Untervektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Definition und Motivation[Bearbeiten]

Wie wir im Zusammenhang mit allgemeinen algebraischen Strukturen wie Gruppen oder Körper schon gesehen haben, spielen Unterstrukturen in der Mathematik eine große Rolle. Zur Wiederholung: Bei Unterstrukturen handelt es sich um Teilmengen eines Grundraumes, welche die gleichen Eigenschaften erfüllen wie der Grundraum. Eine Untergruppe ist so zum Beispiel eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst wieder eine Gruppe ist. Analog: Ein Unterkörper ist eine Teilmenge eines Körpers, welcher selbst wieder ein Körper ist.

Der Grund für die Betrachtung von Unterstrukturen sind vielfältig. Sie werden zum einen benötigt, weitere algebraische Strukturen zu definieren. Als prominentes Beispiel, mit denen wir uns auch noch ausführlich beschäftigen werden oder bereits haben, sind Quotientenstrukturen. Ein anderer Nutzen von Unterstrukturen ist es, bestimmte algebraische Zusammenhänge zu erkennen. Eine algebraische Unterstruktur kann so als Spezialfall einer größeren Struktur aufgefasst werden. Als einfaches Beispiel wären hier die ganzen Zahlen , die einen Untergruppe beziehungsweise einen Unterring von darstellen, zu nennen. Wie auch immer, es lohnt sich auf alle Fälle, solche Strukturen genauer anzusehen.

In der linearen Algebra betrachten wir eine neue algebraische Struktur: den Vektorraum. Analog zu den bereits behandelten algebraischen Strukturen, können wir auch hier die entsprechende Unterstruktur betrachten. Wir befassen uns also mit Teilmengen eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum bilden. Diese Teilmengen eines Vektorraums nennen wir Untervektorraum:

Definition (Untervektorraum)

Sei ein Vektorraum mit den Verknüpfungen und . Dann heißt eine Teilmenge Untervektorraum von , falls selbst ein Vektorraum ist.

Untervektorraumkriterium[Bearbeiten]

Wenn wir zeigen möchten, dass bei einem gegebenen Vektorraum eine Teilmenge ein Untervektorraum ist, ist es ausreichend, alle Vektorraumaxiome aus unserer Vektorraumdefinition für nachzuweisen. Das ist natürlich sehr zeitaufwendig und damit auf Dauer äußerst nervenaufreibend. Es wäre schön, ausnutzen zu können, dass schon ein Vektorraum ist und die vielen Eigenschaften in der Vektorraumdefinition auf ein paar wenige herunterzubrechen. Doch welche sind die notwendigen Eigenschaften?

Betrachtung der Ebene als Beispielvektorraum[Bearbeiten]

Um diese Frage zu beantworten, wählen wir uns den mit der klassischen Vektorraumaddition und Skalarmultiplikation als ein naheliegendes Beispiel für einen -Vektorraum. Das ist vorteilhaft, da der sehr einfach mit einer Ebene identifiziert und veranschaulicht werden kann. Damit sind auch Teilmengen des sehr gut darstellbar:

Die Ebene '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"' und darin enthaltene Teilmengen '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' und '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'

Wichtig ist allerdings im Hinterkopf zu behalten, dass wir die Vektoren aus dem nicht als Pfeile, sondern als Punkte im darstellen. Dies widerspricht der eigentlichen Vorstellung eines Vektorraums, ist aber trotzdem sinnvoll, da jeder Vektorpfeil mit einem Punkt aus der Ebene identifiziert werden kann.

Die im oberen Abschnitt aufgeworfene Frage lautet: Welche Teilmengen sind Untervektorräume des ? Zur Lösung des Problems gehen wir in zwei Schritten vor. Als erstes betrachten wir drei verschiedene Gegenbeispiele von Teilmengen im , die jeweils keinen Untervektorraum darstellen, da sie gegen eine oder mehrere Vektorraumaxiome verstoßen. Anschließend leiten wir daraus 3 Kriterien ab, an denen wir in einem beliebigen Vektorraum nachprüfen können, ob eine gegebene Teilmenge eines Vektorraumes ein Untervektorraum ist.

Gegenbeispiel: Geraden ohne Ursprung[Bearbeiten]

Als Erstes betrachten wir die Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen. Wir betrachten also die Teilmengen der Form , wobei zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren und ein Skalar ist. Das kann analog wie die Geraden in aus der Oberstufe verstanden werden, bloß befinden wir uns diesmal im , also in der Ebene und nicht im Raum. Stellen wir nun mit den beiden Vektoren und in der Ebene dar:

Gerade U und die beiden Vektoren u und v

Ist nun ein Vektorraum? Die Antwort lautet „Nein“, denn das neutrale Element der Vektorraumaddition, der Nullvektor , ist in nicht enthalten. Dies ist sofort aus der obigen Skizze ersichtlich. Somit erfüllt nicht alle Vektorraumaxiome und kann damit nach unserer Definition kein Untervektorraum sein. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass jeder Untervektorraum des den Nullvektor enthalten muss.

