet es sich diesmal als schwieriger, den Beweis formal korrekt zu führen. Bisher haben wir nur mehr oder weniger intuitiv argumentiert, warum die Menge ein Untervektorraum ist. Das ist aber natürlich nicht ausreichend. Wir können uns allerdings wieder an den drei Kriterien orientieren. Eine mögliche grobe Beweisstruktur sieht daher folgendermaßen aus:

  1. Sei der Nullvektor. Dann gilt , da [Argumentation]. (Alternativ kann man zeigen, dass gilt.)
  2. Sei beliebig. Es gilt [Argumentation] und damit .
  3. Sei und beliebig. Wegen [Argumentation] folgt, dass .

Wir demonstrieren dies nun anhand der Beispielmenge , die wir bereits als einen Untervektorraum von klassifiziert haben:

Beispiel (Untervektorraum Beweis)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis ausformulieren

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe (Unterräume von )

Zeige, dass die reellen Zahlen und die imaginäre Achse Unterräume von sind, wenn man als reellen Vektorraum auffasst.

Beweis (Unterräume von )

Wir zeigen nur, dass ein Unterraum von ist. Für ist der Beweis analog:

  1. , da .
  2. Seien , dann ist .
  3. Seien und , dann ist .

Aus den obigen drei Bedingungen folgt, dass ein Untervektorraum von ist.

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe (Nachweis der Untervektorraumkriterien)

Sei . Beweise, dass ein Untervektorraum ist.

Beweis (Nachweis der Untervektorraumkriterien)

Für den Nachweis müssen wir zeigen, dass das Unterraumkriterium erfüllt ist. Das zeigen wir mit den folgenden drei Beweisschritten:

Beweisschritt: ist nicht leer

Es gilt , da offenbar erfüllt ist.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Addition

Wir betrachten zwei Vektoren und aus mit und . Dann gilt

Weiter ist

Damit ist und wir haben die Abgeschlossenheit der Addition gezeigt.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation

Sei und sei . Dann gilt

und insbesondere

Damit ist und somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Damit haben wir alle Untervektorraumaxiome nachgewiesen und es ist gezeigt, dass ein Untervektorraum ist.