Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel $\varphi$ doppelt so groß wie der Umfangswinkel $\gamma$ ist:

(Siehe Skizze rechts)

Das $\bigtriangleup {AMC}$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da ${\overline {AM}}={\overline {CM}}=r$ ist. Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:

\alpha _{1}=\gamma _{1}\,

Winkelsumme im Dreieck:

\alpha _{1}+\gamma _{1}+\delta _{1}=180^{\circ }\,

\delta _{1}=180^{\circ }-\alpha _{1}-\gamma _{1}=180^{\circ }-2\gamma _{1}\,

Winkel der Geraden $180^{\circ }$ :

\delta _{1}+\varphi _{1}=180^{\circ }\,

\varphi _{1}=180^{\circ }-\delta _{1}\,

eingesetzt ergibt sich:

\varphi _{1}=180^{\circ }-180^{\circ }+2\gamma _{1}\,

\varphi _{1}=2\gamma _{1}\,

Für das $\bigtriangleup {BMC}$ gilt dasselbe, so dass analog gilt:

\varphi _{2}=2\gamma _{2}\,

und damit:

\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}=2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=2(\gamma _{1}+\gamma _{2})\,

\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,

\varphi =2\gamma \,

Da der Punkt $C$ beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne ${\overline {AB}}$ gleich sind.

Sonderfall

Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich $180^{\circ }$ (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich $90^{\circ }$ , also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.