Gegenbeispiel: Ganzzahlige Vektoren[Bearbeiten]

Kommen wir nun zu unserem zweiten Beispiel, nämlich die Menge der ganzzahligen Vektoren . Wenn wir die Vektoren wieder mit Punkten im identifizieren, so erhalten wir:

'"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"' als Teilmenge des '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'

Diese Menge ist offensichtlich eine Teilmenge von und es stellt sich wieder die Frage, ob sie ein Untervektorraum ist. Im Unterschied zum ersten Beispiel ist nun der Nullvektor enthalten, schließlich ist dieser ganzzahlig. Auch alle anderen Axiome der Vektoraddtion sind gültig. Die Summe zweier Vektoren aus ist wieder in , zu jedem existiert auch ein Inverses in . Auch gelten, wie man leicht nachweisen kann, das Assioziativ- und Kommutativgesetz.

Dennoch ist der kein Untervektorraum, denn der Raum ist nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation. Sei beispielsweise und . Dann ist nicht in enthalten. Somit erfüllt nicht alle Vektorraumaxiome und ist daher auch kein Untervektorraum. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass ein Untervektorraum abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation sein muss. Für jedes des Untervektorraums und für jeden Skalar muss auch sein.

Gegenbeispiel: Unendliches Kreuz[Bearbeiten]

Wir haben in beiden Beispielen von oben bereits gesehen, dass jeder Untervektorraum den Nullvektor enthält und abgeschlossen ist unter der Skalarmultiplikation. Zum Schluss wollen wir noch ein drittes und letztes Beispiel anschauen, das obige beiden Bedingungen erfüllt, aber dafür gegen ein davon verschiedenenes Vektoraumaxiom verstößt. Dazu wählen wir uns das unendliche Kreuz, die Menge die durch Vereinigung der beiden Ursprungsgeraden und entsteht. Wir betrachten also die Teilmenge . In der Ebene als Punkte veranschaulicht sieht die Menge so aus:

Das unendliche Kreuz

Zentrale Frage: Handelt es sich bei um einen Untervektorraum? Offenbar ist der Nullvektor enthalten. Außerdem gilt für ein beliebiges und , dass auch Element von ist. Somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation. Trotzdem handelt es sich bei um keinen Untervektorraum. Um das zu sehen, wähle die Vektoren und . Dann gilt , aber für die Summe gilt . Unsere gewählte Teilmenge ist also ebenfalls kein Untervektorraum, da sie nicht abgeschlossen unter der Vektorraumaddition ist.

Definition des Untervektorraumkriteriums[Bearbeiten]

Nun haben wir in den drei vorangegangenen Beispielen drei notwendige Kriterien kennengelernt, die für einen Untervektorraum zwingend gelten müssen. Notwendig bedeutet dabei, dass die Verletzung einer der drei Bedingungen schon dazu führt, dass eine Menge kein Untervektorraum mehr sein kann. Die drei Bedingungen lauten gemäß unseren Ausführungen von oben wie folgt:

  1. Der Nullvektor ist immer in enthalten, d. h. .
  2. ist abgeschlossen unter der Skalarmultplikation. Für alle und ist .
  3. ist abgeschlossen unter der Vektorraumaddition. Die Summe zweier Vektoren liegt also wieder in , d. h. .

Die drei Bedingungen sind wie wir gesehen haben notwendig. Aber sind sie auch hinreichend? Das heißt, wenn wir eine Teilmenge haben, die obige drei Bedingungen erfüllt, ist sie dann auch schon ein Untervektorraum? Die Antwort lautet ja, wie der kommende Satz beweist.

Da wir uns nicht auf unser Beispiel des -Vektorraumes beschränken wollen, formulieren wir den Satz allgemein für einen beliebigen -Vektorraum .

Satz (Untervektorraumkriterium)

Eine Teilmenge eines -Vektorraums mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist genau dann ein Untervektorraum, wenn folgende drei Bedingungen gelten:

  1. .
  2. Für alle gilt .
  3. Für alle und für alle gilt .

Anders formuliert: Eine Teilmenge eines Vektorraums, die das Nullelement enthält, ist ein Untervektorraum, wenn sie bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Beweis (Untervektorraumkriterium)

Der Satz enthält ein "genau dann ... wenn", was bedeutet, dass wir zwei Richtungen zeigen müssen. Die eine Richtung lautet: Jeder Untervektorraum erfüllt die Bedingungen 1), 2) und 3). Die andere Richtung kann wie folgt formuliert werden: Eine beliebige Teilmenge des Vektorraumes, welche die Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt, ist bereits ein Untervektorraum.

: Sei ein beliebiger Untervektorraum von . Dann ist per Definition auch ein Vektorraum. Damit gelten für alle Axiome aus der Definition eines Vektorraumes.

Das heißt insbesondere auch, dass die auf eingeschränkten Verknüpfungsabbildungen und wohldefiniert sind. Dies ist aber nur eine andere Formulierung der Bedingungen 2) und 3).

