MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Differentialrechnung

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt
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AUFGABEN

KAPITEL

Grundrechenarten Bruchrechnungen	$-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$
Schlussrechnung Prozentrechnung
Exponentialfunktion Logarithmus
Arbeiten mit Termen	$\mathbb {X} ^{2}$
Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik	${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$
Einheiten	$cm^{2}$
Statistik und Wahrscheinlichkeit
Geometrische Konstruktionen
Geometrie der Ebene
Geometrie des Raums
Diagramme
Funktionen	$f(x)$
Lineare Gleichungssysteme	${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$
Trigonometrische Funktionen
Vektoren
Differentialrechnung	$^{dy}/_{dx}$
Integralrechnung	$\textstyle \int _{a}^{b}dx$
Folgen	$a_{n}$
Beweise	$a\rightarrow b$

Differenzenquotient[Bearbeiten]

Grenzwerte[Bearbeiten]

Die Ableitung einer Funktion[Bearbeiten]

Die Ableitung als Steigung einer Funktion[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?

$b(v)=7\ v^{5}\quad$
$x(y)=y^{9}\quad$
$f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$

$\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$
$\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$
$\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Antwort

$\ 35u^{4}$
$9y^{8}\quad$
$5x^{11}$
$\ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}$ $\qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45$
$\ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\$ $\qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx 0{,}956$
$\ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad$ $\qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3$

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Einheiten der Ableitung[Bearbeiten]

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Einheiten der Ableitung

Ableitung und Grenzwerten[Bearbeiten]

Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung
der Funktion $y=ax^{4}$ !

Antwort

hier klicken

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Ableitung von Potenzfunktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?

$b(v)=7\ v^{5}\quad$
$x(y)=y^{9}\quad$
$f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$

Antwort

$\ 35u^{4}$
$9y^{8}\quad$
$5x^{11}$

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Ableitung von Potenzfunktionen komplex[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.

$a(c)=b\ \left({\frac {1}{c}}\right)^{d}$
$v(t)={\sqrt[{4}]{t^{3}}}\quad$
$f(x)={\frac {5}{x^{5}}}\quad$

Antwort

$-b\,d\,c^{-(d+1)}$
${\frac {3}{4}}t^{-{\frac {1}{4}}}\left(={\frac {3}{4}}\,{\sqrt[{4}]{t\ }}\right)\quad$
$-25x^{-6}\left(=-{\frac {25}{x^{6}}}\right)$

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Ableitung von Potenzfunktionen schwierig[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.

$V(h)={\sqrt[{4}]{\frac {1}{h^{5}}}}$
$H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {27}{x^{7}}}}$
$m(n)={\sqrt[{5}]{\frac {3125}{n^{15}}}}$

Antwort

$\ -{\frac {5}{4}}h^{-{\frac {9}{4}}}\left(=-{\frac {5}{4}}\,{\sqrt[{4}]{h^{9}\ }}\right)$
$\ -7x^{-{\frac {10}{3}}}\left(=-{\frac {7}{\sqrt[{3}]{x^{10}\ }}}\right)\quad$
$-15n^{-4}\left(=-{\frac {15}{n^{4}}}\right)$

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Ableitungen von weiteren Funktionen[Bearbeiten]

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.
Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion
und ihrer Ableitung an der Stelle 2,4.

$\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$
$\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$
$\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Antwort

$\ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}$ $\qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45$
$\ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\$ $\qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx 0{,}956$
$\ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad$ $\qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3$

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Weitere Ableitungsregeln[Bearbeiten]

Ableitungsregeln[Bearbeiten]

Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion
$g(a)=a^{2}\ {\sqrt[{4}]{\cos ^{3}a\ }}$
(Mit Lösungsschritte!)

Antwort

2x{\sqrt[{4}]{\cos ^{3}x}}-{\tfrac {3}{4}}x^{2}\sin x\cos ^{-{\tfrac {1}{4}}}x

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Kurvendiskussion[Bearbeiten]

Ermittlung einer quadratischen Funktion[Bearbeiten]

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte
$\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$ . Ihre Ableitung
an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Antwort

Q(x)={\frac {2}{3}}x^{2}-{\frac {8}{3}}x+7

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Kurvendiskussion[Bearbeiten]

Gegeben ist die Funktion $v(b)=b^{2}\sin b+1$
im Intervall $]-4;4[$ .

Welche sind die lokale Extrempunkte,
die Wendepunkte und die Sattelpunkte
der Funktion?
Welche sind die Nullstellen der Funktion?
Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer
Ableitung an der Stelle 1,2?
Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Antwort

Extrempunkte: $(-2{,}29|-2{,}95),\ (2{,}29|4{,}95)$
Sattelpunkte: $(0|1)$
Weitere Wendepunkte: $(-4{,}0|13{,}0),\ (-1{,}5|-1{,}31),\ (1{,}5|3{,}3),\ (4{,}0|11{,}0)$
Nullstellen: $-3{,}03;\ -1{,}07;\ 3{,}24$
$v(1{,}2)=2{,}34\quad v'(1{,}2)=2{,}76$
$]-4;-2{,}29[\ \rightarrow \ fallend,\quad$ $]-2{,}29;0[\ \rightarrow \ steigend,\quad$ $]0;2{,}29[\ \rightarrow \ steigend,\quad$ $]2{,}29;4[\ \rightarrow \ fallend\quad$

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Kurvendiskussion Umkehraufgaben[Bearbeiten]

Temperatur (°C):	$4$	$5$	$1$
Höhe (dm):	$\ \ 3\ \$	$\ \ 3{,}4\ \$	$\ \ 0\ \$

In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt.

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{3}+b\cdot 3{,}4^{2}+c\cdot 3{,}4+d\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 3{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\$
$\ a\approx -1{,}968\quad b\approx 13{,}0\quad c\approx -20{,}4\quad d=1\$
$\ s(x)=-x^{2}+12\ x-32\$

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Differenzenquotient[Bearbeiten]

Grenzwerte[Bearbeiten]

Die Ableitung einer Funktion[Bearbeiten]

Die Ableitung als Steigung einer Funktion[Bearbeiten]

Einheiten der Ableitung[Bearbeiten]

Ableitung und Grenzwerten[Bearbeiten]

Ableitung von Potenzfunktionen[Bearbeiten]

Ableitung von Potenzfunktionen komplex[Bearbeiten]

Ableitung von Potenzfunktionen schwierig[Bearbeiten]

Ableitungen von weiteren Funktionen[Bearbeiten]

Weitere Ableitungsregeln[Bearbeiten]

Ableitungsregeln[Bearbeiten]

Die Kettenregel[Bearbeiten]

Die Produktregel[Bearbeiten]

Die Quotientenregel[Bearbeiten]

Kurvendiskussion[Bearbeiten]

Ermittlung einer quadratischen Funktion[Bearbeiten]

Kurvendiskussion[Bearbeiten]

Kurvendiskussion Umkehraufgaben[Bearbeiten]