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Sehnensatz

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt $S$ , so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt $S$ schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne als $A$ beziehungsweise $C$ und die andere Sehne $B$ beziehungsweise $D$ , so gilt:

{\overline {AS}}\cdot {\overline {CS}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow a\cdot c=b\cdot d

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

{\overline {AS}}:{\overline {DS}}={\overline {BS}}:{\overline {CS}}\Rightarrow {a \over d}={b \over c}

Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $S$ gilt:

{\overline {AS}}\cdot {\overline {CS}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow a\cdot c=b\cdot d

dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!

Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die $\triangle ASD$ und $\triangle BSC$ sind ähnliche Dreiecke denn:

1) Die Scheitelwinkel in $S$ sind gleich groß $\varphi _{1}=\varphi _{2}$

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne ${\overline {AB}}$ ergibt $\gamma _{1}=\delta _{1}\,$

beziehungsweise Sehne

{\overline {CD}}

ergibt

\alpha _{1}=\beta _{1}\,

\triangle ASD\sim \triangle BSC

ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

{a \over d}={b \over c}

und umgewandelt

a\cdot c=b\cdot d

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