MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Die Lageparameter[Bearbeiten]

Lageparameter[Bearbeiten]


    1. Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt.

    2. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall?
    Antwort Antwort
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Durchschnitt[Bearbeiten]
Median[Bearbeiten]
Modus[Bearbeiten]
Vergleichen von Mittelwerten[Bearbeiten]

    1. Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt.

    2. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall?
    3. Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
    Antwort Antwort
    1. Verteilung möglicherweise gleichmäßig
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Mittelwerte Argumentationsaufgaben[Bearbeiten]

    1. Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt.

    2. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall?
    3. Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?
      • Wird die Verteilung durch diese Maßnahme gleichmäßiger? Wird sie dadurch gerechter?
      • Es wird oft erwähnt, dass China im Jahr 2018 den größten CO2 Ausstoß hat. Was hat unseres Beispiel mit diesem Vergleich von China mit anderen Staaten zu tun? Was sollte man eigentlich vergleichen?
    Antwort Antwort
    1. Was die Familien betrifft wird die Verteilung eindeutig gleichmäßig, sogar gleich verteilt. Was die einzelnen Personen betrifft, ist es nicht unbedingt so. Es kann sein, dass eine Familie viel mehr Personen hat als eine andere. Dann bekommt jede Person viel weniger.
      Beim CO2 Ausstoß soll der Ausstoß pro Kopf verglichen werden. Manche Bedingungen, wie das Wetter, sollten auch berücksichtigt werden.
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Streumaßen[Bearbeiten]

Streuungsmaßen um den Durchschnitt (um das arithmetische Mittel)[Bearbeiten]

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Streuungsmaßen um das arithmetische Mittel

Streuungsmaßen um den Median (den Zentralwert)[Bearbeiten]


    1. Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für
      die folgenden Werten:
      11, 14, 42, 0, 11, 14, 22, 9, 25, 10, 25, 28, 18.
    2. Geben Sie in den folgenden Diagrammen den
      Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite,
      die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

    3. BoxplotIQ-inc.png
    Antwort Antwort
    1. Boxplot01.svg
      1. Med=11 , Q1=10 , Q3=13 , IQR=3 , Ausr.=1 und 18 , Span=17 , Max=18 , Min=1 .
      2. Med=11 , Q1=9 , Q3=13 , IQR=4 , Ausr.= keiner , Span=16 , Max=3 , Min=19.
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Baumdiagramm[Bearbeiten]


    1. In einer Urne gibt es 5 schwarze und 4 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig
      jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

    2. alle 3 Kugel rot sind?
    3. die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind?
    4. wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen?
    5. wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen?
    6. das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?
    Antwort Antwort
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen[Bearbeiten]

Binomialverteilung[Bearbeiten]


    1. In einer Tierart ist die Wahrscheinlichkeit,
      dass ein weibliches Tier geboren wird, 55%.

    2. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 3 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
    3. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis?
    4. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden?
    5. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten mehr als 7 weibliche Tiere geboren werden?
    Antwort Antwort


    1. 4 weibliche Tiere


    2. 6 weibliche Tiere
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Normalverteilung[Bearbeiten]

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung[Bearbeiten]

  1. Normal01C.svg
    Nehmen wir an, dass das Todesalter der Menschen Normalverteilt mit ist.
  2. Ein Todesalter oberhalb von 90 Monate mehr und unterhalb von 90 Monate weniger als die Lebenserwartung gilt als "später" bzw. "früher" Tod. Welcher Anteil der Todesfälle ist weder spät noch früh?
  3. Welches Alter wird von höchstens 75% der Menschen erreicht?
  4. Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus!
  5. Welche Eigenschaften hat der Punkt E?
  6. Zeichnen Sie eine Verteilung mit kleinerem und kleinerem
  7. Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Todesalter unterhalb von 89 Jahren liegt!

  8. Normal01.svg
    Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7.
  9. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert höchstens 4,7 ist!
  10. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen 3,3 und 4,7 liegt!

  11. Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 5,5 und die Standardabweichung 0,8!
  12. Antwort Antwort
  13. ca. 85,4 Jahre
  14. 72,5 80,2 bzw 87,9 Jahre
  15. Höhepunkt (Erwartungswert, Median, Modus)
  16. Normal distribution pdf.png
    die lila links im Vergleich zur grünen
  17. Die Fläche links vom Wert 89 Jahre schraffieren (fängt ein bisschen rechts von rechten Kästchen an)
  18. Geogebra benutzen und aufschreiben!
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Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Grenzwerten[Bearbeiten]

  1. Eine Bäckerei produziert Baguettes. Auf der Verpackung steht 450 g.
  2. Die Standardabweichung der Masse bei der Produktion ist 12 g.
    Wie viel muss der Erwartungswert sein, damit
    weniger als 3,5 % der Produktion unterhalb von 450 g bleibt?
  3. Wie viel muss die Standardabweichung (also die
    "Genauigkeit" der Produktionsmaschine) sein, damit 96 % aller
    Baguettes mehr als 450 g sind, wenn der Erwartungswert 483 g ist?
  4. Antwort Antwort

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Normalverteilung und Funktionen[Bearbeiten]

  1. Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass die
    Standardabweichung vom Erwartungswert linear abhängig ist:
    .
    Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein,
    damit 99 % der Werte oberhalb vom Wert 445 bleibt?
    Antwort Antwort

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Satz von Bayes[Bearbeiten]

Satz von Bayes konkretes Beispiel[Bearbeiten]


  1. Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die

    Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca.
    0,15%, in Südafrika hingegen ca. 20%. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit
    beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist, in diesen
    Regionen? Bevölkerung DE Raum ca. 100 Mil., Südaf. ca 55 Mil.

    Antwort Antwort

    bzw.

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Satz von Bayes abstraktes Beispiel[Bearbeiten]


  1. Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die

    Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca.
    0,15%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die
    Person tatsächlich krank ist? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit,
    dass ein Test in der Bevölkerung positiv ist, 0,34955 % ist.

    Antwort Antwort

    ca.

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Regression Korrelation[Bearbeiten]


    1. Geben Sie die beste Annäherung der folgenden Daten durch eine Regressionsgerade als lineare Funktion an!

    2. Was zeigt uns der y-Achsenabschnitt in diesem Fall?
    3. Was zeigt uns die Steigung?
    4. Wie viel ist der Korrelationskoeffizient?
    5. Ist das lineare Modell für die Darstellung des Zusammenhangs geeignet?
    6. Wöchentliche
      Sexhäufigkeit
      3 17 1 6
      Todesalter 79 82 83 79 75 80
    Antwort Antwort
    1. , y-Achsenabschnitt: Todesalter beim Zölibat
    2. , das Modell ist für den Zusammenhang geeignet für Männer, einem Studium nach, sterben sie früher mit geringerer Sexhäufigkeit. Die Korrelation ist allerdings nicht so stark. Für Frauen gibt es noch nicht ausreichende Studien.
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