Die Ableitung als Steigung einer Funktion [ Bearbeiten ]
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?
b
(
v
)
=
7
v
5
{\displaystyle b(v)=7\ v^{5}\quad }
x
(
y
)
=
y
9
{\displaystyle x(y)=y^{9}\quad }
f
(
x
)
=
5
12
x
12
{\displaystyle f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}}
b
(
v
)
=
7
sin
v
−
ln
v
+
3
5
v
3
+
3
{\displaystyle \ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3}
v
(
t
)
=
5
t
3
4
−
cos
t
+
t
−
t
−
3
{\displaystyle \ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}}
t
(
b
)
=
5
e
b
−
27
b
7
3
+
tan
b
{\displaystyle \ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad }
Antwort
35
u
4
{\displaystyle \ 35u^{4}}
9
y
8
{\displaystyle 9y^{8}\quad }
5
x
11
{\displaystyle 5x^{11}}
b
′
(
v
)
=
7
cos
v
−
1
v
−
9
5
v
−
4
{\displaystyle \ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}}
b
(
2
,
4
)
≈
6
,
90
b
′
(
2
,
4
)
≈
−
2
,
45
{\displaystyle \qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45}
v
′
(
t
)
=
−
15
4
t
−
7
4
+
sin
t
+
1
+
3
t
−
4
{\displaystyle \ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\ }
v
(
2
,
4
)
≈
5
,
66
v
′
(
2
,
4
)
≈
0,956
{\displaystyle \qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx 0{,}956}
t
′
(
b
)
=
5
e
b
+
7
b
−
10
3
+
1
cos
2
b
{\displaystyle \ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad }
t
(
2
,
4
)
≈
53
,
8
t
′
(
2
,
4
)
≈
57
,
3
{\displaystyle \qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3}
Mathematrix: Aufgabensammlung/ Einheiten der Ableitung
Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung
y
=
a
x
4
{\displaystyle y=ax^{4}}
Antwort
Ableitung von Potenzfunktionen komplex [ Bearbeiten ] Ableitung von Potenzfunktionen schwierig [ Bearbeiten ]
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.
b
(
v
)
=
7
sin
v
−
ln
v
+
3
5
v
3
+
3
{\displaystyle \ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3}
v
(
t
)
=
5
t
3
4
−
cos
t
+
t
−
t
−
3
{\displaystyle \ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}}
t
(
b
)
=
5
e
b
−
27
b
7
3
+
tan
b
{\displaystyle \ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad }
Antwort
b
′
(
v
)
=
7
cos
v
−
1
v
−
9
5
v
−
4
{\displaystyle \ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}}
b
(
2
,
4
)
≈
6
,
90
b
′
(
2
,
4
)
≈
−
2
,
45
{\displaystyle \qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45}
v
′
(
t
)
=
−
15
4
t
−
7
4
+
sin
t
+
1
+
3
t
−
4
{\displaystyle \ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\ }
v
(
2
,
4
)
≈
5
,
66
v
′
(
2
,
4
)
≈
0,956
{\displaystyle \qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx 0{,}956}
t
′
(
b
)
=
5
e
b
+
7
b
−
10
3
+
1
cos
2
b
{\displaystyle \ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad }
t
(
2
,
4
)
≈
53
,
8
t
′
(
2
,
4
)
≈
57
,
3
{\displaystyle \qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3}
Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion
g
(
a
)
=
a
2
cos
3
a
4
{\displaystyle g(a)=a^{2}\ {\sqrt[{4}]{\cos ^{3}a\ }}}
Antwort
2
x
cos
3
x
4
−
3
4
x
2
sin
x
cos
−
1
4
x
{\displaystyle 2x{\sqrt[{4}]{\cos ^{3}x}}-{\tfrac {3}{4}}x^{2}\sin x\cos ^{-{\tfrac {1}{4}}}x}
Mathematrix: Aufgabensammlung/ Die Kettenregel
Mathematrix: Aufgabensammlung/ Die Produktregel
Mathematrix: Aufgabensammlung/ Die Quotientenregel
Ermittlung einer quadratischen Funktion [ Bearbeiten ]
Gegeben ist die Funktion
v
(
b
)
=
b
2
sin
b
+
1
{\displaystyle v(b)=b^{2}\sin b+1}
]
−
4
;
4
[
{\displaystyle ]-4;4[}
Welche sind die lokale Extrempunkte,
Welche sind die Nullstellen der Funktion?
Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer
Wie ist ihr Monotonieverhalten?
