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Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Beweis 1

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$ .

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

$\,\alpha +\beta _{1}+\delta _{2}=180^{\circ }$ Winkelsumme im $\triangle ABD$

$\,\delta _{2}=\gamma _{1}$ Umfangswinkel über Sehne ${\overline {AB}}$ (sind gleich)

$\,\beta _{1}=\gamma _{2}$ Umfangswinkel über Sehne ${\overline {AD}}$ (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

$\,\alpha +\gamma _{2}+\gamma _{1}=180^{\circ }$

mit

$\,\gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}$

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

Analog gilt für

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

Beweis 2

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$ .

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu $360^{\circ }$ ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

${\frac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ }$

ergänzen.

Wikipedia-Verweise

Sehnenviereck