Da U außerdem zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet, enthält das neutrale Element . Das heißt, es gilt auch Bedingung 1).

: Sei nun eine Teilmenge von , in der die drei Bedingungen gelten. Wir müssen zeigen, dass ein Vektorraum ist. Dazu zeigen wir, dass alle Eigenschaften aus der Definition eines Vektorraumes erfüllt.

Aus der Bedingung 1) folgt, dass eine nicht-leere Menge ist. Aus den Bedingungen 2) und 3) können wir ableiten, dass die von auf eingeschränkten Verknüpfungen und wohldefiniert sind. Wir haben also eine nicht-leere Menge mit einer inneren Verknüpfung (Vektoraddtion) und einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation).

Nun ist noch nachzuweisen, dass zusammen mit eine abelsche Gruppe bildet und die Axiome der skalaren Multiplikation gelten. Jetzt können wir verwenden, dass ein Vektorraum ist. Daraus folgt wegen bereits:

  • Assioziativgesetz: Für alle gilt:
  • Kommutativgesetz: Für alle gilt:
  • Skalares Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Vektorielles Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
  • Assoziativgesetz für Skalare: Für alle und alle gilt:
  • Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle und für (das neutrale Element der Multiplikation in ) gilt: . 1 heißt neutrales Element der skalaren Multiplikation.

Es bleiben noch die Axiome Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements übrig. Ersteres ist aber wegen Bedingung 1 klar. Es genügt also zu zeigen, dass zu jedem ein existiert, so dass .

Für ein beliebiges gilt aber wegen Bedingung 3:

Also ist das in enthaltene inverse Element von .

Hinweis

Anstelle von wird in vielen mathematischen Texten auch gefordert, was äquivalent zu ersterem ist. Wenn es nämlich ein gibt, so muss wegen der Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation auch in enthalten sein.

Einführende Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Beispiel (Triviale Untervektorräume)

Sei ein Vektorraum. Zum einen ist stets der Nullvektorraum ein Untervektorraum von . Dieser ist nämlich ein Vektorraum und da ist, ist auch . Auf der anderen Seite ist auch der komplette Vektorraum ein Untervektorraum von , schließlich gilt . Da und stets Untervektorräume für jeden Vektorraum sind, werden sie triviale Untervektorräume genannt.

Beispiel (Ein Untervektorraum in der Ebene)

Sei der zweidimensionale euklidische Vektorraum über . Dann ist die -Achse ein Untervektorraum des Vektorraums über . Wir weisen dazu die drei Bedingungen für den Unterraum nach.

  • , denn .
  • Seien und . Dann ist

  • Sei und . Dann ist

Damit ist ein Unterraum von . Man kann sogar zeigen, dass alle nichttrivialen Untervektorräume in der Ebene Geraden durch den Ursprung sind.

Beispiel (Untervektorräume von )

aufgefasst als -Vektorraum besitzt nur die trivialen Unterräume und selbst. Obwohl ein Unterkörper von ist, ist kein Untervektorraum des -Vektorraums , denn sei dann ist die Skalar Multiplikation .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Weiteres Beispiel: Polynomvektorraum mit kleinerem Grad oder ein abstraktes Beispiel

Beweise zum Untervektorraum führen[Bearbeiten]

Beweisschema zum Nachweis eines Untervektorraums[Bearbeiten]

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To-Do:

Wie sehen Beweise zum Nachweis eines Untervektorraums aus?

Gegenbeweis einer Untervektorraumstruktur[Bearbeiten]

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To-Do:

Wie zeigt man in einem Beweis, dass eine Menge kein Untervektorraum ist?

Beweise zum Untervektorraum führen[Bearbeiten]

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To-Do:

Wie geht man vor, um nachzuprüfen, ob eine Menge ein Untervektorraum ist?

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe (Unterräume von )

Zeige, dass die reellen Zahlen und die imaginäre Achse Unterräume von sind, wenn man als reellen Vektorraum auffasst.

Beweis (Unterräume von )

Wir zeigen nur, dass ein Unterraum von ist. Für ist der Beweis analog:

  1. , da .
  2. Seien , dann ist .
  3. Seien und , dann ist .

Aus den obigen drei Bedingungen folgt, dass ein Untervektorraum von ist.

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe (Nachweis der Untervektorraumkriterien)

Sei . Beweise, dass ein Untervektorraum ist.

Beweis (Nachweis der Untervektorraumkriterien)

Für den Nachweis müssen wir zeigen, dass das Unterraumkriterium erfüllt ist. Das zeigen wir mit den folgenden drei Beweisschritten:

Beweisschritt: ist nicht leer

Es gilt , da offenbar erfüllt ist.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Addition

Wir betrachten zwei Vektoren und aus mit und . Dann gilt

Weiter ist

Damit ist und wir haben die Abgeschlossenheit der Addition gezeigt.

Beweisschritt: ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation

Sei und sei . Dann gilt

und insbesondere

Damit ist und somit ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.

Damit haben wir alle Untervektorraumaxiome nachgewiesen und es ist gezeigt, dass ein Untervektorraum ist.