Antwort
Extrempunkte:
(
−
2
,
29
|
−
2
,
95
)
,
(
2
,
29
|
4
,
95
)
{\displaystyle (-2{,}29|-2{,}95),\ (2{,}29|4{,}95)}
(
0
|
1
)
{\displaystyle (0|1)}
(
−
4
,
0
|
13
,
0
)
,
(
−
1
,
5
|
−
1
,
31
)
,
(
1
,
5
|
3
,
3
)
,
(
4
,
0
|
11
,
0
)
{\displaystyle (-4{,}0|13{,}0),\ (-1{,}5|-1{,}31),\ (1{,}5|3{,}3),\ (4{,}0|11{,}0)}
Nullstellen:
−
3
,
03
;
−
1
,
07
;
3
,
24
{\displaystyle -3{,}03;\ -1{,}07;\ 3{,}24}
v
(
1
,
2
)
=
2
,
34
v
′
(
1
,
2
)
=
2
,
76
{\displaystyle v(1{,}2)=2{,}34\quad v'(1{,}2)=2{,}76}
]
−
4
;
−
2
,
29
[
→
f
a
l
l
e
n
d
,
{\displaystyle ]-4;-2{,}29[\ \rightarrow \ fallend,\quad }
]
−
2
,
29
;
0
[
→
s
t
e
i
g
e
n
d
,
{\displaystyle ]-2{,}29;0[\ \rightarrow \ steigend,\quad }
]
0
;
2
,
29
[
→
s
t
e
i
g
e
n
d
,
{\displaystyle ]0;2{,}29[\ \rightarrow \ steigend,\quad }
]
2
,
29
;
4
[
→
f
a
l
l
e
n
d
{\displaystyle ]2{,}29;4[\ \rightarrow \ fallend\quad }
Temperatur (°C):
4
{\displaystyle 4}
5
{\displaystyle 5}
1
{\displaystyle 1}
Höhe (dm):
3
{\displaystyle \ \ 3\ \ }
3
,
4
{\displaystyle \ \ 3{,}4\ \ }
0
{\displaystyle \ \ 0\ \ }
In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt.
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion. Wie lautet die Funktion?
Antwort
|
∘
4
=
a
⋅
3
3
+
b
⋅
3
2
+
c
⋅
3
+
d
∘
5
=
a
⋅
3
,
4
3
+
b
⋅
3
,
4
2
+
c
⋅
3
,
4
+
d
∘
1
=
a
⋅
0
3
+
b
⋅
0
2
+
c
⋅
0
+
d
∘
0
=
3
⋅
a
⋅
3
,
4
2
+
2
⋅
b
⋅
3
,
4
+
c
{\displaystyle \ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{3}+b\cdot 3{,}4^{2}+c\cdot 3{,}4+d\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 3{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\ }
a
≈
−
1,968
b
≈
13
,
0
c
≈
−
20
,
4
d
=
1
{\displaystyle \ a\approx -1{,}968\quad b\approx 13{,}0\quad c\approx -20{,}4\quad d=1\ }
s
(
x
)
=
−
x
2
+
12
x
−
32
{\displaystyle \ s(x)=-x^{2}+12\ x-32\ }
_pictogram.svg){kind=small}
![{\displaystyle \ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200551b46994e1983804d38546981a8f3e987a65)
![{\displaystyle \ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1ba99fe562fa818ef934295eb4049419a6c1ae)
![{\displaystyle v(t)={\sqrt[{4}]{t^{3}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff70d4d80ad12ea87ff0a0088baac6d4f67ed44)
![{\displaystyle {\frac {3}{4}}t^{-{\frac {1}{4}}}\left(={\frac {3}{4}}\,{\sqrt[{4}]{t\ }}\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678fa3f2e2b25e3552a011828622298d3b833765)
![{\displaystyle V(h)={\sqrt[{4}]{\frac {1}{h^{5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e870c5859c4bf28e86abeb7ca43c44d3a44c196a)
![{\displaystyle H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {27}{x^{7}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e0b0f60230e67e6456df6d8d078a08d74cb903)
![{\displaystyle m(n)={\sqrt[{5}]{\frac {3125}{n^{15}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9743fab36bca95448bc935510043fc0ffde4500e)
![{\displaystyle \ -{\frac {5}{4}}h^{-{\frac {9}{4}}}\left(=-{\frac {5}{4}}\,{\sqrt[{4}]{h^{9}\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9823c599056c8f5fccd79bc9592c10e789230592)
![{\displaystyle \ -7x^{-{\frac {10}{3}}}\left(=-{\frac {7}{\sqrt[{3}]{x^{10}\ }}}\right)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a032bb85e1498fc8097c5a1a603d2d5c09d926)
![{\displaystyle g(a)=a^{2}\ {\sqrt[{4}]{\cos ^{3}a\ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62406fcc3d3c461b838781ce631c7988485beacc)
![{\displaystyle 2x{\sqrt[{4}]{\cos ^{3}x}}-{\tfrac {3}{4}}x^{2}\sin x\cos ^{-{\tfrac {1}{4}}}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029e31dc0d225d60e830c204e2ccaef88af68caf)
![{\displaystyle ]-4;4[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d2bc9d875fa6200689ba3ca1819f9486b44e42)
![{\displaystyle ]-4;-2{,}29[\ \rightarrow \ fallend,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401d479cb5cc23eeb6a32fc3d7ac9ee96358939e)
![{\displaystyle ]-2{,}29;0[\ \rightarrow \ steigend,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34adae4ee8c85e27e85547d6b72776e28fa3164)
![{\displaystyle ]0;2{,}29[\ \rightarrow \ steigend,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee259bc383f0baa8c3134a9c8990d0e51579e909)
![{\displaystyle ]2{,}29;4[\ \rightarrow \ fallend\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18b69c91cc1bebae2584d88d8b59f535d7355ed)
.jpg)
