MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Die Lageparameter

Lageparameter

Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall?

Durchschnitt

Median

Modus

Vergleichen von Mittelwerten

Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall? Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?

Mittelwerte Argumentationsaufgaben

Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall? Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen? Wird die Verteilung durch diese Maßnahme gleichmäßiger? Wird sie dadurch gerechter? Es wird oft erwähnt, dass China im Jahr 2018 den größten CO2 Ausstoß hat. Was hat unseres Beispiel mit diesem Vergleich von China mit anderen Staaten zu tun? Was sollte man eigentlich vergleichen?

Streumaßen

Streuungsmaßen um den Durchschnitt (um das arithmetische Mittel)

Streuungsmaßen um den Median (den Zentralwert)

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für die folgenden Werten: 11, 14, 42, 0, 11, 14, 22, 9, 25, 10, 25, 28, 18. Geben Sie in den folgenden Diagrammen den Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite, die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Baumdiagramm

In einer Urne gibt es 5 schwarze und 4 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass: alle 3 Kugel rot sind? die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind? wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen? wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen? das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomialverteilung

In einer Tierart ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weibliches Tier geboren wird, 55%. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 3 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten mehr als 7 weibliche Tiere geboren werden?

Normalverteilung

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung

Nehmen wir an, dass das Todesalter der Menschen Normalverteilt mit $\mu =80{,}2\ {\text{Jahre}},\ \sigma =7{,}7\ {\text{Jahre}}$ ist. Ein Todesalter oberhalb von 90 Monate mehr und unterhalb von 90 Monate weniger als die Lebenserwartung gilt als "später" bzw. "früher" Tod. Welcher Anteil der Todesfälle ist weder spät noch früh? Welches Alter wird von höchstens 75% der Menschen erreicht? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt E? Zeichnen Sie eine Verteilung mit kleinerem $\mu$ und kleinerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Todesalter unterhalb von 89 Jahren liegt! Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert höchstens 4,7 ist! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen 3,3 und 4,7 liegt! Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 5,5 und die Standardabweichung 0,8!

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Grenzwerten

Eine Bäckerei produziert Baguettes. Auf der Verpackung steht 450 g. Die Standardabweichung der Masse bei der Produktion ist 12 g. Wie viel muss der Erwartungswert sein, damit weniger als 3,5 % der Produktion unterhalb von 450 g bleibt? Wie viel muss die Standardabweichung (also die "Genauigkeit" der Produktionsmaschine) sein, damit 96 % aller Baguettes mehr als 450 g sind, wenn der Erwartungswert 483 g ist?

Normalverteilung und Funktionen

Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass die Standardabweichung vom Erwartungswert linear abhängig ist: $\textstyle \sigma ={\frac {\mu }{200}}+8$. Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein, damit 99 % der Werte oberhalb vom Wert 445 bleibt?

Satz von Bayes

Satz von Bayes konkretes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%, in Südafrika hingegen ca. 20%. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist, in diesen Regionen? Bevölkerung DE Raum ca. 100 Mil., Südaf. ca 55 Mil.

Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test in der Bevölkerung positiv ist, 0,34955 % ist.

Regression Korrelation

Geben Sie die beste Annäherung der folgenden Daten durch eine Regressionsgerade als lineare Funktion an! Was zeigt uns der y-Achsenabschnitt in diesem Fall? Was zeigt uns die Steigung? Wie viel ist der Korrelationskoeffizient? Ist das lineare Modell für die Darstellung des Zusammenhangs geeignet? Wöchentliche Sexhäufigkeit ${\tfrac {1}{4}}$ 3 17 1 ${\tfrac {1}{2}}$ 6 Todesalter 79 82 83 79 75 80